вписани окръжности и радиуси

Решени задачи на тема вписани окръжности и радиуси.

Да се изчислят елементи на триъгълник по въведени стойности за: страна BC = a, лице S и прилежащ ъгъл AВC = β:

от формулата лице на триъгълник S = 0.5*a*c*sin(В) се изчислява дължина на страна AB: c = 2*S/(a*sin(В));

страна AC: b = √(a² + c² - 2*a*c*cos(β)) - от косинусова теорема;

радиус на описана окръжност R = a*b*c/(4*S);

ъгъл BAC: α = arcsin(a/(2*R));

ъгъл ACB: γ = π - α - β;

периметър: P = a + b + c;

полупериметър: p = P/2;

радиус на външно вписани окръжности:

Ra = S/(p - a);

Rb = S/(p - b);

Rc = S/(p - c);

Да се изчислят елементи на триъгълник по въведени стойности за: страна AB = c, прилежащ ъгъл BAC = α и R - радиус на описаната окръжност:

ъгъл ACB: γ = arcsin(c/(2*R));

ъгъл ABC: β = π - α - γ;

страна AC: b = 2*R*sin(β) - от синусова теорема;

страна BC: a = 2*R*sin(α);

лице на триъгълник Sabc: S = a*b*c/(4*R) = 0.5*a*b*sin(γ);

периметър: P = a + b + c;

полупериметър: p = P/2;

радиус на външно вписани окръжности:

Ra = S/(p - a);

Rb = S/(p - b);

Rc = S/(p - c);

Да се изчислят елементи на триъгълник по въведени стойности за: радиус на описана окръжност R и два ъгъла BAC = α, ABC = β:

ъгъл ACB: γ = π - α - β;

страна BC: a = 2*R/sin(α) - от синусова теорема;

страна AC: b = 2*R/sin(β);

страна AB: c = 2*R/sin(γ);

лице на триъгълник Sabc: S =a*b*c/(4*R);

периметър: P = a + b + c;

полупериметър: p = P/2;

радиус на външно вписани окръжности:

Ra = S/(p - a);

Rb = S/(p - b);

Rc = S/(p - c);

Да се изчислят елементи на триъгълник по въведени стойности за: радиус на описаната окръжност R, височина hc и ъгъл BAC = α:

страна BC: a= 2*R*sin(α) - от синусова теорема;

страна AC: b = hc/sin(α);

ъгъл ABC: β = arcsin(b/(2*R));

ъгъл ACB: γ = π - α - β;

страна AB: c = 2*R*sin(γ);

периметър: P = a + b + c;

полупериметър: p = P/2;

лице на триъгълник Sabc: S = a*b*c/(4*R);

радиус на външно вписани окръжности:

Ra = S/(p - a);

Rb = S/(p - b);

Rc = S/(p - c);

Да се изчислят елементи на триъгълник по въведени стойности за: страна AB = c, срещулежащ ъгъл ACB = γ и височина ha към страна BC:

страна AC: b = ha/sin(γ);

ъгъл ABC: β = arcsin(ha/c);

радиус на описана окръжност: R = b/(2*sin(B ));

ъгъл BAC: α = π - β - γ;

страна BC: c = √(a² +b² - 2*a*b*cos(γ)) - от косинусова теорема;

лице на триъгълник Sabc: S =a*b*c/(4*R);

периметър: P = a + b + c;

полупериметър: p = P/2;

радиус на външно вписани окръжности:

Ra = S/(p - a);

Rb = S/(p - b);

Rc = S/(p - c);

Да се изчислят елементи на триъгълник по въведени стойности за: страна BC = a, лице на триъгълник Sabc = S и височина от съседния връх BH = hb:

дължина на височина ha = 2*S/a;

страна AC: b = 2*S/hb;

ъгъл ACB: γ = arcsin(ha/b);

страна AB: c = 2*R*sin(γ);

ъгъл BAC: α = arcsin(hc/b);

ъгъл ABC: β = arcsin(hc/a);

радиус на описана окръжност: R = a/(2*sin(α)) - от синусова теорема;

периметър: P = a + b + c;

полупериметър: p = P/2;

радиус на външно вписани окръжности:

Ra = S/(p - a);

Rb = S/(p - b);

Rc = S/(p - c);

За триъгълник ABC са дадени дължини на трите страни BC = a, AC = b, AB = c. Да се изчислят радиусите на вписаната, описаната и трите външно вписани окръжности Ra, Rb, Rc.

периметър: P = a+b+c;

полупериметър: p = (a+b+c)/2;

лице на триъгълник Sabc: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) - формула на Херон;

радиус на описана окръжност: R = a*b*c/(4*S);

радиус на вписана окръжност: r = S/p;

радиус на външно вписани окръжности:

Ra = S/(p - a);

Rb = S/(p - b);

Rc = S/(p - c);

Следващите задачи разглеждат представяне на вписани окръжности и радиуси чрез вътрешните ъгли на триъгълник, радиуси на описана и вписана окръжност.

Да се изчислят елементи на триъгълник по въведени стойности за: радиус на описана окръжност R, лице на триъгълник Sabc = S, дължина на височина AH = ha.

дължина на страна: a = 2*S/ha;

ъгъл BAC: α = arsin(a/(2*R));

от формулата лице на триъгълник S = 0.5*b*c*sin(α) се изчислява произведението b*c = 2*S/sin(α)

чрез субституция в косинусова теорема a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α)

и система уравнения се изчисляват дължините на страните b, c;

периметър: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P

ъгъл ABC: β = arcsin(b/(2*R);

ъгъл ACB: γ = 180⁰ - α - β;

радиус на външно вписани окръжности:

Ra = 2*R*(cos(β) + cos(γ)) - r;

Rb = 2*R*(cos(α) + cos(γ)) - r;

Rc = 2*R*(cos(α) + cos(β)) - r;

Да се изчислят елементи на триъгълник по въведени стойности за: радиус на описана окръжност R, лице на триъгълник Sabc = S, дължина на страна BC = a.

от синусова теорема sin(α) = a /(2*R); ъгъл α = arcsin(a /(2*R))

от формулата лице на триъгълник S = 0.5*b*c*sin(α) се изчислява произведението b*c = 2*S/sin(α)

чрез субституция в косинусова теорема a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α)

и система уравнения се изчисляват дължините на страните b, c;

периметър: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P

β = arcsin(b/(2*R);

γ = 180⁰ - α - β;

радиус на външно вписани окръжности:

Ra = 2*R*(cos(β) + cos(γ)) - r;

Rb = 2*R*(cos(α) + cos(γ)) - r;

Rc = 2*R*(cos(α) + cos(β)) - r;

Съществува група задачи по темата вписани окръжности и радиуси, при които входни данни са преобладаващо дължина на радиус(и). Такава е задачата за извеждане формула за радиус на вписана окръжност в (правоъгълен) триъгълник.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: тригонометрични функции, вписани окръжности и ъгли, отношения в триъгълник.