полувписана окръжност

Една полувписана окръжност, в триъгълник от равнината, се допира едновременно до две страни на триъгълника и неговата описана окръжност. За даден триъгълник съществуват три полувписани окръжности.

Прилики и разлики:

За триъгълник от равнината съществува единствена вписана окръжност  - тя се допира едновременно до трите страни на триъгълника.

Една външно вписана окръжност се допира до страна на триъгълника и продължението на другите две страни.  В задачата вписана, описана и външно вписана окръжност се представят нагледно приликите и разликите между тези окръжности. 

Една външно полувписана окръжност има допирна точка със страна на референтния триъгълник и с неговата описана окръжност. Към всяка страна на произволен триъгълник от равнината може да бъде построена външно полувписана окръжност.

Съществува вариант за изчисляване параметри на полувписана окръжност, базиран основно на тригонометрия. Следващото описание е базирано на факта, че центърът на окръжност, допираща се едновременно до две не успоредни прави, е инцидентна с ъглополовящата на сключения между правите ъгъл.

Алгоритъмът на построителната задача полувписана окръжност съдържа следните стъпки:

по посочени координати на три не колинеарни точки A, B, C се построява референтния триъгълник;

изчисляват се координати за център т.О, дължина на радиус и се построява описана окръжност - на чертежа с цвят син;

в цикъл се изчисляват координати за пети на съответната ъглополовяща;

изчисляват се координати за център т.Q (пресечна точка на ъглополовящите), дължина на радиус и се построява вписана окръжност - на чертежа с цвят зелен;

от центъра на вписаната окръжност се построяват перпендикулярна права към избрана ъглополовяща (рамена на ъгъла са двойка страни на референтния триъгълник);

изчисляват се координати на пресечните точки (Pa, Pb на чертежа с цвят червен) - това са допирните точки на полувписаната окръжност към избраните две страни на триъгълника 

през всяка от двете допирни точки се построяват перпендикулярни прави към съответните страни на триъгълника;

пресечната точка на двата перпендикуляра т.P, е инцидентна с ъглополовящата и е център на търсената полувписана окръжност, разстоянието Ppa = PPb е радиус на тази окръжност;

с вече изчислените координати за център и дължина на радиус (по алгоритъм разстояние между две точки) се построява едната полувписана окръжност. 

Теореми и задачи свързани с полувписана окръжност:

теорема на Вериер: допирните точки на полувписаната окръжност до страните на референтния триъгълник лежат на права, преминаваща през центъра на вписаната окръжност в същия триъгълник;

лема на Sawayama (независим автор в теоремата на Sawayama-Thébault) гласи: центърът на вписаната окръжност и допирните точки на голямата полувписана окръжност със страната на триъгълника и чевианата в него са колинеарни точки. Лемата се смята за част от теорема на Тебо 3;

окръжност mixtilinear (Mixtilinear Circle) е описаната окръжност около центровете на трите полувписани окръжности в референтния триъгълник.

Описаният алгоритъм гарантира допирна точка (на чертежа т.Po) между описаната окръжност и построената полувписана окръжност. Разгледаните  в аполониеви задачи - точки и окръжност примери дават универсален подход за решаване на разглежданата задача.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми и формули от  изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: окръжност, триъгълник, правоъгълен триъгълник, вписана, описана и външно вписана окръжност.