В разгледаните параметрично решени примери и задачи на тема лице на успоредник и диагонали по въведени стойности на три елемента се изчислява лице, периметър, височини, диагонали и ъгли.
За успоредник са дадени дължини на двата диагонала e<f и φ - острият ъгъл между тях. Да се изчислят P - периметър и S - лице на успоредник.
В успоредник пресечната точка на диагоналите ги разполовява - разглежда се триъгълник с върхове: два съседни върха на успоредника и пресечната точка на диагоналите. Ъгълът φ е срещулежащ на страната b на успоредника.
От косинусова теорема: b = √((e/2)² + (f/2)² - 2*(e/2)*(f/2)*cos(φ));
тъп ъгъл между диагоналите: γ = π - φ;
От косинусова теорема: a = √((e/2)² + (f/2)² + 2*(e/2)*(f/2)*cos(φ));
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
лице на успоредник: S = e*f*sin(φ)/2);
височина: hb = S/b;
височина: ha = S/a;
от формула за лице на успоредник S = a*b*sin(α) се изчислява острия ъгъл в успоредника α = arcsin(S/(a*b));
ъгъл: β = π - α.
Да се изчисли P - периметър и S - лице на успоредник по въведени дължини на двете страни a,b и ha - височината към по-дългата страна.
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
лице на успоредник: S = a*ha;
височина: hb = S/b;
ъгъл: α = arcsin(ha/b);
ъгъл: β = π - α;
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α));
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α)).
Да се изчисли P - периметър и S - лице на успоредник по въведени дължини на двете страни a,b и hb - височината към по-късата страна.
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
лице на успоредник: S = b*hb;
височина: ha = S/a;
ъгъл: α = arcsin(hb/a);
ъгъл: β = π - α;
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α));
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α)).
Да се изчисли P - периметър и S - лице на успоредник по въведени дължини на двете страни a,b и e - дължина на по-късия диагонал.
от косинусова теорема e² = a² + b² - 2*a*b*cos(α) се изчислява ъгъл: α= arccos(( a² + b² - e²)/( 2*a*b));
ъгъл: β = π - α;
височина: ha = b*sin(α);
височина: hb = a*sin(α);
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α));
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
лице на успоредник: S = b*hb.
Да се изчисли P - периметър и S - лице на успоредник по въведени дължини на двете страни a,b и f - дължина на диагонал.
от косинусова теорема f² = a² + b² + 2*a*b*cos(α) се изчислява ъгъл: α= arccos((f² - a² - b² )/( 2*a*b));
ъгъл: β = π - α;
височина: ha = b*sin(α);
височина: hb = a*sin(α);
диагонал: e = √(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(α);
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
лице на успоредник: S = b*hb.
Да се изчисли P - периметър и дължина на височините и ъглите в успоредник по въведени S - лице на успоредник и дължини на двете страни a и b.
височина: hb = S/b;
височина: ha = S/a;
ъгъл: α = arcsin(ha/b);
ъгъл: β = π - α;
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α));
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α)).
Да се изчисли P - периметър и S - лице на успоредник по въведени дължини на двете страни a,b и сключения между тях остър ъгъл α.
ъгъл: β = π - α;
височина: ha = b*sin(α);
височина: hb = a*sin(α);
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
лице на успоредник: S = a*ha;
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α));
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α)).
Да се изчисли P - периметър и S - лице на успоредник по въведени дължини на двете страни a,b и сключения между тях ъгъл β.
ъгъл: α = π - β;
височина: ha = b*sin(α);
височина: hb = a*sin(α);
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
лице на успоредник: S = a*ha;
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α));
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α)).
Да се изчисли P - периметър и S - лице на успоредник по въведени дължини на a - страна и двете височини ha,hb.
ъгъл: α = arcsin(hb/a);
ъгъл: β = π - α;
страна: b = ha/sin(α);
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
лице на успоредник: S = a*ha;
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α));
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α)).
Да се изчисли P - периметър и S - лице на успоредник по въведени дължини на a - страна, ha - височина към нея и е - по-късия диагонал в успоредника.
Разглежда се правоъгълен триъгълник с катет ha и хипотенуза диагонала e. Чрез теорема на Питагор се изчислява дължината на втория катет - част от страната AB = a. Изчислява се m разликата между дължината на катета и страната a. Това е катет в правоъгълен триъгълник с остър ъгъл α, катет ha и хипотенуза страната b. Чрез теорема на Питагор се изчислява дължина на страната b = √(ha² + m²).
ъгъл: α = arcsin(ha/b);
ъгъл: β = π - α;
дължина на височина: hb = a*sin(α);
лице на успоредник: S = a*ha;
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α)).
Да се изчисли P - периметър и S - лице на успоредник по въведени дължини на a - страна, ha - височина към нея и f - диагонал в успоредника.
Разглежда се тъпоъгълен триъгълник ABC с най-дълга страна AC = f - диагонал в успоредник, страната AB = a, страната BC = b. От връх C се построява височина ha в успоредника към страната AB. Петата на височината лежи на продължението на AB. Чрез теорема на Питагор (хипотенуза AC, катети ha и продължението на AB) се изчислява дължината на втория катет k = √(f² -ha²)
Разглежда се правоъгълен триъгълник с катет ha и хипотенуза страна BC = b и катет с дължина m = k-a. Чрез теорема на Питагор се изчислява дължина на страна: b = √(ha² + m²).
ъгъл: α = arcsin(ha/b);
ъгъл: β = π - α;
дължина на височина: hb = a*sin(α);
лице на успоредник: S = a*ha;
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α)).
Използването на числени стойности в геометрични задачи е основен източник на непредизвикани грешки и затруднява собствената проверка на решението. Параметричното решение е по-кратко и прегледно. По подобен начин са представени решенията в правоъгълник, цилиндър, обем на конус, обем на пирамида.
В преобладаваща част от задачите се ползват свойства на елементи от триъгълник. Пример: построена е ъглополовяща на вътрешния ъгъл, пресичаща продължението на срещулежащата страна..... Трябва да се съобрази за задачите: две успоредни прави пресечени с трета и свойства на равнобедрен триъгълник. При изчисляване на височини основно се ползват тригонометрични функции. В част от задачите се ползват обратните тригонометрични функции с цел избягване на трудоемката работа за преобразуване на една тригонометрична функция в друга по-удобна.
Не се разглежда изчисляване на ориентирано лице, разстояние между две точки, изчисляване координати на пресечна точка - алгоритми представени в изчислителна геометрия.
При изчисляване на ъгъл са ползвани обратните тригонометрични функции. При изчисляване на линейни размери са ползвани: теорема на Питагор, косинусова теорема, част от формулите разгледани в лице на триъгълник.
Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: успоредник, диагонали в успоредник, лице на равнобедрен триъгълник, периметър на успоредник, лице на успоредник, успоредник и ъглополовящи.