правоъгълник и бимедиани

Задачата правоъгълник и бимедиани извежда нагледно доказателство: средите на страните в правоъгълник са върхове на ромб.

Бимедиана е отсечка в четириъгълник свързваща средите на двойка срещулежащи страни. Твърдението за конструиране на ромб е основано на следствие от теорема на Вариньон. Може лесно да бъде доказано с 4 еднакви правоъгълни триъгълника.

В построителната задача правоъгълник и бимедиани всеки връх се свързва със среда на срещулежащата страна. Средата на всяка страна се свързва със следващата. Избраната начална посока на обхождане не се променя. Всяка от отсечките от двете групи се разглежда като хипотенуза в правоъгълен триъгълник. Разбиването на правоъгълника може да се представи по няколко начина:

вариант 1:

всеки от диагоналите на конструирания ромб EFGH се явява симетрала за съответната двойка страни на референтния правоъгълник - основание за твърдението: диагоналите в ромб са взаимно перпендикулярни, страните на конструирания ромб се явяват средни отсечки за съответния триъгълник;

диагоналите EG, HF на ромба EFGH имат обща пресечна точка с диагоналите AC, BD на реферернтия правоъгълник, всеки от тях  се явява симетрала на съответна двойка срещулежащи страни на конструирания ромб,  

4 еднакви правоъгълни триъгълници HEA, FGC и EFB, GHD - хипотенузата на всеки от триъгълниците се явява средна отсечка на триъгълниците със страна диагонал на правоъгълника;

вариант 2:

успоредникът EBGD с върхове два върха на правоъгълника и среди на две негови страни, за който диагоналът BD е общ за референтния ромб и успоредника EBGD - диагоналите на успоредника EG, BD имат обща пресечна точка с диагоналите на ромба AC, BD;

два еднакви правоъгълни триъгълника AED, BCG - триъгълниците са еднакви по две страни и сключения между тях ъгъл; 

вариант 3:

успоредникът AFCH с върхове два върха на правоъгълника и среди на две негови страни, за който диагоналът диагоналът AC е общ за референтния ромб и успоредника AFCH - диагоналите на успоредника AC, BF имат обща пресечна точка с диагоналите на ромба AC, BD;

два еднакви правоъгълни триъгълника ABF, CDH - еднакви по две страни и сключения между тях ъгъл; 

вариант 4:

успоредник KLMN с върхове пресечните точки на медианите, диагоналите NL, KM имат същата пресечна точка с диагоналите на референтния правоъгълник;

две двойки еднакви триъгълници AKD, BMC и ALB, CND.

В построителната задача правоъгълник и бимедиани семейство конгруентни точки са: пресечната точка на диагоналите в референтния правоъгълник, пресечната точка на диагоналите в конструирания ромб, пресечната точка на диагоналите в два успоредника с върхове среди на страни и върхове на правоъгълника и пресечната точка на диагоналите в успоредник имащ за върхове пети на двойката бимедиани.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули  от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: правоъгълник, правоъгълник и вписана окръжност, правоъгълник и конгруентни точки, правоъгълник и квадрати, правоъгълник и колинеарни точки.