В задачата периметър на правоъгълни триъгълници се разглежда правоъгълен триъгълник ABC с построена височина CH към хипотенузата AB. Петата на височината разделя хипотенузата на отсечки с дължина m,n. Изисква се доказателство за: квадратът на периметъра на правоъгълен триъгълник Pabc (с катети a,b, хипотенуза с и височина към хипотенузата h) е равен на сумата от квадратите на периметрите на двата правоъгълни триъгълника имащи за страни хипотенуза катет на референтния триъгълник и катет височината към хипотенузата.
Задачата има различни варианти за решение. Използван е алгоритъм изискващ познания за теорема на Питагор, работа с подобни триъгълници, степен на многочлен.
Съставя се система уравнения:
(Pabc)² = (Pahc)² + (Pbhc)²
(Pabc)² = (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2*a*b + 2*b*c + 2*a*c;
(Pahc)² = (b + m + h)² = b² + m² + h² + 2bh + 2bm + 2hm;
(Pbhc)² = (a + n + h)² = a² + n² + h² + 2*a*h + 2*a*n + 2*h*n;
Допуска се: (Pabc)² = (Pahc)² + (Pbhc)²
от теорема на Питагор за правоъгълния триъгълник ABC: c² = a² + b²;
от теорема на Питагор за правоъгълния триъгълник HBC: a² = h² + n²;
от теорема на Питагор за правоъгълния триъгълник HAC: b² = h² + m²;
Равенствата се заместват в уравнението и то добива вида:
2*a*b + 2*b*c + 2*a*c = 2*b*h + 2*b*m + 2*h*m + 2*a*h + 2*a*n + 2*h*n;
от лице на правоъгълен триъгълник c*h = a*b следва: 2*h*(m+n) = 2*a*b
2*b*c + 2*a*c = 2*b*h + 2*a*h + 2*b*m + 2*a*n /2;
c*(a+b) = a*h + b*h + b*m + a*n
(m + n)*(a + b) = ah + bh + bm + an
a*m + b*m + a*n + *bn = h*a + h*b + b*m + a*n;
a*m + b*n = h*a + h*b
от подобието на правоъгълните триъгълници ABC и HAC следва: c/b = a/h = b/m така h*b = a*m;
от подобието на правоъгълните триъгълници ABC и HBC следва: c/a = b/h = a/n така h*a = b*n;
a*m + b*n = b*n + a*m;
С това основното твърдение (Pabc)² = (Pahc)² + (Pbhc)² в задачата периметър на правоъгълни триъгълници е доказано.
Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: периметър, теорема на Питагор, триъгълници с равни периметри, правоъгълен триъгълник, периметър на триъгълник.