вписана окръжност в равнобедрен триъгълник

В задачата вписана окръжност в равнобедрен триъгълник се разглежда разстояние между допирните точки на окръжността лежащи на бедрата на равнобедрен триъгълник.

За равнобедрен триъгълник ABC (AC = BC) са дадени дължина на две отсечки: r - радиус на вписаната окръжност и k - минималното разстояние на връх C до окръжността. Да се изчисли дължина на отсечката MN - точките M и N са допирни точки на окръжността до бедрата на триъгълника.

Координатите на център за вписана окръжност в триъгълник се определят от пресечната точка на ъглополовящите му - на чертежа т.O.

В равнобедрен триъгълник височината към основата (CL) е едновременно медиана на основата и ъглополовяща на ъгъла срещулежащ на основата. За случая височината към основата е и симетрала на отсечката MN.

По условие окръжността дели височината (ъглополовящата) към основата на отсечки в отношение k:r:r (CK:KO:OL) считано от връх C.

От свойство на допирателна в точката на допиране радиуса на окръжността е перпендикулярен на допирателната - OM⊥AC, ON⊥BC.

Двата правоъгълни триъгълника OMC и ONC са еднакви по три равни съответни страни.

Четириъгълникът ONCM е правоъгълен делтоид с диагонали OC = r+k и диагонал МН, чиято дължина се търси.

Задачата може да бъде решена както чрез правоъгълни триъгълници (изчисляване на височина към хипотенузата), така и чрез правоъгълен делтоид (изчисляване дължина на диагонал).

Разглежда се правоъгълен триъгълник OCM с хипотенуза OC = k + r, катет OM = r, катет MC = √ (HC² - OM²)

От формула за лице на правоъгълен триъгълник: MH*OC/2 = OM*MC/2 се извежда MH = (OM*MC)/OC.

Търсената дължина е: MN = 2*MH

Само за равностранен триъгълник KN = OK = r.

MC = √ (HC² - OM²) = MC = √ (4*r² - r²) = r*√ 3.

MH = (OM*MC)/OC = (r* r*√ 3)/(2*r) = (r*√ 3)/2.

MN = 2*MH = (2*r*√ 3)/2 = r*√ 3.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: лице на триъгълник, равнобедрен триъгълник, периметър на равнобедрен триъгълник, равнобедрен триъгълник и ъглополовяща.