перпендикуляр и квадрат на Малфати

В задачата перпендикуляр и квадрат на Малфати се разглежда остроъгълен триъгълник, в който на всяка страна е построен външно квадрат (квадрат на Малфати). През външен връх на всеки два съседни квадрата е построена права. Пресечните точки на трите прави образуват връх на допирен триъгълник. Да се докаже, че всяка от медианите в допирния триъгълник е перпендикуляр към съответната страна на референтния триъгълник.

Алгоритъмът на построителната задача е съставен от следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки A, B, C и се построява референтния триъгълник;

построяване на външен квадрат за поредната страна - с дължина на отсечка дължина на съответната страна (съответно AB, BC, AC) )се построява перпендикуляр от двата края на страната, построява се отсечка свързваща крайните точки на двата перпендикуляра;

в цикъл се построява прав, инцидентна със срещулежащи върха от два квадрата;

в цикъл се изчисляват пресечните точки D, E, F на трите двойки прави;

в цикъл се построяват медианите за конструирания триъгълник DEF;

в цикъл се изчислява координати на пресечна точка на съответната двойка: медиана от триъгълника DEF и страна от референтния триъгълник ABC;

За доказване на основното твърдение в задачата перпендикуляр и квадрат на Малфати - медианите от триъгълник DEF се явяват перпендикуляр към съответните страни на триъгълника ABC:

съществуват варианти за изчисляване лице на триъгълниците ABD, BCE, ACF: ориентирано лице (по-лекия вариант, използвайки координати на върховете), по формула на Херон (използвайки дължините на страните);

в цикъл последователно се изчислява дължина отсечките свързващи крайни точки на страна от референтния триъгълник със срещулежащ връх на конструирания триъгълник: AD,BD, BE, CE, AF, CF;

в цикъл последователно се изчислява лице на триъгълник (ABD, BCE, ACF) по избран алгоритъм;

в цикъл последователно, за всеки от триъгълниците, се сравняват дължина на перпендикуляр от връх на триъгълника DEF към съответна срещулежаща страна на триъгълник ABC и се сравняват с вече изчислената дължина на височина от съответния триъгълник (ABD, BCE, ACF).

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: перпендикуляр, перпендикуляр и допирни точки, перпендикуляр и ъглополовяща.