вписани окръжности и квадрат

В задачата вписани окръжности и квадрат се разглежда остроъгълен триъгълник ABC, в който са построени: вписана окръжност с център т.О, височина CH,  вписана окръжност в триъгълник AHC (център т.J), вписана окръжност в триъгълник BHC (център т.I). Извежда се нагледно доказателство, че четириъгълникът IDJE е квадрат, където т.D  е допирната точка на вписаната окръжност до страната AB, а т.E принадлежи на височината CH.

Твърденията остават истинни и за правоъгълен триъгълник, но не и при тъпоъгълен референтен триъгълник.

Алгоритъмът на построителната задача вписани окръжности и квадрат съдържа следните стъпки:

по посочени три не колинеарни точки A, B, C се построява референтния триъгълник;

изчисляват се координати за център, дължина на радиус и се построява вписаната окръжност -  на чертежа с цвят зелен и център т.О - по алгоритъм разгледан в описана окръжност;

изчисляват се координати за допирната точка D между вписаната окръжност и страната AB;

построява се височина CH;

последователно се построява вписана окръжност в триъгълник BHC (център т.I, цвят син), вписана окръжност в триъгълник AHC (център т.J, цвят червен),

последователно се изчисляват уравненията на прави, всяка от които успоредна на IG, JD;

изчисляват се координати на тяхната обща пресечна точка E;

последователно се построяват отсечки JE (JE||ID) и IE (IE||JD);

тяхната обща пресечна точка E = JExIE е инцидентна с височината CH - фактът се установява с прилагане на алгоритъм за ориентирано лице;

за триъгълника IJD се изчисляват дължините на страните му и се установява JD = ID, чрез формула от теорема на Питагор се доказва, че триъгълникът IJD е правоъгълен;

с център средата на отсечка IJ и радиус половината от дължината й се построява описана окръжност около триъгълника  IJD - следствие от теорема на Талес за описана окръжност около правоъгълен триъгълник;

петата на височината CH е инцидентна с построената окръжност - установява се чрез равенство между радиуса на окръжността и разстоянието между центъра и т.H.

Прилагането на алгоритъма за вписани окръжности и квадрат, доказва че изведените твърдения са валидни само за остроъгълен триъгълник.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: вписан квадрат в триъгълник, квадрат и медиани, квадрат и равностранни триъгълници.