В задачата вписани окръжности и квадрат се разглежда остроъгълен триъгълник ABC, в който са построени: вписана окръжност с център т.О, височина CH, вписана окръжност в триъгълник AHC (център т.J), вписана окръжност в триъгълник BHC (център т.I). Извежда се нагледно доказателство, че четириъгълникът IDJE е квадрат, където т.D е допирната точка на вписаната окръжност до страната AB, а т.E принадлежи на височината CH.
Твърденията остават истинни и за правоъгълен триъгълник, но не и при тъпоъгълен референтен триъгълник.
Алгоритъмът на построителната задача вписани окръжности и квадрат съдържа следните стъпки:
по посочени три не колинеарни точки A, B, C се построява референтния триъгълник;
изчисляват се координати за център, дължина на радиус и се построява вписаната окръжност - на чертежа с цвят зелен и център т.О - по алгоритъм разгледан в описана окръжност;
изчисляват се координати за допирната точка D между вписаната окръжност и страната AB;
построява се височина CH;
последователно се построява вписана окръжност в триъгълник BHC (център т.I, цвят син), вписана окръжност в триъгълник AHC (център т.J, цвят червен),
последователно се изчисляват уравненията на прави, всяка от които успоредна на IG, JD;
изчисляват се координати на тяхната обща пресечна точка E;
последователно се построяват отсечки JE (JE||ID) и IE (IE||JD);
тяхната обща пресечна точка E = JExIE е инцидентна с височината CH - фактът се установява с прилагане на алгоритъм за ориентирано лице;
за триъгълника IJD се изчисляват дължините на страните му и се установява JD = ID, чрез формула от теорема на Питагор се доказва, че триъгълникът IJD е правоъгълен;
с център средата на отсечка IJ и радиус половината от дължината й се построява описана окръжност около триъгълника IJD - следствие от теорема на Талес за описана окръжност около правоъгълен триъгълник;
петата на височината CH е инцидентна с построената окръжност - установява се чрез равенство между радиуса на окръжността и разстоянието между центъра и т.H.
Прилагането на алгоритъма за вписани окръжности и квадрат, доказва че изведените твърдения са валидни само за остроъгълен триъгълник.
Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: вписан квадрат в триъгълник, квадрат и медиани, квадрат и равностранни триъгълници.