призма

Правилната призма е многостен, на който: основите са еднакви правилни многоъгълници, околните стени са правоъгълници, равнините на околните стени са перпендикулярни на равнините на двете основи.

Призмата е наклонена, когато околните стени не са перпендикулярни на основите. Правилната призма е и права призма.

Призма, на която двете основи са успоредници е паралелепипед.

Броят страни на основите определя и вида призма - 3-ъгълна, 4-ъгълна ...

Елементи на призма са: страни на основата/основни ръбове на призма, околен ръб или H -височина на призма, сума от дължини на основни и околни ръбове на призма, диагонал на основата,телесен диагонал, лице на основа, околна повърхнина, пълна повърхнина на призма, обем на призма.

За призма е валидна пространствената теорема на Ойлер: x + y -z = 2, където x - броя на стените на многостена, y - броя на върховете, z - броя на ръбовете.

За правилна 4-ъгълна призма се ползват следните формули:

лице на основа: B = a²

околна повърхнина: So = 4*a*H;

пълна повърхнина: S = S0 + B;

в права 4-ъгълна призма отношението между сумата от S - пълната повърхнина и квадратът f² на телесния диагонал от една страна и от друга страна квадратът P² на сума от дължините на околни и основни ръбове е равно на 16: (S + f²)/P² = 16;

обем на призма: V = B*H

За правилна 4-ъгълна призма отношението V/So = a²*H/(4*a*H) = a/4, така дължината на основния ръб a = 4*V/So.

теорема на Ойлер (за изпъкнал многостен) извежда следното равенство:

k + m - p = 2, където:

k - брой стени;

m - брой върхове;

p - броят ръбове на същия изпъкнал многостен.

Примери и задачи за правилна 4-ъгълна призма:

Докажете, че в правилна 4-ъгълна призма верността на отношението (S + f²)/P² = 16.

S = 4*a*H + 2*a² - сумата от околната повърхнина и лицата на двете основи;

f² = 2*a² + H² - телесният диагонал се разглежда като хипотенуза в правоъгълен триъгълник с катети: диагонал на основата e² = 2*a² и H - височина на призмата;

сума от дължините на околни и основни ръбове P = 8*a + 4*H = 4*(2*a + H);

P² = 4²*(2*a + H)² = 16*(4*a² + 4*a*H +h²)

S + f² = 4*a*H + 2*a² + 2*a² + H² = 4*a² + 4*a*H + H²;

(S + f²)/P² = 16

Използвайки описаният подход докажете, че отношението се спазва и за права 4-ъгълна призма.

Изчислете диаметъра на описана сфера около правилна 4-ъгълна призма при въведени стойности за: S - пълна околна повърхнина на призмата и P - сума от дължините на околни и основни ръбове.

Задачата изисква изчисляване на диагонал на осево сечение на призмата минаващо през диагоналите на нейните основи - описана окръжност около правоъгълник има за диаметър диагонала на същия правоъгълник.

диагоналът на основата e = √(2*a²) - от теорема на Питагор за равнобедрен правоъгълен триъгълник;

диагоналът на осевото сечение f = √(e² + H²);

същият диагонал може да бъде представен чрез S - пълна околна повърхнина на призмата и P - сума от дължините на околни и основни ръбове в същата призма

от (S + f²)/P² = 16 се извежда

f = √( (16*P²)/S) = 4*P/√S.

диаметър на описана сфера около права правоъгълна призма е нейният телесен диагонал D = 4*P/√S.

Използвайки описаният подход докажете, че отношението се спазва и за права 4-ъгълна призма.

За правилна 4-ъгълна призма са дадени размери за: So - околна повърхнина и S - пълна повърхнина. Да се изчисли обемът на призмата V.

основен ръб на призма: a = √((S-So)/2);

околен ръб на призма и височина: c = So/(4*a);

диагонал на основа e= a*√2 - от теорема на Питагор;

лице на основа B = a² = e²/2

телесен диагонал f = √(e² + c²)

обем на правилна призма: V = c*a²

За правилна 4-ъгълна призма са дадени размери за: e - диагонал на основата и f - телесен диагонал. Да се изчисли обемът на призмата V.

основен ръб на призма a = e/√2 - от теорема на Питагор;

околен ръб на призма c = √(f² - e²) - от теорема на Питагор;

лице на основа B = a² = e²/2

околна повърхнина на правилна призма So = 2*(a+b)*c;

пълна повърхнина на правилна призма S = So + 2*a*b - от правоъгълник;

обем на правилна призма: V = B*c = (e²/2)* √(f² - e²)

За правилна 4-ъгълна призма са дадени размери за: B - лице на основата и f - телесен диагонал. Да се изчисли обемът на призмата V.

основен ръб на призма: a = √B;

околен ръб на призма и височина: c = √(f² - 2B) = √(2*a² + c² - 2*a²) от f² = 2*a² +c²;

диагонал на основа e= a*√2 - от теорема на Питагор;

околна повърхнина на правилна призма So = 2*(a+b)*c;

пълна повърхнина на правилна призма S = So + 2*a*b - от правоъгълник;

обем на правилна призма: V = B*c

За правилна 4-ъгълна призма са дадени размери за: S - пълна повърхнина и f - телесен диагонал. Да се изчисли обемът на призмата V.

от формула за пълна повърхнина S = 2*a² + 4*a*c и телесен диагонал f² = 2*a² + c² се извежда уравнението:

S + f² = 2*a² + 4*a*c + 2*a² + c² = 4*a² + 4*a*c + c² = (2*a + c)²;

съставя се система уравнения

2*a + c = √(S + f²) замества се m = √(S + f²)

2*a² + c² = f²;

замества се c = m - 2*a;

решава се квадратното уравнение:

2*a² + (m - 2*a)² = f²;

основен ръб на призма a е положителния корен на уравнението;

околен ръб на призма: c = m - 2*a;

обем на правилна призма: V = B*c = a²*c

отношението между сумата от S - пълната повърхнина и квадратът f² на телесния диагонал от една страна и от друга страна квадратът P² на сума от дължините на околни и основни ръбове е равно на 16: (S + f²)/P² = 16

Следващото съдържание представя примери и задачи за права 4-ъгълна призма с основа правоъгълник с дължини на страни a и b. Използвани означения:

a,b - страни на основата, основни ръбове на призма;

c - височина и околен ръб на призма;

диагонал на основата: e = √(a² + b²) - от теорема на Питагор;

диагонал на страна - за призма с правоъгълна основа или паралелепипед с основа успоредник съществуват два стенни диагонала (различни за двойка съседни страни);

телесен диагонал: f = √(e² + c²) - от теорема на Питагор, теорема на трите перпендикуляра;

лице на основата: B = a*b - от правоъгълник;

околна повърхнина на 4-ъгълна права призма: So = 2*(a+b)*c - от правоъгълник;

пълна повърхнина на 4-ъгълна права призма S = So + 2*a*b - от правоъгълник;

обем на 4-ъгълна права призма: V = a*b*c;

сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c)= 0.25*√(S + f²) - от формула за съкратено умножение (a + b + c) = √(2*a*b + 2*a*c + 2*b*c + a² + b² + c²) ;

Примери и задачи за права правоъгълна призма:

Да се изчисли S - пълна повърхнина и V - обем на призма по въведени c - околен ръб, височина на призмата и a,b - основни ръбове на призма.

от теорема на Питагор дължина на диагонал на основата: e = √(a² + b²);

от теорема на Питагор дължина на телесен диагонал: f = √(e² + c²);

сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);

околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;

пълна повърхнина: S = So + 2*a*b = 2*(a+b)*c + 2*a*b;

обем на призма: V = a*b*c;

Да се изчисли S - пълна повърхнина и V - обем на призма по въведени f - телесен диагонал и a,b - основни ръбове на призма.

от теорема на Питагор дължина на диагонал на основата: e = √(a² + b²);

от теорема на Питагор околен ръб на призма: c = √(f² - e²);

сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);

околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;

пълна повърхнина: S = So + 2*a*b = 2*(a+b)*c + 2*a*b;

обем на призма: V = a*b*c;

Да се изчисли f - телесен диагонал и V - обем на призма по въведени So - околна повърхнина и a,b - основни ръбове на призма.

от теорема на Питагор дължина на диагонал на основата: e = √(a² + b²);

околен ръб на призма: c = So/(2*a+2*b);

от теорема на Питагор дължина на телесен диагонал: f = √(e² + c²);

сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);

пълна повърхнина: S = So + 2*a*b = 2*(a+b)*c + 2*a*b;

обем на призма: V = a*b*c;

Да се изчисли f - телесен диагонал и V - обем на призма по въведени S - пълна повърхнина и a,b - основни ръбове на призма.

околен ръб на призма: So = S - 2*a*b;

околен ръб и височина на призма: c = So/(2*a+2*b);

от теорема на Питагор дължина на диагонал на основата: e = √(a² + b²);

от теорема на Питагор дължина на телесен диагонал: f = √(e² + c²);

сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);

обем на призма: V = a*b*c;

Да се изчисли f - телесен диагонал и S - пълна повърхнина по въведени V - обем на призма и a,b - основни ръбове на призма.

околен ръб на призма: c = V/(a*b);

от теорема на Питагор дължина на диагонал на основата: e = √(a² + b²);

от теорема на Питагор дължина на телесен диагонал: f = √(e² + c²);

сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);

околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;

пълна повърхнина: S = So + 2*a*b = 2*(a+b)*c + 2*a*b;

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: обем на призма, повърхнина на призма, ръб на призма, призматоид.