ортоцентър и медицентър

В задачата ортоцентър и медицентър се построява нагледно доказателство: ако в триъгълник центъра на вписаната окръжност лежи на правата на Ойлер, то този триъгълник е равнобедрен триъгълник.

ортоцентър е пресечна точка на височините в триъгълник;

медицентър е пресечна точка на медианите в триъгълник.

права на Ойлер (Euler line) съществува във всеки неравностранен триъгълник от равнината и е еднозначно определена от център на описаната окръжност, ортоцентър и медицентър.

Алгоритъмът на построителната задача ортоцентър и медицентър съдържа следните стъпки:

посочват се координати на три не колинеарни точки A, B, C за върхове на референтния триъгълник;

извършват се корекции на координатите на последната въведена точка като се изчислява пресечна точка на правата (инцидентна с точки B,C) и симетралата за отсечка AB;

изчисляване център (т.O, на чертежа в цвят лилав) и радиус на описана окръжност - подалгоритъма е представен в намиране елементи на триъгълник;

изчисляване на координати за пети на ъглополовящи и тяхната пресечна точка т.Q - на чертежа в цвят син;

изчисляване дължина на радиус за вписана окръжност - подалгоритъма е представен в намиране елементи на триъгълник;

изчисляване на координати за пети на медиани и тяхната пресечна точка медицентър - (т.M, на чертежа в цвят зелен);

изчисляване на координати за пети на височини и тяхната пресечна точка ортоцентър - (т.H, на чертежа в цвят син).

последователно за всяка от страните AC, BC се построява окръжност с диаметър съответната страна и център (MA, Mb) средата на съответната страна;

височината към страната AB се явява обща хорда за двете окръжности, а петата на височината тяхна обща пресечна точка;

от теорема на Талес за описана окръжност: даден триъгълник е правоъгълен, ако центърът на описаната му окръжност лежи (в средата) на една от страните му;

Отсечките свързващи център на вписаната окръжност с допирна точка към страна са перпендикулярни на съответната страна - в случая центъра на вписаната окръжност лежи на височината към основата на триъгълника.

От следствия за равнобедрен триъгълник - височината към основата се явява нейна медиана се извежда и доказателството, че построеният триъгълник е равнобедрен триъгълник.

Инцидентни с правата на Ойлер освен центъра на вписаната окръжност, ортоцентър и медицентър са и точка на Exeter, точка на Schiffler, точка на de Longchamps, точка на Evans. Така твърдението за равнобедрен триъгълник може да бъде разширено: ако в триъгълник центъра на вписаната окръжност и кои да е две от изброените точки са колинеарни, то разглежданият триъгълник е равнобедрен.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: равнобедрен триъгълник, лице на равнобедрен триъгълник, вписана окръжност в равнобедрен триъгълник.