Profesorul fără nici o parte

de Martin Gardner

Dolores – o superbă brunetă, steaua spectacolului de la barul de noapte ”Fesul roșu” din Chicago – apăru în centrul estradei și, unduindu-se în ritmul unei melodii egiptene, făcu cîțiva pași lenți din ”dansul Cleopatrei”. Sala era cufundată în întuneric, doar raza de opal a reflectorului făcea să scînteieze țesătura costumului oriental purtat de Dolores.

Era tocmai momentul cînd trebuia să-și ridice voalul ce-i acoperea capul și umerii. Cu un gest ușor, îl desprinse, dar chiar în clipa aceea, tăcerea ce cuprinsese sala fu spartă de un zgomot puternic, ca un pocnet de pistol, care venea de undeva, de sus. Din plafon se prăbuși, cu capul în jos, trupul complet despuiat și voluminos al unui bărbat. În cădere, el se agăță de voalul ce zbura diafan și, cu o bubuitură surdă, îl strivi de podea.

Se înstăpîni un haos de nedescris.

Patronul, Jake Bowers, dădu ordin să se aprindă luminile și încercă să-i rețină pe spectatori la locurile lor. În timpul acesta, șeful de sală, care stătuse lîngă orchestră privind dansul, înșfăcă o față de masă de sub nasul unor consumatori, o aruncă peste corpul răsucit, apoi îl întoarse cu fața în sus.

Omul respira anevoie. Își pierduse, pare-se, cunoștința din pricina șocului. Era trecut de cincizeci de ani, avea barbă și mustăți roșcovane tunse corect, craniul lipsit de orice podoabă capilară și arăta ca un luptător profesionist.

Trei chelneri abia-abia ridicară trupul greoi, ducîndu-l în biroul șefului de sală, în vreme ce, în bar, bărbații și femeile, uimiți și agitați, priveau cînd la unul, cînd la altul, cînd spre plafon, discutînd aprins cum și de unde ar fi putut să se prăvălească acel om. Se putea cel mult presupune că, în timp ce sala era învăluită în beznă, a fost aruncat pe estradă, dar de cine anume? – nimeni nu văzuse. Cineva anunță poliția.

Între timp, în camera șefului de sală, bărbosul își recăpătase cunoștința. Declară că numele lui este Stanislav Slapenarski, că e profesor de matematică la Universitatea din Varșovia și a fost invitat să țină cîteva cursuri la Universitatea din Chicago.

Înainte de a continua ciudata poveste, trebuie să spun că, personal, n-am fost martorul faptelor amintite, ci vi le relatez așa cum mi le-au descris patronul și chelnerii. Am luat însă nemijlocit parte la acel șir de întîmplări bogate în sensuri ce s-au încheiat cu insolita apariție a profesorului pe estrada barului.

Startul acestor întîmplări avusese loc cu cîteva ore mai înainte. Membrii societății ”Möbius” se întruniseră cu prilejul simpozionului anual într-unul din confortabilele separeuri de la etajul întîi al barului ”Fesul roșu”. Societatea ”Möbius” este, de fapt, un mic și foarte puțin cunoscut grup de matematicieni din Chicago, care se ocupă de topologie – una dintre cele mai noi și mai ciudate domenii ale matematicii moderne, care studiază legile transformării figurilor geometrice. Ca să puteți înțelege mai bine cele întîmplate în seara aceea, trebuie să vă expun foarte succint specificul obiectului topologiei.

Este greu să definești esența acestei ramuri a matematicii fără a recurge la termenii de specialitate. Putem spune însă că topologia studiază, de pildă, proprietățile figurilor care nu se modifică oricît de mult ar fi deformate.

Imaginați-vă un covrig de cauciuc, pe care îl porți răsuci și întinde oricît de mult și în orice direcție. Oricît ar fi de deformată (sau ”transformată” cum preferă să se exprime matematicienii) suprafața acestui covrig, unele particularități ale formei rămîn neschimbate. Astfel, întotdeauna își păstrează gaura. În topologie, un corp de forma unui covrig se numește ”tor”. Și paiul cu care se bea oranjada poate fi considerat ca un tor alungit după axa centrală, astfel că, de pe pozițiile topologiei, covrigul și paiul sînt figuri identice.

Relațiile cantitative nu interesează în topologie. Pentru ea sînt imporante doar însușirile fundamentale ale suprafețelor ce rămîn neschimbate chiar la cele mai profunde deformații ale exteriorului corpurilor, oricare ar fi ele numai să nu intervină ruperi și noi lipituri. Dacă un corp este tăiat în bucăți, care apoi sînt lipite în alt model, se obține un cu totul alt corp ce își pierde astfel toate proprietățile topologice inițiale. Așadar, topologia studiază proprietățile matematice principale, fundamentale ale corpurilor reale.

Drept exemplu să analizăm una dintre problemele topologiei. Închipuiți-vă, de asemenea, că la suprafața torului se găsește un mic orificiu. Oare poate fi întors pe dos acest tor, așa cum, de pildă, se poate întoarce un balon? Nu e prea simplu să rezolvi pe dinafară această problemă.

Deși numeroși matematicieni din secolul al XVIII-lea au abordat diferite aspecte ale topologiei, una dintre primele lucrări sistematice în acest domeniu aparține lui August Ferdinand Möbius, un geometru german care, în prima jumătate a secolului al XIX-lea a fost profesor la Universitatea din Leipzig. Pînă la Möbius, toți presupuneau că orice suprafață, de exemplu, o foaie de hîrtie, trebuie să aibă două părți, două fețe. El însă a făcut o descoperire uluitoare – a demonstrat că, dacă iei o fîșie de hîrtie, o desfășori de-a lungul axei longitudinale și, răsucind-o cu o jumătate de rotație, îi lipești capetele, obții o suprafață cu ”o singură parte” – o suprafață care are doar o față.

Dacă vreți, puteți să vă faceți și dv. o asemenea fîșie (topologii o numesc ”banda sau panglica Möbius”) și, studiind-o atent, vă veți convinge că, într-adevăr, nu are decît o singură parte, doar o unică față curbă închisă (vezi Nota 1).

La început nici nu-ți vine să crezi că o asemenea foaie poate exista, dar ea există într-o formă reală și palpabilă, nu e deloc greu s-o confecționezi și posedă indiscutabila calitate de a fi uni-laterală, însușire care nu dispare oricît ai întinde-o sau ai răsuci-o.

Să ne întoarcem la povestea noastră. Eu mă mîndresc cu faptul că, fiind conferențiar la catedra de matematică a Universității din Chicago și susținîndu-mi dizertația pe o temă din domeniul topologiei, nu mi-a fost greu să devin membru al societății Möbius. Aceasta nu avea prea mulți membri – erau cu totul 26 de persoane – în majoritatea lor topologi din Chicago, plus cîțiva reprezentanți ai universităților din orașele apropiate.

Ne întruneam o dată pe lună și adunările noastre aveau, de obicei, un caracter academic, dar odată pe an, la 17 noiembrie (ziua de naștere a lui Möbius) organizam un simpozion la care invitam în calitate de oaspete de onoare și conferențiar, pe unul dintre cei mai prestigioși topologi.

Simpozionul includea și unele aspecte mai puțin sobre – de obicei era vorba de o distracție mai deosebită. Dar în anul acela am avut cam puține fonduri, așa că am hotărît să marcăm sărbătoarea noastră la barul ”Fesul roșu”, unde o masă nu costă prea scump, iar după conferință ne puteam amuza privind programul de variété . Am avut șansa de a putea invita, în calitate de oaspete de onoare și conferențiar, pe cunoscutul profesor Slapenarski – o autoritate recunoscută pe plan mondial în domeniul topologiei și unul dintre cei mai mari matematicieni ai acestui secol.

Doctorul Slapenarski se afla în oraș de cîteva săptămîni și ciclul de lecții pe care îl ținea la Universitatea din Chicago avea ca temă aspectele topologice ale teoriei einsteiniene a spațiului. Întîlnindu-mă adesea cu el la Universitate, ne-am împrietenit, așa că mi s-a încredințat mie misiunea de a-l invita la masă.

Ne-am îndreptat spre ”Fesul roșu” cu taxiul și pe drum l-am întrebat despre ce avea de gînd să vorbească. El a zîmbit enigmatic și mi-a răspuns, cu un puternic accent polonez, că a mai rămas puțin de așteptat. Tema conferinței lui – ”Suprafața fără nici o parte” – a trezit un asemenea interes printre membrii societății noastre, încît doctorul Robert Simpson de la Universitatea din Wisconsin, acceptînd invitația, ne-a răspuns în scris că aceasta va fi prima întrunire științifică la care participă în ultimul an. (Ulterior, dr. Simpson mi-a mărturisit că a venit la banchet nu ca să-l asculte pe Slapenarski, ci ca s-o vadă pe Dolores.)

Doctorul Simpson este un eminent topolog din Vestul Mijlociu, autor al unor importante lucrări de topologie și fizică nucleară, în care a contestat cu hotărîre o serie de teze ale lui Slapenarski.

Profesorul polonez și cu mine am sosit cu o mică întîrziere. După scurta prezentare protocolară, i-am atras atenția lui Slapenarski că tradiția noastră prevedea să introducem, printre tacîmurile și accesoriile de care ne foloseam la banchet, obiecte cu aluzii la topologie. Astfel, spre exemplu, drept suporturi inelare pentru șervete aveam panglici Möbius din argint. La cafea se serveau covrigei, iar ceștile, special confecționate pentru noi, aveau forma unor recipiente Klein. (vezi Nota 2)

După masă se servea o anumită marcă de bere în sticle pe a căror etichetă se găsea o ciudată emblemă comercială reprezentînd trei cercuri împletite într-un anumit fel (vezi Nota 3), precum și saleuri în formă de nod ”triplu” (vezi Nota 4). Slapenarski fu încîntat de aceste detalii și chiar a făcut cîteva propuneri referitoare la posibilitatea de a utiliza la masă și alte figuri interesante pentru un topolog, dar ele sînt prea complicate ca să ne oprim aici asupra lor.

După un scurt cuvînt introductiv rostit de mine, Slapenarski se ridică, răspunse cu un zîmbet la aplauzele de salut și tuși ca să-și dreagă glasul. În încăpere se așternu deîndată liniștea. Cititorul cunoaște deja înfățișarea profesorului, aspectul lui masiv, barba-i roșcovană și chelia-i lucitoare. Pe chipul lui se putea citi că acum ne va dezvălui ceva extrem de important.

Nu sînt în stare să reproduc pe deplin strălucitoarea lui expunere, accesibilă doar specialiștilor. Lucrurile pot fi însă rezumate în felul următor: În urmă cu zece ani – arătă el – a fost atras de o idee expusă de Möbius într-una din lucrările lui mai puțin cunoscute și anume că, din punct de vedere teoretic, este posibil ca o suprafața să poată pierde nu numai una din părți, ci pe amîndouă. Cu alte cuvinte, teoretic este posibilă existența unor suprafețe nule”.

Firește – spuse profesorul – e greu să-ți reprezinți o asemenea suprafață, dar este la fel de greu să-ți imaginezi existența rădăcinii pătrate din minus unu sau hipercubul într-un spațiu cvadridimensional. Este unanim acceptat că unei concepții nu i se mai poate contesta valoarea pentru matematica și fizica moderne numai pentru că e inaccesibilă imaginației.

Să ne amintim, adaugă el, că pînă și o suprafață cu o singură parte este de neconceput pentru cel ce n-a văzut și n-a ținut în mînă o panglică Möbius. Fără să mai spun că mulți, deși dotați cu fantezie matematică, nu sînt în stare să creadă în existența ei chiar și atunci cînd o au în mînă.

Privindu-l pe doctorul Simpson, am remarcat un zîmbet sceptic schițat în colțul buzelor sale.

De mulți ani – continuă vorbitorul – se ocupa asiduu de căutarea unor suprafețe care să nu aibă nici o latură și, iată, urmărind analogiile unor tipuri de suprafețe cunoscute, a reușit să studieze multe dintre însușirile lor. În sfîrșit – aici făcu o o pauză pentru a spori efectul spuselor sale și, trecîndu-și privirile aprinse peste fețele încordate ale celor ce-l ascultau – rosti: ”Am reușit să creez o suprafață care n-are nici o parte”.

Cuvintele lui îi zgudui pe cei aflați în jurul mesei ca un șoc electric. Se cutremurară cu toții, și schimbîndu-și pozițiile, se priviră între ei uimiți. L-am văzut pe Simpson tresărind brusc. Cînd conferențiarul trecu în colțul camerei unde se afla tabla, Simpson se aplecă spre vecinul său și îi șopti: ”Aiureală curată. Tipul acesta ori s-a scrîntit definitiv, ori vrea să ne ducă de nas”.

Cred că și alții au tras concluzia că toate astea erau pură mistificare, întrucît am remarcat cum au început să zîmbească, în timp ce profesorul, trăgînd rapid cu creta tot felul de linii, acoperea tabla cu niște scheme complicate.

După ce explică pe scurt schemele sale (care se dovediră mai presus de înțelegerea mea), oaspetele declară că, în încheierea comunicării sale, va construi unul dintre cele mai simple modele ale suprafeței fără laturi. La auzul acestor cuvinte toți începură să schimbe priviri, fără să-și ascundă zîmbetele. Simpson nu zîmbea: el surîdea satisfăcut. Slapenarski scoase din buzunarul hainei o foaie de hîrtie bleu-pal, o forfecuță și un tub de lipici. Decupă din foaia aceea o siluetă, care, după cum mi se păru, semăna grozav cu un omuleț de hîrtie. Avea cinci excrescențe, care puteau fi luate drept un cap și patru membre. Puse pe ele puțin lipici și începu să plieze cu atenție silueta. Fîșiile de hîrtie se suprapuneau în modul cel mai bizar, pînă ce rămăseseră libere doar două extremități. Doctorul Slapenarski puse o picătură de lipici pe una dintre ele:

― Domnilor, rosti el, arătîndu-ne complicata construcție albăstruie și întorcînd-o astfel încît s-o putem vedea cu toții, asistați la prima demonstrație publică a suprafeței Slapenarski.

Spunînd acestea, lipi între ele cele două extremități rămase libere. Se auzi un pocnet puternic, de parcă ar fi explodat un bec electric – și construcția de hîrtie din mîinile lui dispăru!

Pentru o clipă toți înmărmuriră de uimire, apoi izbucniră în rîs și începură să aplaude.

Firește, toată lumea era convinsă că au asistat la o scamatorie executată cu o deosebită măiestrie. Eu, ca și ceilalți, presupuneam că e vorba de un ingenios truc chimic, care face să dispară hîrtia. Probabil a prelucrat-o astfel, încît la frecare sau în urma altei acțiuni exploda instantaneu, fără să lase urme.

Mi-am dat seama însă imediat că rîsetele noastre l-au fîstîcit pe profesor, obrazul lui devenind stacojiu. Surîse încurcat și se așeză. Încet-încet, aplauzele se stinseră.

Pe toți ne cuprinse o stare de spirit plină de voioșie. Ne-am îngrămădit în jurul profesorului și care mai de care îl felicitam pentru uimitoarea sa descoperire. Apoi, patronul ne aminti că jos ni se pregătise o masă și cei ce doreau puteau trece în sală ca să mai ia un pahar și să vadă spectacolul.

Curînd, încăperea se goli, rămînînd acolo doar Slapenarski, Simpson și cu mine. Cei doi mari topologi stăteau unul lîngă altul în fața tablei. Simpson, cu un zîmbet ce-i lumină tot chipul, arătă spre una din scheme:

― Eroarea strecurată în demonstrațiile dumneavoastră, doctore, este disimulată cu atîta măiestrie, spuse el, încît nu cred că cineva dintre cei prezenți s-o fi observat.

Matematicianul oaspete nu acceptă acest compliment.

― Nu e nici o greșeală, replică el iritat.

― O, calmați-vă, doctore, zise Simpson. Fără îndoială că aici a apărut o eroare. Continuînd să zîmbească, atinse cu degetul mic colțul tablei. Pur și simplu este imposibil ca liniile astea să se încrucișeze în această intersecție. Încrucișarea trebuie să aibă loc undeva, pe aici. Și mîna lui alunecă spre dreapta.

Obrazul lui Slapenarski deveni din nou stacojiu.

― Vă spun că aici nu există nici o greșeală, repetă el pe un ton ridicat. Apoi începu să refacă demonstrația, rostind cuvintele tărăgănat, meticulos și cu pauze între ele, subliniind fiecare vorbă printr-o ciocănitură cu pumnul în tablă.

Simpson, care asculta posomorît, avu, în sfîrșit, o obiecție și-l întrerupse. Răspunsul veni pe loc. Aproape în aceeași clipă Simpson îi făcu un alt reproș. Urmă un nou răspuns. Eu stăteam lîngă ei și tăceam. Discuția era deasupra înțelegerii mele.

La un moment dat, amîndoi începură să ridice vocea. Am mai amintit că Simpson demult nu era de acord cu Slapenarski în privința unor axiome ale topologiei. Acum, ele deveniră argumentele luate în discuție.

― Vă spun că o astfel de transformare nu poate fi indisolubilă și de aceea asemenea obiecte nu pot fi considerate drept homomorfe, răcni Simpson. (În topologie, se numesc homomorfe figurile ce pot fi transformate una în alta fără a fi dezmembrate. De exemplu, cercul și pătratul sînt homomorfe, întrucît pot fi transformate unul în altul fără a se întrerupe forma lor închisă.)

Pe fruntea matematicianului polonez se umflară venele.

― Atunci, încercați să-mi explicați de ce a dispărut construcția mea, urlă el drept răspuns.

― E o scamatorie ieftină, i-o tăie Simpson. În orice caz, nu pentru că și-a pierdut materialitatea a dispărut hîrtia aia!

― Ah, așa, ei bine! șuieră Slapenarski printre dinți. Și înainte ca eu să pot interveni, aplică o lovitură cu pumnul lui uriaș în falca doctorului Simpson. Profesorul din Wisconsin scoase un geamăt și se prăbuși pe podea. Slapenarski se întoarse și-mi aruncă o privire feroce.

― Ieși afară, băiete, zbieră el.

Întrucît era mai greu decît mine cu cel puțin o sută de pfunzi, am considerat că cel mai bun lucru pe care îl puteam face era să bat în retragere.

Priveam cu groază la cele ce se petreceau în fața ochilor mei. Slapenarski se aruncă în genunchi lîngă corpul întins pe jos și cu mișcări repezi îi legă mîinile și picioarele într-un nod fantastic. Îl împăturea pe topologul din Wisconsin exact ca pe bucata aceea de hîrtie! Deodată se auzi un sunet ca un pocnet de eșapament și între mîinile ospetelui rămase doar o grămăjoară formată din hainele lui Simpson!

Simpson dobîndise o suprafața nulă!

Slapenarski se ridică gîfîind, strîngînd în mîini o haină de tweed, o vestă, o cămașă și niște lenjerie de corp, toate întoarse pe jos. Deschise încet brațele și obiectele căzură grămadă pe podea. Pe obrazul lui alunecau picături uriașe de sudoare. Mormăi ceva în poloneză și-și apăsă tîmplele cu pumnii strînși.

Cu o voce aprope imperceptibilă l-am întrebat:

― Poate să… se poate întoarce?

― Nu știu, nu știu, gemu Slapenarski. Abia am început să studiez aceste suprafețe, abia, abia am început. Nu-mi pot da seama unde se află. Firește, este într-unul din spațiile multidimensionale, dar cine poate ști în care!

Mă apucă pe neașteptate de reverele hainei și mă zgîlțîi de era să-mi cadă placa dentară.

― Trebuie să mă duc după el, strigă profesorul, este singurul lucru pe care îl pot face, asta-i tot ce-mi stă în putere.

Se întinse pe jos și, cu mișcări agere, începu să-și potrivească mîinile și picioarele.

― Ce stai ca un idiot! răcni la mine. Vino încoace și ajută-mă!

Mi-am fixat la loc placa și l-am ajutat să-și pună mîna dreaptă sub piciorul stîng, apoi i-am îndoit într-așa un fel capul, încît să-și poată apuca urechea dreaptă. Același lucru a trebuit să-l fac și cu mîna lui stîngă. ”Pe deasupra, nu pe dedesubt!” strigă el. Cu mare greutate am reușit să-i încovoi astfel mîna, încît să se apuce de nas.

Din nou răsună o explozie, mai puternică decît atunci cînd a dispărut Simpson și o rafală de vînt rece mă izbi în față. Cînd am deschis ochii, am mai văzut pe podea încă o grămadă de haine întoarse pe dos.

Pe cînd mă uitam buimac la cele două grămezi, în spatele meu cineva începu să soarbă repede aer. M-am întors și l-am văzut pe Simpson în picioare lîngă perete, gol pușcă, tremurînd, cu chipul alb ca varul. Apoi picioarele i se tăiară și se prăbuși pe podea. Pe mîini și pe glezne, în locurile unde cu puțin timp în urmă acestea au fost alipite cu forța, se vedeau niște pete roșii.

M-am repezit la ușă, am deschis-o și am zbunghit-o pe scări în jos.

După toate cele întîmplate trebuia neapărat să beau ceva. În sală însă domnea panica – în urmă cu un minut avusese loc apariția lui Slapenarski pe estradă.

În biroul șefului de sală i-am găsit pe ceilalți membri ai societății Möbius și pe cîțiva salariați de la ”Fesul roșu”, angajați cu toții într-o dispută gălăgioasă și incoerentă. Slapenarski ședea într-un fotoliu, înfășurat într-o față de masă și ținînd la bărbie o batistă în care erau înfășurate cuburi de gheață.

― Simpson s-a întors, i-am spus, e leșinat, dar cred că n-are nimic grav.

― Slavă domnului, șopti Slapenarski.

Salariații și clienții barului ”Fesul roșu” nu puteau înțelege ce s-a petrecut în acea seară îngrozitoare, iar explicațiile noastre reușeau doar să agraveze situația creată. Sosirea poliției spori panica.

În sfîrșit, i-am luat pe amîndoi profesorii, i-am pus pe picioare și am plecat, mai exact – am fugit, jurînd că ne vom întoarce a doua zi cu un avocat. Patronul era convins că fusese victima unui complot monstruos și amenința că ne va da în judecată, ca să-l despăgubim pentru lezarea a ceea ce el numea ”reputația ireproșabilă” a barului său. Cu toate acestea, după cum s-a văzut mai tîrziu, zvonurile despre întîmplările acelei nopți au făcut localului o excelentă reclamă și cazul a fost mușamalizat. Ziariștii au auzit, firește, de această poveste, dar n-au luat-o în seamă, considerînd că e vorba de o născocire cu scop de reclamă a lui Funsteel, agentul publicitar al barului ”Fesul roșu”.

Sănătatea lui Simpson n-a avut de suferit, dar Slapenarski s-a ales cu maxilarul fracturat. L-am dus la spitalul Belling, aflat lîngă Universitate și în seara umătoarei zile mi-a expus versiunea sa cu privire la cele întîmplate. Simpson, presupunea el, a fost expediat într-un spațiu cu o dimensiune superioară (probabil de ordinul cinci), iar cînd și-a revenit și și-a descurcat mîinile și picioarele, și-a recăpătat suprafețele exterioare și interioare, ca orice tor tridimensional. Slapenarski, însă, a avut mai puțin noroc. El s-a pomenit pe un fel de pantă. Nu se vedea nimic, de jur împrejur era numai ceață și avea senzația că se rostogolea de pe un deal.

A încercat să-și țină în pumn propriul nas, dar fără succes. Mîna dreapă i-a alunecat înainte ca el să se rostogolească pînă la capăt. Și-a îndreptat oasele și – revenit la spațiul cu trei dimensiuni – a curmat dansul egiptean interpretat de Dolores.

În orice caz, așa mi-a povestit Slapenarski cele ce se petrecuseră.

El a zăcut cîteva săptămîni în spital, refuzînd să mai vadă pe cineva pînă în ziua ieșirii. În ziua aceea l-am întîlnit și l-am condus la Gara Centrală. S-a urcat în trenul de New York și de atunci nu l-am mai văzut niciodată.

Peste cîteva luni a decedat la Varșovia, în urma unui infarct. În prezent, doctorul Simpson corespondează cu văduva lui, încercînd să obțină însemnările despre suprafețele fără nici o parte rămase de pe urma acestui savant.

Dacă topologii americani vor fi în stare să descifreze aceste însemnări (bineînțeles, în caz că vor reuși să le obțină), asta o va arăta viitorul. Noi, oricîte experiențe am făcut cu siluetele de hîrtie, n-am obținut nimic, în afara unor suprafețe bilaterale și unilaterale. Cu toate că eu însumi l-am ajutat pe Slapenarski să-și potrivească membrele așa cum trebuia, emoția prin care am trecut atunci mi-a șters toate amănuntele din memorie.

Totuși n-am să uit niciodată ceea ce mi-a spus marele topolog în seara aceea, cînd l-am dus la spital:

― Ce fericire că Simpson și cu mine am pus mîna stîngă deasupra celei drepte!

― Și dacă le-ați fi pus altfel, ce s-ar fi întîmplat? l-am întrebat eu.

Slapenarski se înfioră:

― Ne-am fi întors pe dos.

(Nota 1) O bandă (o panglică) Möbius se poate confecționa în felul următor: luați două coli de hîrtie de scris, pe care le tăiați în două de-a lungul și le lipiți cap la cap. În felul acesta obțineți o bandă de cca 80-100 cm. Răsuciți cu o jumătate de rotație unul dintre cele două capete rămase libere și lipiți-l de celălalt. Acum, panglica de hîrtie a devenit bandă Möbius și a căpătat o serie de însușiri neobișnuite. De pildă, cu un creion trageți o linie de-a lungul ei și continuați această linie pînă ajungeți la punctul de pornire. Veți vedea că, deși n-ați întors banda pe cealaltă parte și nici n-ați ridicat creionul, linia se continuă pe ”ambele” fețe ale hîrtiei – dovadă că, de fapt, aceasta nu are decît o singură parte. Dacă veți tăia panglica Möbius de-a lungul unei linii ce trece prin mijlocul ei, veți obține nu două benzi, cum ar fi ”normal”, ci una singură, de fapt o altă fîșie de două ori mai lungă. În schimb, tăind panglica Möbius la o treime de marginea hîrtiei și continuînd tăietura și spre marginea cealaltă (tot la distanța de o treime de limita ei) veți constata că obțineți două panglici, una mai lungă și alta mai scurtă, prinse între ele ca inelele unui lanț. Dacă vreți să vă convingeți că, într-adevăr, aceste însușiri ale benzii Möbius sînt neobișnuite, că ele se datoresc faptului că această panglică are doar o față, confecționați-vă și un ”martor”, adică o fîșie de hîrtie pe care o lipiți la capete fără să o răsuciți. Veți remarca faptul că, pentru a trage o linie cu creionul pe ambele fețe, este nevoie să întoarceți banda și să ridicați creionul: că tăind-o pe linia de mijloc obțineți două benzi la fel de mari, iar dacă tăietura o faceți la o treime – trei benzi de aceleași dimensiuni. (înapoi la text)

(Nota 2) Numit astfel în cinstea marelui matematician german Felix Klein, recipientul prezintă o suprafață complet închisă, fără să aibă totuși nici o parte interioară, nici parte exterioară. Ca și o panglică Möbius, vasul are doar o față, dar, spre deosebire de ea, nu are margini. Recipientul poate fi secționat astfel încît fiecare jumătate să formeze o suprafață Möbius. În recipientul lui Klein se poate însă turna un lichid, ca în orice vas, fără ca să se întîmple ceva deosebit. (înapoi la text)

(Nota 3) Cele trei cercuri împletite, desenate pe eticheta sticlelor de bere despre care se amintește în povestire sînt foarte interesante din punct de vedere topologic. Deși sînt prinse astfel, încît nu se pot desface (decît, firește, dacă sînt tăiate), fiecare din cele trei perechi ce se pot forma constă din inele care nu sînt legate unul de altul. Cu alte cuvinte, dacă îndepărtați oricare dintre inele, celelalte două rămîn libere. Este însă imposibil să desfaceți deodată cele trei inele (desigur, fără a le secționa). (înapoi la text)

(Nota 4) ”Nodul triplu” este un nod foarte simplu, care poate fi obținut dintr-o curbă închisă. Există două forme ale acestui nod, una fiind perechea celeilalte văzute în oglindă. Deși ambele forme sînt identice din punct de vedere topologic, nu se poate trece de la una la alta fără a desface nodul. Aceasta însușire a nodurilor îi pune în mare dilemă pe topologi. În general, studiul nodurilor constituie un domeniu important al topologiei, totuși, pînă acum, n-au fost încă investigate suficient nici măcar însușirile celor mai simple dintre ele. Și se cunosc nu mai puțin de 4001 tipuri de noduri, în majoritatea lor foarte complicate. (înapoi la text)

mai multă Proză fantastică de Martin Gardner