十三、自己不能定義自己，數學不能定義數學

//ancelot Jason Choy

請從哲學角度解釋π是或不是無窮無盡的。

//朱韬

圆本身是意识对于物质现象的表达，物质是客观存在的，通过对于圆的周长和直径的认知发现两者之间的规律，为π，是无限不循环小数。即意识对于物质的反作用。

//劉名恕

首先要將圓分別成物質的存在或是只對人類產生意義的一種想像。若是前者，則由於只要是存在於空間中的物質長度，包涵圓週的長度，一定是蒲朗克長度的倍數，所以我猜π應該是有限的。如果是後者，那就只是一個純粹概念的存在，所以它可以是也同時不是無限循環。

//文小天

你把任一長度的繩子圍成圓，此圓的直徑與繩子長度必然是有比例的函數關係。繩長愈大，圓愈大。只是這個比例的小數點很多罷了，多到已經沒有追清的意義。再者說，隨著人類科學發展，測量單位愈小，那麼所有被定量的長度都是不準確的，好比你的身高，正常來說每天都不是相同，你的表面溫度、核心溫度也不能完全固定，你也不過是無窮多的原子繞圈與繞圈的組成。

//Shih-Kai Cha

這就牽涉到 “ 無限 ” 的概念問題。我想從另一個被視作無理數的 “ 無窮大 ∞ ”，來說明這個問題的哲學意義，這就是著名的 “ 希爾伯特旅館悖論 ”（ Hilbert's Grand Hotel ）

「 希爾伯特旅館悖論 」所探討的問題，可以用如下的式子表示：

∞+1 = ∞

即：無限大加一是否等於無限大？

如果從 「 ∞ 」本身的規定來看，「 ∞ 」 可以至少等於任意的數，不論這個數有多大。因此，「 ∞ 」至少等於 「 ∞+1 」 。

其中，「 ∞ 」 是 「 純量 」（ Quantity ; 德語：Quantität ）而非「 定量 」（ Quantum ），後者具有排他性的規定：例如 3，5，1000 … 等等。

而從集合論的觀點來看，「 ∞ 」和 「 ∞+1 」這兩個無限集合是「 等勢 」（ equally cardinal；gleichmächtig ）的，二者擁有同樣多的元素。所以

∞+1 = ∞ 成立。

然而，這個等式的成立卻違反了一般性的算術規律。試想：某數加一怎麽可能還是它自己呢？因爲加法的規律，乃是建立在「 量是連續性之中的間斷性 」這個概念的基礎之上。於是，問題就變成了：

「 ∞ 」爲什麽可以被如此規定？

根據這個等式，「連續性 」止於「 ∞ 」，「 ∞ 」構成了連續性的界限。由外部來看，「 ∞ 」作爲一個同質的整體，它是純粹的間斷性；而從内部來看，同樣作爲一個同質的整體，它又是純粹的連續性，而且可以被無限地分割。質言之：它既是絕對的「 間斷性 」，又是將間斷性揚棄地包涵於自身之内的、絕對的「 連續性 」。故而是二者的同一，同時也是「 無限性 」與「 有限性 」的統一。

這個悖論清楚地表明了：純粹的連續，和純粹的間斷，乃是同一件事。它是抽象的「 無限性 」；而只有當連續之中包含了間斷的時候，「 無限性 」才成爲了具體的。以黑格爾的「 思辨命題 」來表述，就是：「 連續性是作爲整體的間斷性；間斷性是作爲整體的連續性。」以及「 質是間斷的連續性；量是連續的間斷性。」

换句話說，「 無限性 」必須首先爲自己的「 連續性 」設下界限，將自己規定爲一個「 間斷的 」、「 同質的 」整體，以使自己可以被無限地分割。而只有當它揚棄了自身的時候，「 無限性 」（ 連續 ）才能將「 有限性 」（ 間斷 ）包含在自身之内，從而成爲具體的、真實的「 無限性 」。

與著名的「 羅素悖論 」（ Russell's Paradox ）相似，一切形式邏輯上的「 悖論 」，只有引入「 揚棄 」（ Aufheben ）的概念，才能被解決。

《 道德經 》第三十六章：

「 圖難於其易，爲大於其細。天下難事必作於易，天下大事必作於細。是以聖人終不爲大，故能成其大。」

//张瑞丰

我不知道。——苏格拉底

//劉勳忠

算不出來 所以無限

//廖亦程

你想要知道的話，我可以給你一份嚴格的數學證明，不過想要直觀，我就給你直觀吧，因為圓周率本質是什麼圓面積與半徑的平方比（你要說是周長與直徑比也可），圓，代表的是一種巡環，無法用兩個整數之比來表示，讓我們知道巡環是無法等份的，我覺得這就大自然純粹的美，如尤拉數e代表了一個利率增長的極限，黃金比利(phi)則被人們認為是最美的比例（可能有爭議），可能大自然就是想告訴我們，最自然的東西可能就是無理，丌一種無理的卻有不得不的巡環，冒似向我們透露著巡環本身就是一種無理，所以無法透過任合常規推導，丌就是這樣（順變說一下被數學家林德曼證明是超越數），超越數就是無法寫成有理系數方程的一個根，讓人們過著這無理的巡環，除非打破他！讓這個無理的巡環結束，我想這就是圓，帶給我們的一些啟發，其實數學上也有很多這種帶給我們的深刻啟發，這裡也就不列舉了，但被你這麼一問我才意識到原來丌也有這麼深刻的哲學思想，順變問一下你是怎麼打出丌的？。

//Kima Gueh

假設是有理數

呈現的將是一個多邊形 而非圓形了

故 假設為非

//霍爾

希臘字符

//廖亦程

https://dreamyeh.pixnet.net/....../44806360-%5b%e9%96......

[閒聊] 證明：圓週率π為無理數 @ 天使的咖啡屋 :: 痞客邦 ::

DREAMYEH.PIXNET.NET

另外一份是尤拉的同事朗伯特所發現

https://kknews.cc/education/x2e9e3g.amp

優美的證明：用連分式證明「π是無理數」

KKNEWS.CC

//鍾興秀

如果圓周率可以被窮盡，代表圓圈圈不過是一直轉彎的直線，也就是說是一格一格的，代表這個世界是虛擬的！

//Alexander Yang

先卡一個

//Lam Sam Lai

似乎把哲學解釋跟抒情表達混在一起了。

//周善為

在座諸位都沒搞清楚，圓周率π的意義，其實是指向變異不定。又，因為π值不定，所以同一個圓周的長度，其實也是不定的。圓周的長度不定，則圓的直徑、半徑，乃至於圓心，如何可得？這才是圓周率π的真正意義。

就好像在1公尺長的直線上，取一個1/2的點，若這個點可得，則它必定是具量的。然而它若是具量的，就必定可在其上找到一個新的1/2的點。因此，新的1/2所在，將不斷推翻舊的1/2所在，而不知真正的1/2，究竟伊于胡底。

既然1/2不可得，則圓心、半徑0.5公尺、直徑1公尺，乃至圓周長等，如何可得？

//Lam Sam Lai

周善為 補充一下，這邊把不定跟不確定混為一談了，儘管上述種種量都不是固定的值，但不影響隨著每次運算，不確定的範圍快速縮小，但也像芝諾（Zeno of Elea）所形容的一樣，不斷持續逼近，儘管任何人都可以主張這並非終點。

也就是說，我們都知道終點就在這個快速縮小的範圍內，只要（廣義的）科學持續進步，絕對範圍就將繼續縮小，但相對的，科學也在這個範圍內創造出更小的度量，以及探索能力，使得在巨觀層次斬釘截鐵確認的事情，仍然在漸次縮小的微觀層次不斷變動。換句話說，科學不斷地創造出當下力不能及而未來必可跨越的挑戰。

//周善為

Lam Sam Lai 謝謝你提醒，但我說的不定，就是不確定，因為它不斷變異。儘管不確定的值不斷的快速縮小，但仍是不確定的。因為1/2的所在，是永遠找不到的。

前面雖已表明圓周率兀值的真正意義在於不定、不可得。然而，不可得的真正意義，又如何呢？

既然1/2不可得，圓心、半徑0.5公尺、直徑1公尺，乃至圓周長等，俱不可得。這時候，合乎邏輯的數學表達式已經不可用，而必須另尋他途。

//Lam Sam Lai

周善為 我們似乎談的不是一件事情一個概念

https://www.bnext.com.tw/....../google-employee-breaks......

Google展現雲端運算能力：算出圓周率小數點後第31.4兆進位，產出170TB數據｜數位時代

BNEXT.COM.TW

//周善為

Lam Sam Lai 自己不能定義自己，數學不能定義數學。

//Lam Sam Lai

計算圓周率的算式從來不是問題，是記憶體跟計算量能不能跟得上的問題，就跟尋找質數一樣，這是無限大（infinity）的威力，也是無限大的陷阱。

周善為 所以我說我們談的不是一件事情一個概念。很高興跟您對話。

//周善為

Lam Sam Lai 不能說是，也不能說不是同一件事情、同一個概念。能不能繼續探究下去，這端看個人的勇氣而定。