英語の「Limb」には「動物の手足」という意味も有りますが「植物の枝」の意味も有ります。

図の様に、枝の端の方に行くと枝がボキッと折れるかも知れず危ないですよね。

そこから転じて、「危険を冒して不要な所に手を伸ばす、首を突っ込む」という意味で使われます。

いわゆる「やぶへび」ですね。