フィービーが祖母から車を借りる時に「他の誰にも運転させないで」と言っていました。

最初はなんで？？？と思ったのですが、ここで少し分かります。

まずフィービーの祖母は、本当にタクシーとして使われていた車を所有しています。

それがなぜ、どうやって、なのかは分かりません。

チャンドラーの座った助手席側にはシートベルトが有りませんでした。

その理由がここの「医療隊の人がシートベルトを切らないと行けなかった。」です。

…多分交通事故でしょうね。

祖母の家族または知り合いの誰かがこの車を運転して交通事故を起こし、

助手席側のシートベルトが外れなくなり、医療隊を呼んで助けてもらったのでしょう。

祖母はそれがトラウマとなり、他人にこの車を運転させるのが怖くなった、とすればつじつまが合うかなと思います。