「public display of affection」がとても珍しい表現だなと思いました。

キーワードは「affection（愛情）」です。

これは恋人同士でも考えられますし、小さな子供が親や兄弟に表す純粋な愛情表現としても捉えられます。

次に「public display」ですが、

辞書的な意味では「公共表示」ですが、ここの文脈を見て「人前で見せること」くらいの意味で良いでしょう。

「coming up」は「もうすぐやってくる」という意味です。

全体としては「面白ボビーが今からモニカとキスをするから、お子ちゃまたちは目をつぶってね」。そういうニュアンスになると思います。