Season 2 Episode 5 解説9で取り上げましたが、1990年代中旬くらいは「男性像」に変化が起こっている時代でした。
以前は、筋肉隆々の「肉体的な強さ」が理想の男性像、というイメージがあったのですが、
90年代に入り、もっと「精神的な誰かを守るための強さ」に焦点が移ってきたようです。
ここの「Sensitive thing」は、この「精神的な強さ」に関わってきます。
「Sensitive」は「敏感な」という意味がまず思いつくかと思いますが、
辞書を引くと、他にも「繊細な」「感性が豊かな」「傷つきやすい」という意味もあります。
この場面でジョーイとチャンドラーは「育児をする男はモテる」という主旨で話をしているのは分かって頂けるかと思います。
「子育ては女性がするもの」という常識から、女性の社会進出が進むに連れて、
子育てが出来る男性→女性の支えになってくれる男性、女性の大変さが分かってくれる男性、という認識になってきています。
ここでの「Sensitive thing」は「（ニュースとかで言われているように）（子育てができるくらい）繊細な感情を持つ男性」という感じで訳すと良いと思います。
直後の「Break away」は「（群れから）離れる」という意味です。