粒子の周りの流体の運動を解析するには，流体の運動方程式であるナビエ・ストークス（N-S）方程式を解かなければならない。しかし，N-S方程式は式中の慣性項により非線形になるため，解析的に解くことはできない。そこで，解を得るために流れをRe_p<0.1のような層流場に限定し，粘性項が流れを支配する領域，すなわち慣性項を消去することで，N-S方程式を線形化する。このような遅い流れの近似をストークス近似と呼ぶ。さらに，粒子を球形，流体を非圧縮性流れ（流体密度が変化しない流れ）と仮定すると，N-S方程式は解析的に解くことができ，図１で示す極座標（r, θ, ϕ）に対して周囲流体の速度分布は，

となる。球対称であるため，角度ϕに対する速度は一定値である。速度分布があると運動量が移動するために力が発生し，図２に示すような粒子表面の法線方向に応力（圧力差による力）

が，接線方向には応力（せん断応力）

が働くことになる。ただし，p₀は周囲の圧力，μは流体の粘性係数[Pa･s]，U_r,∞は粒子と流体の遠方での相対速度[m/s]，R_pは粒子の半径[m]，θは図１に示した極座標の角度 [rad]である。

　球形粒子が流体から受ける全力は，図２に示すようにこれらの応力を粒子表面全体（r =R_p）にわたり積分することにより求められる。法線応力のz成分（-p_ncosθ）に，粒子表面の微小面積dS(=R_p²sinθdθdϕ )を掛けて，表面全体(r = R_p)にわたり積分すると

が得られる。接線方向の応力のz成分（τ_rsinθ）を表面全体わたり積分すると

となる。一般にF_nは圧力抵抗，F_rは摩擦抵抗と呼ばれている。以上から流体中の粒子に働く全抵抗は，これら2つの抵抗の和となり粒子直径D_pで表すと

となる。この式がストークスの抵抗則である。

参考文献

日本エアロゾル学会（編）『エアロゾル用語集』、気体と微粒子の相互作用、40-41、京都大学学術出版会、2004.

W. C. ハインズ（早川一也　監訳）、エアロゾルテクノロジー、41-45、井上書院、1985.

日本エアロゾル学会（編）・高橋 幹二 (著)、エアロゾル学の基礎、13-16、森北出版、2003.

高橋幹二著、基礎エアロゾル工学、13-16、養賢堂、1978.

W. C. Hinds, Aerosol Technology: Properties, Behavior, and Measurement of Airborne Particles 2^nd, 42-46，Wiley-Interscience, 1999.

（群馬大学・原野 安土）　　★