Stippen uitwerking

Uitwerking

Het zestiende driehoeksgetal bestaat uit:

16 + 15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

Als we deze optelling handig herschikken, wordt het rekenwerk makkelijker:

(16 + 1) + ( 15 + 2) + (14 + 3) + (13 + 4) + (12 + 5) + (11 + 6) + (10 + 7) + (9 + 8) = 8 x 17 = 136

We weten nu: het zestiende driehoeksgetal bestaat uit 136 stipjes.

Daarvan is de top (een kleiner driehoeksgetal) afgeknipt en nu zijn er nog 81 stipjes over.

Hoe groot is het getal dat ervan afgeknipt is?

Er zijn 136 – 81 = 55 stippen afgeknipt.

Nu moeten we nog uitzoeken welk driehoeksgetal 55 stippen heeft.

We noemen dat driehoeksgetal a.

We weten van a dat 1 + 2 + 3 + 4 + ... + a = 55

We kunnen ook deze optelling weer anders opschrijven met haakjes.

Je weet dat de som van elke set haakjes is: a + 1.

(a + 1) + (...) + (...) + (...) + (...) + ... = 55

Hoeveel setjes van (a + 1) hebben we?

Dat blijkt de helft van a te zijn (zie maar hierboven, bij het zestiende driehoeksgetal waren er 8 setjes)

Vermenigvuldig het aantal setjes met (a + 1).

0,5 x a x (a + 1 ) = 55

Links en rechts van het = teken verdubbelen.

a x (a + 1) = 110

We zoeken nu twee opeenvolgende getallen die met elkaar vermenigvuldigd 110 zijn.

Een beetje puzzelen, en dan zie je al snel: Dat moeten wel 10 en 11 zijn.

Dus a = 10, met andere woorden:

Het tiende driehoeksgetal heeft 55 stippen.

Dat klopt inderdaad, want 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =

(1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = 5 x 11 = 55.

Het tiende driehoeksgetal is van het zestiende driehoeksgetal afgeknipt.