KGV berekenen uitwerking
Uitwerking 1
Om hier achter te komen, gebruik ik twee willekeurige getallen. Bijvoorbeeld 9 en 12. Hiervan bereken ik het KGV. Ik schrijf de tafels van beide getallen op:
9: 9, 18, 27, 36, 45
12: 12, 24, 36, 48, 60
Het KGV van deze twee getallen is dus 36.
Nu worden beide getallen vermenigvuldigd met 3.
9 x 3 = 27
12 x 3 = 36
Ik zoek het KGV van 27 en 36. Daarvoor schrijf ik de tafels van 27 en 36 op:
27: 27, 54, 81, 108, 135, …
36: 36, 72, 108, 144, …
Het KGV van 27 en 36 is 108.
Je kunt het KGV van 27 en 36 ook vinden door de beide getallen te ontbinden in priemfactoren.
27 = 3^3
36 = 2^2 x 3^2
Het KGV (27, 36) = 2^2 x 3^3 = 108
Het KGV (9, 12) = 36
Het KGV (27, 36) = 108
Dus als de getallen 3x zo groot worden, wordt het KGV ook 3x zo groot.
Uitwerking 2
Je kunt het ook formeel aantonen.
Stel ik zoek het KGV van de getallen P en Q
Ik ontbind de beide getallen eerst in priemfactoren.
P = p1 x p2 x p3 …
Q = q1 x q2 x q3 …
Het KGV is de combinatie van alle priemfactoren die in P en Q voorkomen.
K (P, Q) = p1 x p2 x p3 … x q1 x q2 x q3 …
Als je P en Q beide met 3 gaat vermenigvuldigen, komt er in beide ontbinden een factor 3 bij. Die hoef je maar één keer mee te nemen als je alle priemfactoren gaat verzamelen. Kijk maar.
3 xP = 3 x p1 x p2 x p3 …
3 xQ = 3 x q1 x q2 x q3 …
K (3P, 3Q) = p1 x p2 x p3 … x q1 x q2 x q3 … x 3
Hieraan kun je zien dat K(P,Q) = 3 x K(3P, 3Q)
Het KGV is dus 3 keer zo groot.
Terug naar de opgave