KGV berekenen uitwerking

Uitwerking 1

Om hier achter te komen, gebruik ik twee willekeurige getallen. Bijvoorbeeld 9 en 12. Hiervan bereken ik het KGV. Ik schrijf de tafels van beide getallen op:

9: 9, 18, 27, 36, 45

12: 12, 24, 36, 48, 60

Het KGV van deze twee getallen is dus 36.

Nu worden beide getallen vermenigvuldigd met 3.

9 x 3 = 27

12 x 3 = 36

Ik zoek het KGV van 27 en 36. Daarvoor schrijf ik de tafels van 27 en 36 op:

27: 27, 54, 81, 108, 135, …

36: 36, 72, 108, 144, …

Het KGV van 27 en 36 is 108.

Je kunt het KGV van 27 en 36 ook vinden door de beide getallen te ontbinden in priemfactoren.

27 = 3^3

36 = 2^2 x 3^2

Het KGV (27, 36) = 2^2 x 3^3 = 108

Het KGV (9, 12) = 36

Het KGV (27, 36) = 108

Dus als de getallen 3x zo groot worden, wordt het KGV ook 3x zo groot.

Uitwerking 2

Je kunt het ook formeel aantonen.

Stel ik zoek het KGV van de getallen P en Q

Ik ontbind de beide getallen eerst in priemfactoren.

P = p1 x p2 x p3 …

Q = q1 x q2 x q3 …

Het KGV is de combinatie van alle priemfactoren die in P en Q voorkomen.

K (P, Q) = p1 x p2 x p3 … x q1 x q2 x q3 …

Als je P en Q beide met 3 gaat vermenigvuldigen, komt er in beide ontbinden een factor 3 bij. Die hoef je maar één keer mee te nemen als je alle priemfactoren gaat verzamelen. Kijk maar.

3 xP = 3 x p1 x p2 x p3 …

3 xQ = 3 x q1 x q2 x q3 …

K (3P, 3Q) = p1 x p2 x p3 … x q1 x q2 x q3 … x 3

Hieraan kun je zien dat K(P,Q) = 3 x K(3P, 3Q)

Het KGV is dus 3 keer zo groot.

Terug naar de opgave