Platonische lichamen
Een platonisch lichaam of regelmatig veelvlak is een veelvlak waarvan de zijvlakken congruente regelmatige veelhoeken zijn. Bovendien zijn alle hoeken tussen de vlakken onderling gelijk.
Regelmatig viervlak Regelmatig zesvlak/kubus Regelmatig achtvlak Regelmatig twaalfvlak Regelmatig twintigvlak
De regelmatige veelvlakken worden sinds de Romantiek ook wel platonische lichamen genoemd, omdat ze voor het eerst door Plato zijn beschreven. Plato bracht de vijf regelmatige veelvlakken in verband met de vijf kosmische bouwstenen van de wereld: vuur, lucht, water, aarde en hemelmaterie. Kepler bracht ze twee millennia later – in de tussentijd waren de halfregelmatige veelvlakken al ontdekt – in verband met de structuur van het zonnestelsel. In die tijd waren behalve de aarde slechts vijf planeten bekend.
Een kenmerk van een regelmatig veelvlak is dat in elk hoekpunt even veel vlakken samenkomen. Hierbij zijn drie, vier of vijf vlakken mogelijk. De kubus is het bekendste voorbeeld van een platonisch lichaam.
Het aantal hoekpunten van een veelvlak is gelijk aan het aantal vlakken maal het aantal zijden per vlak gedeeld door het aantal zijvlakken dat in een hoekpunt samenkomt.
Het aantal ribben van een veelvlak (regelmatig of niet) is gelijk aan het aantal zijden per vlak maal de helft van het aantal zijvlakken (want elke ribbe wordt gedeeld door de twee aangrenzende vlakken).
De wiskundige Euler stelde al in de 18e eeuw vast dat voor elk veelvlak (regelmatig of niet) het aantal zijvlakken (Z) plus het aantal hoekpunten (H) gelijk is aan het aantal ribben (R) plus twee: Z + H = R + 2
Het aantal verschillende regelmatige veelvlakken dat we kunnen maken, is beperkt tot slechts vijf. Ze staan alle in de volgende tabel:
Verbindt men de middens van de zijvlakken van een veelvlak met elkaar, dan vormen de verbindingslijnen de ribben van een ander veelvlak. Een kubus wordt een achtvlak en omgekeerd. Een twaalfvlak wordt een twintigvlak en omgekeerd. Een viervlak wordt opnieuw een viervlak. Dit is terug te zien in de laatste drie kolommen van bovenstaande tabel. De volgende afbeelding maakt het aanschouwelijk:
Hier zijn de middens van de driehoeken van het regelmatig achtvlak met elkaar verbonden en zo is een kubus ontstaan.
Opgave(n) bij dit kernbegrip