Daremos un repaso a los diferentes modelos de ciencia aristotélica.
La matemática
El tipo de necesidad que surge aquí es la necesidad hipotética, que permite el reconocimiento de una necesidad absoluta. Leemos en la Física:
Hay una cierta similitud entre la necesidad en las matemáticas y la necesidad en las cosas generadas conforme a la naturaleza. Así, por ser la línea recta lo que es, es necesario que la suma de los ángulos de un triángulo sea igual a dos rectos, pero no a la inversa, porque si sus ángulos no fueran iguales a dos rectos, no sería un línea recta. En las cosas que llegan a ser para algo el caso es inverso: si el fin se da, o es, lo que precede también se da o es. Pero si lo que le precede no fuese, entonces no se tendría el fin, o aquello para lo que es, como ocurre con los matemáticas. El fin es también un comienzo no de la actividad práctica sino incluso del razonamiento pues tsmbién en el caso de las matemáticas es comienzo del razonamiento, ya que en él no hay actividad práctica.
Efectivamente, las matemáticas forman un mundo en el que es posible aislar una necesidad absoluta supuesta la postulación de la necesidad del razonamiento, que es una necesidad hipotética. Este sería un motivo externo de la importancia de la matemática, pero también hay un motivo interno: es el referente del pensamiento platónico. Para Platón la matemática es crucial porque el número es el ser intermedio por excelencia, que posibilita la participación (μέθεξις) del mundo inteligible (mundo en el que la necesidad se da por su propia naturaleza) en el sensible, y por ese motivo la deriva del pensamiento platónico hacia la matemática será constante. En la medida en qué es una rëplics del mundo inteligible, el mundo sensible no puede considerarse nunca un mundo acabado, porque la materia introduce una separación y diversidad que nace de su propia naturaleza constitutiva. El dualismo platónico entre ambos mundos necesita una posición intermedia que permita explicar cómo es cierto que en el mundo sensible se refleja el inteligible, y cómo el inteligible es alcanzable desde el sensible. Esa herramienta para lograrlo es la matemática. El número participa de las ideas en su inteligibilidad, pero sin a su ve capaces de expresar lo sensible.
El nacimiento de la ciencia moderna tiene ese sesgo platónico de manera evidente. En suma, la matemática es el mundo de la μέθεξις, y en ella el mundo encuentra una inteligibilidad que de suyo ni la tiene, que es opaco.
Pero hay un segundo nivel: es necesario conferir consistencia a los elementos matemáticos. No puede pensarse que los entes matemáticos estén sacados de la sensibilidad, pero tampoco puede pensarse que las ideas sean ellas mismas números. Hay ideas como la virtud, el bien que no son numerizables. Es por ello interesante el intento de introducir un tercer mundo en el cual la idea se proyecta sobre el mundo sensible, pero genera tales aporías que suscitó muchos debates sin solución. Se generaron dos corrientes en la Academia: la facción de Espeusipo y la facción de Aristóteles.
Para que los entes matemáticos fueran subsistentes, tendríamos que aceptar que la intermediación es una entidad, que la participación es "algo", pero sí eso es así, necesita una nueva entidad participativa que lo conecté hacia arriba y hacia abajo. La respuesta de Aristóteles es que los números no tienen existencia, son meros lugares de participación. La otra respuesta posible es decir que entre los números y las ideas no hay diferencia. Será la respuesta de Platón: los números tendrían una existencia propia y que es la existencia inteligible propia, lo que tuvo que abrir una brecha en el mundo inteligible, pero al menos eliminó el problema de los entes intermedios.
En Espeusipo encontramos un mundo inteligible dividido en dos: cuando hablamos de números y de combinaciones de números hablamos exactamente de la totalidad de lo inteligible de la realidad física, pero hay otra familia de lo inteligible que tiene que ver con el bien y con el cómputo de los inteligibles morales. Supone una renuncia absoluta de la unidad del mundo inteligible, aunque haya sido iniciada por el propio Platón. Es la corriente platónica que tuvo mucha importancia en el Renacimiento y en el Barroco. Se trata de una brecha entre el mundo de la explicación, teórico, reducibles a una física, y el mundo de la actividad práctica o moral, mucho más oscuro, gobernado por inteligibles no matemáticos, reducibles a una ética. Está es la marca de Espeusipo. Por eso la Academia deriva bajo su mando hacia un escepticismo no radical, en la que los conocimientos no son volcables a la praxis política y moral.
Aristóteles reflexiona sobre ello, decidiendo que un mundo matemático, intermedio, no puede ser consistente porque exigiría una cadena infinita de intermediadores (paradoja del tercer hombre). El libro de Aristóteles que nuestros catálogos citan como dedicado a los matemáticos es un libro que hemos desgraciadamente perdido. Sin embargo es una pérdida relativa, pues las reflexiones de Aristóteles sobre la matemática en el esto de obras son constantes.
La tesis fundamental con la que arrancan estas reflexiones es que los entes matemáticos no existen y que no existiendo, sobre ellos gravita a necesidad absoluta que nace del modo como se accede a estos entes matemáticos. Es decir, no existen, pero se producen, y se les tiene que asignar necesidad absoluta. Los entes matemáticos sin universales, luego son géneros. Como tales géneros lo que les corresponde es ser producidos por una operación de la razón. Son una ficción propia de la abstracción, son universales lógicos, no reales. El número es una argucia o estratagema que la mente dispone para poder acceder a un conjunto de fenómenos dotados de una necesidad absoluta que nace del modo de construcción. Son entes producidos por abstracción.
Con ello se solucionan de un plumazo dos problemas platónicos:
1. El problema de la μέθεξις o intermediación. Los números no intermedian nada. Como son productos de una abstracción, resultan del análisis ontopraxeológico de la mente. Como la división entre lo sensible y lo inteligible ha fracasado en Aristóteles, tampoco necesita de ninguna intermediación: lo inteligible está capturado en lo sensible, y la manera de liberarlo es la racionalidad.
2. La matemática es el primer género de la abstracción. El segundo consiste en mirar los seres reales conforme al criterio de cantidad y de magnitud. El τρόπος της εκλογής, el criterio de selección consiste en el mecanismo que me propone la magnitud y la numerabilidad. La definición de la matemática es la de ciencia de los géneros abstractos de la realidad sensible. Es construye en dos universos: el de la cantidad (enumeración de los hechos físicos: aritmética) y el de la magnitud (establecimiento de valore a líneas, superficies y volúmenes: geometría).
La atribución de propiedades a estos entes no reales, universales y abstractos las podremos volcar sobre las entidades reales a las que se refieren y de ahí la justificación de los asertos mediante comprobación. Es un carácter mixto, ontopraxeológico una vez más. Las propiedades de los entes matemáticos no son propios de la matemática, sino de la racionalidad humana, en tanto en cuanto permite la explicación de la realidad sensible. Este vuelco de propiedades hace que exista también en los seres sensibles una necesidad, ahora relativa al menos, derivada del carácter absoluto de la necesidad de los entes de razón.
¿Qué propiedades podemos atribuir a los números?
- La primera es que no admiten contrarios. No hay no-números. El número tiene esa propiedad, vinculada a la necesidad de los entes físicos (por el vuelco antes mencionado): no admiten dialéctica. No cabe negarlo porque esa negativa no es soportable en los términos del lenguaje que los ha producido. La matemática no es susceptible de enunciados dialécticos.
- La segunda es que no son susceptibles de más o menos como los entes físicos. Cuatro vale exactamente cuatro. El valor real de esta atribución consiste en que no pueden tener naturaleza cualitativa, sino solamente cuantitativa. Pero el modo de comportarse de una cualidad sí es susceptible de más o menos (puede estar más o menos airado, contento, etc). Lo esencial es que en la selección que ha determinado la cantidad y la magnitud como los elementos que quedarán abstraídos en un tipo de operación que es la misma que la que justifica toda la lógica, que están definidos de tal manera que su necesidad absoluta nace de que no saltemos nunca los límites definicionales que les compete: los de la cantidad y magnitud.
- La tercera es una consecuencia de lo anterior: no siendo susceptibles de más o menos, sí lo son del igual o desigual. Porque cuatro es y no puede ser sino cuatro, puedo reconocer que este cuerpo pesa más que este otro, ya que a este le puedo asignar el cuatro (en unidades arbitrarias), y a aquel el cinco. El número es adecuado a la hora de definir las diferencias de cantidad o magnitud de los cuerpos físicos.
El lenguaje de la matemática introduce sus propios componentes de necesidad en las leyes que corresponden a esta selección de criterios por magnitud y cantidad. Aristóteles distingue entre tres clases de universos de leyes matemáticas, que se miden por su grado de necesidad. Los más necesarios son los axiomas, indemostrables. Esto dará lugar a la crítica del escéptico. Aristóteles dirá que quien no los admite estará negando el derecho que el hombre se arroga de establecer este lenguaje, con lo que el escéptico quedará automáticamente excluido de la comunidad comunicacional. Se trata una apelación al derecho de la razón a conocer el mundo. Los axiomas no son ni demostrables ni comprobables, lo único que podemos hacer es utilizarlos y comprobar que funcionan, con lo que a posteriori podremos decir que son inevitables y son la materia para edificar definiciones matemáticas.
Las definiciones sobre los axiomas se diferencian en que se refieren a cuerpos físicos o leyes físicas, y llegan hasta donde pueden llegar. No de todo podemos producir definiciones, a las que tenemos les debe asistir el consenso universal de todos los hablantes. Tienen por tanto un elemento de sensibilidad, teman contacto con los cuerpos físicos, las leyes, etc. Las matemáticas nos permiten hacer una clase de definiciones, llamadas a veces postulados y a veces hipótesis. Son propias de la explicación científica. Euclides maneja muy bien el uso de postulados, que sin definiciones aparentes para las que no hay comprobación empírica. El postulado de las paralelas es un ejemplo paradigmático: no es un axioma porque estamos introduciendo un elemento físico: el espacio físico, que implica el mundo sensible. Además, no es comprobable, porque si negamos la definición e intentamos probarla en la realidad, para Aristóteles la matemática es un instrumento ficticio que permite una demostración general de comportamientos de objetos del mundo sensible.
Las leyes matemáticas dan lugar al universo de la cantidad (aritmética) y el de la magnitud (geometría). El mundo de la aritmética es el mundo de los números. Sirven para medir cantidades, luego no le corresponde al número tener ninguna cualidad propia, su naturaleza no es sino la de ser un instrumento ficticio de razón puesto para medir cantidades. La esencia del número es la numerabilidad, el hecho de que cada número es una convención que sólo esconde su condición aditiva de uno, y uno, y uno... Αristóteles lo dice así: en realidad la numerabilidad no es más que la organización del mundo conforme al tiempo. Lo que diferencia a los números es de acuerdo a lo que ocupan en el antes y el después: el cinco viene cuatro unidades tras el uno. Es la inteligencia humana la que puede introducir esa imagen de diferición regular en la que consiste el tiempo, que no es para Aristóteles una entidad física, sino relacional con respecto a la mente. Leibniz y Kant han bebido de esta idea aristotélica. Está es la naturaleza de la aritmética para Aristóteles.
La geometría tiene una secuencia paralela. La magnitud se define por la combinación de dos números (superficie) o tres (volumen). Se trata ahora no de secuencias numéricas, sino en combinaciones de números, que describan cantidades concretas en forma de líneas, superficies o volúmenes. La geometría es la combinación de números de acuerdo con un principio de continuidad. Hay geometría porque hay aritmética. Es el espacio lo que explica a la geometría, por eso es tan importante para Aristóteles que el infinito en acto no exista, porque una numeración sin fin es irracional. Estas ideas permanecerán en la matemática hasta Cantor.
Los elementos de justificación de la matemática descansan en la capacidad de la razón humana de organizar el mundo perceptivo de la sucesión temporal y el mundo perceptivo de la organización espacial. Espacio y tiempo son propiedades del alma, es decir, del νους. La física será un campo del saber que nos amplía el horizonte, será posterior para nosotros, pero anterior en sí.