Origen de la noción de "mundos posibles
Aparece en el Siglo de Oro espanol (concepto de ˜“possibile mundos” en Luis de Molina), como teoría de los “ordines rerum”. Leibniz retoma la idea: considera la posibilidad de otros mundos distintos de este y habla de "el mejor de los mundos posibles".
En los años 60 del siglo XX se desarrolla con los trabajos de:
1 Jaako Hintikka, a partir de sus estudios de una logica del conocimiento y la creencia.
2 Saul Kripke, quien propone la metáfora y sienta las bases de esta interpretación para los diversos sistemas de lógica modal.
En la actualidad ha adquirido un carácter interdisciplinar y se convierte en instrumento conceptual en una diversidad de disciplinas (Logica, Ontología, Epistemología, Lingüística, etc.).
Semántica y verdad
De entre las teor´ıas de la verdad (por ej.: teoría de la correspondencia, teoría de la coherencia, teoría pragmatica, teoría dialogica...), comúnmente la más aceptada es la teoría de la correspondencia, de acuerdo con la cual:
1 “Decir de lo que es que no es y de lo que no es que es, es la falsedad; pero decir de lo que es que es y de lo que no es que no es, es la verdad” (Aristoteles)
2 “La verdad es adequatio intellectus et rei –adecuacion del intelecto y la realidad–” (Tomas de Aquino)
3 “Verdad es acuerdo del pensamiento con su objeto” (Kant)
Verdad y modalidad
- Si esta lloviendo y se afirma ´ “Puede llover”, ¿es verdadero?
- Si se afirma “Es contingente que llueva”, ¿es verdadero o falso?
- Si se enuncia “Tiene que llover”, ¿cual es su valor de verdad?
Para juzgar la verdad o falsedad de las proposiciones modales se apela a la semántica de los mundos posibles:
- “Puede llover” es verdadero si y solo si llueve en al menos un mundo posible (es decir, accesible desde el punto de vista del observador).
- “Es contingente que llueva” es verdadero si y solo si llueve en algun mundo posible y no llueve en algún (otro) mundo posible (entendiendo mundo posible como mundo accesible desde el punto de vista del observador).
- “Tiene que llover” sera verdadero si llueve en todos los mundos posibles (es decir, en todos los mundos accesibles para el observador)
Semántica de la lógica proposicional
En la interpretacion clásica a cada variable se asigna un valor de verdad: V (verdadero) o F (falso). “Valor de verdad” alude al hecho de ser una proposicion o bien verdadera o bien falsa.
p q ¬p ¬q p∧q p∨q p → q
V V F F V V V
V F F V F V F
F V V F F V V
F F V V F F V
Proposiciones y mundos
Un modelo es una clase que consta de mundos (o estados) posibles, entre los cuales se da una relacion (con determinadas características, conocidas o no). Cada proposicion simple p será V o F en cada mundo del modelo. Por ejemplo, p en el mundo m1 es V, aunque p en el mundo m2 sea F. Supongamos que m1 se relaciona con m2 (y este con aquel, y cada uno consigo mismo), entonces:
En m2, ♦p es V, pues p es V en un mundo relacionado con m2 (a saber, en m1)
En m2, ☐p es F, pues en el propio m2 es F y m2 se relaciona consigo mismo
p ∧ ¬p es F en todos los mundos; p ∨ ¬p es V en todos los mundos, así que en cada mundo ☐(p ∨ ¬p) es V e igualmente en cada mundo ☐(¬(p ∧ ¬p)) es V.
Relaciones entre mundos
Dado un modelo, en cada mundo las conectivas se interpretan como en Logica Clásica. Para los operadores modales hemos de tener en cuenta como se relacionan los mundos; a este respecto nos podemos encontrar distintas posibilidades:
1 No se conocen características de la relación entre mundos.
2 La relación es reflexiva: cada mundo se relaciona consigo mismo.
3 La relación es simetrica: si un mundo se relaciona con otro, entonces este se relaciona con el primero.
4 La relación es transitiva: si un mundo se relaciona con otro y este con un tercero, entonces el primero se relaciona ´ con el tercero.
Valoración de proposiciones
En la valoración de una proposición en un mundo, el ‘observador’ considera posibles justamente aquellos que están relacionados con el ‘mundo desde el que observa’. Dado un modelo y una proposición p:
♦p es V en m si y solo si ´ existe al menos un M0 relacionado con m tal que p es V en M0.
☐ p es V en m si y solo si ´ para todo M0 relacionado con m se verifica que p es V en M0 .
Contextos modales
Dada la clase de mundos posibles, son redefinibles algunas nociones lógicas fundamentales. En cada mundo, dos proposiciones p y q son:
1 Consistentes: si y solo si su conjunción es posible (es decir, ♦(p ∧ q) es V).
2 Inconsistentes: si y solo si necesariamente una de ellas es F (es decir, ☐(¬p ∨ ¬q) es V).
3 Contradictorias: si y solo si no son posibles su conjunción ni la conjunción de sus negaciones (es decir, ´ ¬♦(p ∧ q) ∧ ¬♦(¬p ∧ ¬q) es V).
Clases de mundos posibles normales
Principio de normalidad: si necesariamente una premisa implica una conclusión, entonces la necesidad de la premisa ´ implica la necesidad de la conclusion´ ; simbolicamente, es ´ valida (es decir, ´ V en todos los mundos) la formula (llamado el ´ axioma K):
☐(p → q) → (☐p → ☐q).
Ello equivale a decirque la clase de mundos que es normal no contiene mundos ‘imposibles’. En las clases de mundos no normales puede haber mundos imposibles (donde, por ejemplo, hay c´ırculos cuadrados, seres humanos que estan´ vivos y muertos al mismo tiempo, etc.) En
Lógicas modales y mundos
Se han establecido sistemas de lógica modal normal, con semántica de mundos posibles, que captan los principios interesantes que se mencionaron. Se nombran con letras: una logica modal normal es denominada:
1 T (o KT), si y solo si capta ´ “lo necesario es el caso”; por lo tanto, la relacion entre los mundos es reflexiva.
2 S4 (o KT4), si y solo si capta ´ “lo necesario necesariamente es necesario”; por lo tanto, la relacion´ es reflexiva y transitiva.
3 S5 (o KTB4), si y solo si capta ´ “lo posible, necesariamente es posible”; la relacion es ´ reflexiva, simetrica ´ y transitiva (relacion de equivalencia).
Relación de accesibilidad
La relacion entre mundos es denominada “relacion de accesibilidad”: un mundo puede ser o no accesible desde sí mismo, desde otro, hacia otro, etc. Al decir “ ☐p es V en el mundo m” se entiende que:
1 En T, p es V en los mundos accesibles desde m –que son los mundos posibles desde el punto de vista de m– (solo´ esta garantizado que ´ m esta relacionado consigo mismo). ´
2 En S4, p es V en los mundos accesibles desde m y en los accesibles desde los accesibles en el ‘paso’ anterior, etc.
3 En S5, p es V en los mundos accesibles desde m, en los accesibles desde los accesibles, etc., y en aquellos desde ´ los que es accesible m, etc. –en algun sentido se elimina ´ en este caso la complicacion de los ‘puntos de vista’–
Especificacion de los mundos
Un mundo posible se especifica (o caracteriza) mediante proposiciones. Sean tres proposiciones verdaderas del mundo real: “Hay perros” (p), “Hay flores” (q) y “No existen unicornios” (¬r). Existen otros mundos posibles, veamoslos:
Contenidos de los mundos posibles
La logica modal proposicional permite especificar mundos, pero es insuficiente si queremos entrar en la estructura de los mundos. En general, un mundo puede estar intergrado por:
1 Entidades particulares: objetos (en sentido amplio), tales como cosas, personas, incluso eventos, acontecimientos, entes abstractos...
2 Universales: rasgos, atributos, propiedades, cualidades, etc. Se agrupan en:
1 Monádicos : propiedades sencillas (por ejemplo: “ser humano”, “caminar”, “ser de color verde”, etc.)
2 Poliádicos : relaciones (por ejemplo: “ser mayor que”, “odiar”, “estar entre”, etc.).
Concepción de los mundos
Se conciben los mundos según cómo estén ‘amueblados’:
Los particulares del mundo real pueden estar en cada mundo, con distintas propiedades o relaciones. En el mundo real, Cesar vence a Pompeyo y es asesinado por Bruto; en un mundo (ficticio) distinto, tal vez Pompeyo vence a Cesar y éste es salvado por Bruto.
Cada mundo pueden tener un conjunto propio de particulares: en un mundo (ficticio), en que existe Roma, tal vez no existen Pompeyo, ni Cesar, ni Bruto
Literatura y trasfondo ontologico
La semantica de los mundos posibles se puede emplear para el análisis del trasfondo ontológico de diversos géneros literarios (por ejemplo: la novela historica):
Los particulares (es decir, los objetos en sentido amplio) del mundo real están en el mundo creado por la novela (los nombres de tales particulares actuaran como designadores rígidos).
Tal vez en el mundo creado hay otros particulares.
Las propiedades y/o relaciones pueden ser distintas en el mundo creado en la novela de como son en realidad.
La verosimilitud de lo narrado estará ligada a la caracterización de ese mundo posible.
Verdad y ficcion
En cada obra de ficcion se está creando un mundo posible: El texto contiene (o se derivan del mismo) un conjunto de proposiciones que especifican un mundo. Los universos literarios son mundos posibles, cognoscibles a traves del propio texto.
En cada uno de estos mundos una proposicion (relativa a lo acontecido en el mismo) es V o F: en la novela de Umberto Eco El nombre de la rosa, “Fray Jorge de Burgos es ingles” es F, aunque en otro mundo posible (que podría haber sido el descrito por Eco) tal vez sea V —de ahí que se pueda considerar que “♦ Fray Jorge de Burgos es ingles” sea ´ V.
Lo imaginario y los mundos posibles
Imaginario ES DISTINTO DE imposible. La obra La metamorfosis (de Kafka) comienza:
“Una manana, tras un sueño intranquilo, Gregorio Samsa se despertÓ convertido en un monstruoso insecto...” ´ .
¿Se esta creando un mundo imposible? Es un mundo imaginario, donde no rigen ciertas leyes naturales, pero es un mundo posible.
Mundos imposibles
En algunos casos, se puede considerar que en una obra de ficción el narrador hace estipulaciones que presenta como "mundo real", y el lector descubre un nuevo ‘mundo real’ y un conjunto de mundos posibles como satélites del estipulado por el autor como ‘mundo real’. Pero el argumento puede llegar a presuponer mundos imposibles, mundos en los que:
No se cumple el principio de normalidad.
No se cumplen leyes logicas bÁsicas.
Se puede decir que en los mundos imposibles, hallamos individuos imposibles (hay que aclarar que un ser humano que pueda levantar a pulso 1000 kg. no es un sujeto fÍsicamente posible, pero estarÍa en un mundo posible; un sujeto imposible serÍa el que tiene y no tiene cierta caracterÍstica simultÁneamente).
Mundos representativos
Los universos literarios como mundos posibles ofrecen elementos a la crítica literaria: ¿Puede una novela constituir (o representar) una ‘situacion´ real’? La relacion (de accesibilidad) entre el mundo real y un mundo ´ posible creado en una novela, explica esa representatividad: los sujetos de los dos mundos son distintos, pero se destacan en el mundo posible literario propiedades/relaciones muy ‘reales’ [se podr´ıa ir del mundo real al mundo literario facilmente].
(Información obetnida de http://grupo.us.es/ghum609/php/system/files/Introd.L.NoCL_.%20y%20L.Modal_.pdf)
Mundos posibles
(Capítulo 4 de S. Read, Thinking about Logic, pp. 96-120)
Herramienta lógica: semántica de mundos posibles. (Es una semántica no-funcional- veritativa, en la que el valor de verdad del compuesto no depende de los valores de verdad de las partes, sino de otra cosa: de los valores en distintos “mundos posibles”).
Pregunta metafísica: ¿hay mundos posibles en la realidad, o son mera herramienta? ¿Qué son los mundos posibles?
1. Platonismo modal
Presupuesto del realismo extremo: para fundar la objetividad de las herramientas lógicas, deben existir ciertos objetos especiales auto-subsistentes (independientes de nuestro conocimiento).
Tesis básica del platonismo modal: las “maneras alternativas en las que el mundo podría haber sido” son “universos” reales y concretos (DAVID LEWIS).
Ontología que subyace a la verdad de “Yo podría saber esquiar”: hay un universo alternativo en el que sé esquiar.
Problema: ¿puedo estar en varios mundos? Solución: noción de “contraparte” (counterpart).
Segunda tesis del platonismo modal (sobre la relación entre mundos): los objetos del mundo actual tienen contrapartes en otros mundos, y de ellos hablan las proposiciones correspondientes.
Siguiente problema: ¿cómo reconocer qué objeto es contraparte de un objeto dado? Dos soluciones: propiedades esenciales / similaridad.
Críticas al platonismo modal:
a) ¿Todo lo posible es real?
b) Cuando digo “Yo podría saber esquiar”, ¿hablo de mí o de mi contraparte?
2. El rechazo de la lógica modal
WILLARD VAN O. QUINE rechaza la lógica modal, y con ello elimina la pregunta metafísica acerca de los mundos posibles.
Argumento de Quine contra la lógica modal: si se acepta la lógica modal hay que aceptar esencias; pero las esencias son inaceptables; por tanto, la lógica modal es inaceptable.
Primer rompecabezas generado por el uso de expresiones modales: de premisas que parecen verdaderas se sigue, aplicando leyes lógicas, una conclusión que parece falsa.
(1) 9 es necesariamente mayor que 7 (verdad matemática)
(2) 9 = el número de los planetas (identidad de lo nombrado por dos expresiones: a=b)
(3) el número de los planetas es necesariamente mayor que 7 (por la ley de indiscernibilidad de los idénticos: si a=b, lo que se dice de a se dirá de b)
Solución al primer rompecabezas, aplicando la “teoría de las descripciones” de Russell (las descripciones no son nombres, y por tanto los enunciados en los que aparecen no tienen la forma de una predicación acerca de un objeto, sino de una cuantificación existencial):
“9= el número de los planetas” no tiene la forma a=b, sino la forma (simplificando un poco) ∃x (Px ∧ x=9): no se puede aplicar el principio de indiscernibilidad de los idénticos, y por tanto no se sigue la conclusión falsa.
Segundo rompecabezas generado por el uso de expresiones modales: al aplicar la teoría de las descripciones de Russell a la conclusión del argumento anterior, se obtiene un sentido en el que parece verdadera
Dos modos de aplicar el análisis russelliano: considerar que el predicado que se añade a la descripción es “... es mayor que 7” (y que el “necesariamente” se añade después) o considerar que el predicado que se añade a la descripción es “necesariamente ... es mayor que 7”:
El número de los planetas es necesariamente mayor que 7.
Análisis con “alcance restringido”: Necesariamente, ∃x (x es el número de los planetas y es mayor que 7). (es falsa)
Análisis con “alcance amplio”: ∃x (x es el número de los planetas y necesariamente es mayor que 7). (parece verdadera: 9 es ese número)
Solución al rompecabezas: Quine dice que “ser necesariamente mayor que 7” no es una propiedad de un número, sino que depende de cómo nos refiramos a él. (Decir que los objetos tienen necesariamente propiedades, independientemente de cómo nos refiramos a ellos, sería un error “esencialista”, contrario a la visión científica del mundo).
Conclusión de Quine: no hay que usar modalidades aplicadas a objetos. Primero piensa que el único uso aceptable de las modalidades sería el que las aplica a proposiciones (modalidad de dicto), no a cosas del mundo (modalidad de re): “Necesariamente 9 es mayor que 7” solo es aceptable en el sentido: “La proposición ‘9 es mayor que 7’ es necesaria”. Finalmente, elimina toda la lógica modal.
Sin lógica modal, no hay necesidad de una semántica de mundos posibles para interpretarla, y no aparece el problema metafísico acerca de su realidad.
3. Actualismo
La postura intermedia entre el platonismo modal y el rechazo completo de las modalidades es el actualismo.
Tesis básica del actualismo: hay una distinción neta entre el mundo actual y los mundos posibles. Dos versiones: reduccionismo y realismo moderado.
3.1. Reduccionismo
La idea es construir los mundos posibles a partir de otras realidades más familiares.
Tesis básica del reduccionismo: los mundos posibles son objetos lógicos o matemáticos, construidos por quienes hacen la semántica de la lógica modal. Por ejemplo: cada mundo posible es un conjunto de proposiciones verdaderas.
Ontología que subyace a la verdad de “Yo podría saber esquiar”: hay alguno de esos conjuntos al que pertenece la proposición “Yo sé esquiar”.
Crítica al reduccionismo: cuando digo “Yo podría saber esquiar”, ¿hablo de mí o de la pertenencia de una proposición a un conjunto?
3.2. Realismo moderado
La idea es considerar mundos posibles abstractos, pero reales en algún sentido. Es la postura de ROBERT STALNAKER.
Presupuesto (común con el platonismo modal): las expresiones modales pueden traducirse a una cuantificación sobre mundos posibles.
Pero: aunque los “modos en que podrían haber sido las cosas” son reales, solo “son” en cuanto abstraídos del modo en el que las cosas son de hecho. Su “realidad” es derivada de las posibilidades reales de las cosas.
Ontología que subyace a la verdad de “Yo podría saber esquiar”: yo tengo la potencialidad de saber esquiar. Las modalidades de re son inteligibles, se admite que un sujeto tenga propiedades “modales”.
* Con esta herramienta, el discurso modal queda “traducido” a un discurso no modal en los distintos mundos posibles, pero sin compromisos ontológicos indeseados.
No aparece el problema técnico de identificar las contrapartes: es el sujeto del que se habla el que es pensado como teniendo una propiedad en “un mundo posible”.
Sí aparece, en algunos casos, el problema técnico de identificar los sujetos de los que se habla:
- “9 es necesariamente mayor que 7”: el sujeto 9 tiene la propiedad de ser mayor que 7 en todo mundo posible. No hay problema, los nombres propios son “designadores rígidos” (noción introducide por SAUL KRIPKE: designan el mismo objeto en todos los mundos posibles).
- “El número de los planetas es necesariamente mayor que 7”: ¿qué número debe tener la propiedad de ser mayor que 7 en los distintos mundos posibles? ¿el actual número de los planetas, u otros posibles números de los planetas? Se estipula que cuando se hace el análisis de la descripción con “alcance amplio”, la descripción se convierte en un designador rígido: el actual número de los planetas (=9) tiene la propiedad de ser mayor que 7 en todo mundo posible.
4. Modalidad e identidad
* Otro tipo de problemas suscitados por la lógica modal, independientes de la realidad de los mundos posibles: rompecabezas lógicos.
Si se admiten los designadores rígidos de Kripke, se sigue que los enunciados de identidad entre nombres son necesariamente verdaderos.
Hesperus = PhosphorusNecesariamente Hesperus es Phosphorus.
Pero, ¿no podría haber sido que el cuerpo celeste que los astrónomos griegos observaban al oeste del cielo al atardecer fuera distinto del que observaban al este del cielo al amanecer? (De hecho, eso era lo que ellos pensaban).
Dos teorías acerca de los nombres:
JOHN STUART MILL: los nombres genuinos son puramente denotativos. (Nombres puramente denotativos: significan solo los sujetos de los que se habla. Por ejemplo, “Rocinante”. / Nombres connotativos: significan doblemente, pues denotan los sujetos connotando sus atributos. Por ejemplo, “caballo”).
GOTTLOB FREGE: los nombres tienen sentido, además de referencia. (Referencia: objeto designado. Por ejemplo, el planeta Venus. / Sentido: “modo de darse” la referencia. Por ejemplo, como “lucero matutino” o como “lucero vespertino”).
Kripke está de acuerdo con Mill respecto a los nombres propios: “Hesperus” es puramente denotativo (designador rígido). No tiene sentido, aunque su referencia puede ser “fijada” mediante una descripción: “el lucero vespertino”. Pero las descripciones no forman parte del significado del nombre.
Esto parece resolver el problema: ¿Hesperus (conocido como lucero vespertino) es necesariamente Phosphorus (conocido como lucero matutino)? Sí, porque Venus es Venus, independientemente de cómo quede fijada la referencia de sus nombres.
Pero ¿no podría Hesperus no haber sido Phosphorus? Solo en un sentido epistémico (eso era lo que creían los antiguos griegos, que eran dos cuerpos celestes), no metafísico (Venus no podría no haber sido Venus). Lo que ocurre es que los nombres podrían haberse usado de otro modo, para denotar cosas distintas.
Kripke propone separar la noción modal de lo necesario (ser en todo mundo posible) de la noción epistémica de lo a priori (ser cognoscible sin investigación empírica):
- Hay verdades necesarias a priori: las verdades analíticas, como “Todo soltero es no- casado”.
- Hay verdades contingentes a posteriori: “El metro-patrón está en París”.
- Hay verdades necesarias
- Hay verdades necesarias a posteriori: entre otros, los enunciados de identidad entre nombres, como “Hesperus es Phosphorus”.
- Hay verdades contingentes a priori: “El metro-patrón mide un metro”.
Bibliografía complementaria:
Beall, J. C., & van Fraassen, Bas C., Possibilities and Paradox: An Introduction to Modal and
Many-Valued Logic, Oxford University Press, 2003.
Priest, G., An Introduction to Non-Classical Logic: From If to Is, Cambridge University
Press, 2008.
Pérez Otero, M., Conceptos modales e identidad, Edicions Universitat de Barcelona, 1999.
Yagisawa, T., "Possible Objects", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2009 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <http://plato.stanford.edu/archives/win2009/entries/possible-objects/>.