Resumen
Este Elemento, escrito para investigadores y estudiantes de filosofía y ciencias del comportamiento, revisa y evalúa críticamente el trabajo existente sobre conceptos numéricos en psicología del desarrollo y ciencia cognitiva. Tiene cuatro objetivos principales. En primer lugar, caracteriza los compromisos centrales de la investigación convencional sobre la cognición numérica, incluido el compromiso con el representacionalismo, la hipótesis de que existen ciertos sistemas cognitivos específicos de los números y los hitos clave en el desarrollo de la cognición numérica. En segundo lugar, proporciona una taxonomía de puntos de vista influyentes dentro de la investigación convencional sobre cognición numérica, junto con los desafíos centrales que enfrentan estos puntos de vista. En tercer lugar, identifica y evalúa críticamente una serie de supuestos filosóficos centrales que a menudo adoptan los investigadores de la cognición numérica. Finalmente, el Elemento articula y defiende una versión novedosa del pluralismo sobre los conceptos numéricos.
1Introducción
Este Elemento se ocupa principalmente de los componentes básicos conceptuales de los pensamientos numéricos. Estos incluyen, entre otros, pensamientos que atribuyen cardinalidades a colecciones, como el pensamiento expresado por (a), aquellos que atribuyen propiedades aritméticas a números, como el expresado por (b), y aquellos que localizan la posición ordinal de algo entre una serie de cosas, como el pensamiento expresado por (c).
a.Los vasos sobre la mesa son dos.
b.Dos es un número par.
c.Mary es la concursante número dos.
En general, los filósofos y psicólogos asumen ampliamente que los conceptos, como constituyentes de los pensamientos, son esenciales para una variedad de capacidades cognitivas, más obviamente la categorización, el razonamiento, la comprensión del lenguaje y la toma de decisiones. Por ejemplo, la comprensión (a-c) requiere la posesión de conceptos; tener los pensamientos expresados en cada oración permite categorizar algunas cosas como si fueran de cierta manera: como dos en número, un número par o el segundo lugar entre los concursantes; y cada pensamiento permite claramente el razonamiento , por ejemplo, que hay más de un vaso en la mesa, que algún número es par o que María es una concursante. Tener tales pensamientos requiere la posesión de conceptos que son de naturaleza ampliamente numérica, o como los llamamos, conceptos numéricos .Nota1
Al escribir este Elemento, tenemos un par de objetivos centrales.
El primero es resumir y evaluar críticamente la investigación empírica sobre la cognición numérica del tipo que se lleva a cabo en la psicología del desarrollo y la ciencia cognitiva –que llamaremos investigación en cognición numérica (NCR, por sus siglas en inglés)– y hacerlo de una manera que sea útil para los filósofos con poco o poco conocimiento de los números. No hay antecedentes en esa investigación.
El segundo objetivo es resaltar cómo la investigación de campos tan dispares –como la filosofía de las matemáticas, la psicología del desarrollo y la lingüística– pueden informarse mutuamente, de maneras que antes no se apreciaban. En particular, al resaltar los supuestos teóricos que subyacen a gran parte de la NCR y al aportar conocimientos de la filosofía de las matemáticas y la lingüística para influir en estos supuestos, esperamos generar un mayor diálogo interdisciplinario.
Aquí, describimos cómo el Elemento intenta lograr este segundo objetivo, considerando por qué los investigadores de cognición numérica (NCR) deberían preocuparse por la filosofía de las matemáticas y por qué los filósofos de las matemáticas deberían preocuparse por la NCR. A lo largo del camino, destacamos las cuestiones clave planteadas a lo largo del Elemento, al tiempo que indicamos las secciones relevantes.
1.1¿Por qué interesarse por la filosofía de las matemáticas?
Una de las razones por las que las NCR deberían preocuparse por la filosofía de las matemáticas es que los tipos de cuestiones fundamentales estudiadas dentro de esta área de la filosofía informan habitualmente a las NCR. Específicamente, como veremos, las NCR a menudo adoptan supuestos filosóficos controvertidos sobre cuestiones como qué son los números naturales y cómo se representan en el lenguaje y el pensamiento.
Para ser claros, no hay nada malo en importar supuestos fundamentales a la NCR. De hecho, puede que sea inevitable. Sin embargo, queremos resaltar cinco puntos con respecto a la forma en que tales supuestos figuran dentro del NCR. En primer lugar, estos supuestos suelen ser sólo una pequeña muestra de las opciones disponibles. En segundo lugar, y a pesar de ello, rara vez se justifican las opciones preferidas. En tercer lugar, las decisiones tomadas a menudo tienen un efecto importante en la forma en que se lleva a cabo la NCR. En cuarto lugar, a menudo existen problemas independientes con las opciones elegidas. Finalmente, a veces la adopción de una alternativa descuidada evitaría estos problemas y arrojaría las cuestiones empíricas bajo una luz muy diferente.
A modo de ejemplo, consideremos el supuesto metafísico predominante sobre los números naturales dentro de NCR: la caracterización de Frege-Russell . Desde este punto de vista, los naturales son, en términos generales, colecciones de conjuntos que tienen el mismo número de miembros. Por ejemplo, el número dos se identifica con el conjunto de todos los conjuntos de dos miembros, el número tres con el conjunto de todos los conjuntos de tres miembros, y así sucesivamente. Como veremos en la Sección 4.2.3 , a pesar de su innegable influencia tanto dentro como fuera de la filosofía, la adopción de la caracterización de Frege-Russell dentro del NCR no sólo ha ejercido un efecto significativo en la forma en que se lleva a cabo la investigación, sino que también ha llevado a ciertos problemas teóricos que no han sido ampliamente apreciados. Además, existen alternativas disponibles que, si se adoptan, evitarían estos problemas y tendrían implicaciones importantes para una serie de cuestiones empíricas relevantes.
Primero, tenga en cuenta que la caracterización de Frege-Russell es sólo una versión de varios tipos de caracterizaciones de los naturales disponibles. Específicamente, es una caracterización cardinal : una que caracteriza a los naturales como respondiendo preguntas de "cuántos". Sin embargo, no sólo hay otras caracterizaciones cardinales disponibles, sino que también hay diferentes tipos de caracterizaciones, a saber, caracterizaciones ordinales y estructuralistas ( Sección 4.1 ).
En segundo lugar, aunque las NCR adoptan con mucha frecuencia la caracterización de Frege-Russell, su adopción rara vez, o nunca, se justifica explícitamente. De hecho, comoRips de referencia, Bloomfield y AsmuthRips et al. (2008 , p. 625) observan, a pesar de la disponibilidad de alternativas,
Casi toda la investigación cognitiva sobre el desarrollo de conceptos numéricos se basa en la idea de que dichos conceptos dependen de la enumeración de objetos. … Los psicólogos parecen haber sido influenciados … por la concepción de los números naturales como conjuntos de todos los conjuntos equinumeros de objetos. Nota2 (ver Frege 1884/1974; Russell 1920)
Por ejemplo, después de preguntar de dónde provienen los conceptos numéricos y cómo se desarrollan,Referencia vanMarle y BanguvanMarle (2018 , p. 131) proporciona inmediatamente una respuesta a la pregunta de qué son los números: “Como lo describe Frege (Frege, 1884/1980), formalmente, los números son un tipo especial de conjuntos”.Nota3
En tercer lugar, y a pesar de esto, adoptar la caracterización de Frege-Russell tiene implicaciones importantes para cuestiones centrales en NCR, incluidas las siguientes:
Denotaciones de palabras de conteo: Se supone que las palabras de conteo (palabras utilizadas para contar, como 'uno', 'dos', 'tres', etc.) denotan números naturales, como colecciones de conjuntos ( Sección 4.2.3 ). Por ejemplo,Referencia Bloom y WynnBloom y Wynn (1997 , p. 512) escriben: “[En dos gatos negros ], dos es un predicado que se aplica al conjunto de gatos. Como ha argumentado Frege (1893/1980), los números son predicados de conjuntos de individuos”. La presunción parece ser que debido a que 'dos' predica la duplicidad de conjuntos, el número dos debe ser la extensión de ese predicado. Sin embargo, además de ser una interpretación dudosa de Frege (Referencia BenacerrafBenacerraf [1965] ), el análisis supuesto no es el único –ni siquiera el más destacado– análisis de palabras de conteo disponible ( Sección 4.2.3 ).
Estados representacionales de sistemas centrales : Se supone que ciertos llamados “sistemas centrales” ( Sección 2.2 ), como el Sistema de Números Aproximados (ANS), el Sistema de Números Pequeños (SNS) y la facultad de lenguaje, implementan representaciones de conjuntos. Por ejemplo, en lo que respecta a la ANS,Referencia CareySusan Carey (2009a , p. 136) escribe: “Las representaciones de números de magnitud analógica… requieren representaciones de conjuntos”. Del mismo modo, respecto al SNS, Carey (Referencia CareyCarey, 2009a , pág. 150) escribe: “La individuación paralela, al igual que la representación de números de magnitud analógica, depende de representaciones de conjuntos y admite cálculos cuantitativos sobre conjuntos”. Finalmente, con respecto a la semántica del lenguaje natural, (Referencia CareyCarey, 2009a , págs. 320-321) escribe: “Los tratamientos semánticos de los cuantificadores requieren los conceptos abstractos de individuo y conjunto”. Nuevamente, sin embargo, estono es la única manera, y mucho menos la más plausible, de describir lo que representan estos sistemas ( Sección 4.2.3 ).
Capacidades de representación : a veces se supone que debido a que los conceptos numéricos denotan conjuntos, adquirir dichos conceptos requiere capacidades de representación implícitas en ciertos programas fundamentales, como la teoría de conjuntos de Zaremlo-Fraenkel o la aritmética de Frege ( Sección 4.1 ). CitandoReferencia CareyCarey (2009b , págs. 1-2):
([C]acterizar los prerrequisitos lógicos para el número natural) conduce a análisis como aquellos que intentan derivar los axiomas de Peano-Dedekind de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel o la prueba de Frege que intenta derivar estos axiomas de la lógica de segundo orden y el principio de que si dos conjuntos se pueden poner en correspondencia 1-1 y tienen el mismo valor cardinal. Dichos análisis buscan descubrir la estructura del concepto de número natural y ciertamente involucran capacidades de representación extraídas del pensamiento matemático maduro.
Sin embargo, estos no son los únicos programas fundamentales capaces de derivar los axiomas de Dedekind-Peano (Referencia Snyder, Samuels y ShaprioSnyder y cols. [2019] ). Además, si adquirir los conceptos relevantes implica una inducción a partir de entradas perceptivas, entonces adquirir tales conceptos parecería requerir la capacidad de percibir objetos abstractos. Por el contrario, las alternativas disponibles no requerirían dicha capacidad ( Sección 4.2.3 ).
En cuarto lugar, a pesar de su influencia, existen problemas importantes a la hora de adoptar la caracterización de Frege-Russell en el contexto de la NCR. Por ejemplo, además de requerir potencialmente la percepción de abstracto, cuando se combina con suposiciones independientemente plausibles sobre las funciones semánticas de las palabras numéricas, la caracterización de Frege-Russell hace numerosas predicciones semánticas falsas ( Sección 4.2.3 ).
Finalmente, sugerimos en la Sección 4.3 que reemplazar la caracterización de Frege-Russell con otros compromisos fundamentales evita algunos de los problemas a los que acabamos de aludir y arroja ciertas cuestiones centrales sobre la cognición numérica bajo una luz significativamente diferente. Por ejemplo, una vez que se abandona la caracterización de Frege-Russell, sostenemos que es plausible considerar que la evidencia semántica disponible respalda un tipo novedoso de pluralismo conceptual sobre los conceptos numéricos, uno en el que los adultos poseen múltiples conceptos distintos, pero semánticamente relacionados, para cada palabra numérica en su léxico.