Cuantificadores

1.  Sintaxis y semántica clásicas para la cuantificación

        Podemos presentar la lógica clásica de primer orden como una extensión de la lógica proposicional ampliando su lenguaje con: 

1. Nombres para los predicados

2. Nombres para los objetos

3. Letras para señalar lugares de argumentos

4. Dos nuevas expresiones lógicas: el cuantificador universal y el particular. 

Dado un lenguaje así ampliado L, veamos qué puede significar verdadero-en-L y deducible-en-L.

Verdadero-en-L

        Para establecer las condiciones de verdad de fórmulas atómicas como Pa, no podemos recurrir a los valores de verdad de sus elementos componentes (como hicimos en la lógica proposicional con expresiones compuestas del tipo p^q), pues ni P (un predicado) ni a (el nombre de un objeto) son ya fórmulas. P, al no ser una fórmula, no puede tener valor de verdad, y una fórmula como Px, que está formada por un predicado y una letra que marca un lugar vacío, el lugar del argumento, tampoco puede tener por ello valor de verdad. Será necesario cerrar las fórmulas mediante cuantificadores existenciales o universales para que éstas tengan un valor de verdad asociado.

        Podemos entender los predicados como funciones con dominio en un conjunto de objetos y valores en el conjunto {V, F}. Extenderemos a la lógica de primer orden la noción de verdad mediante la noción de satisfacción de Tarski, siguiendo las siguientes definiciones parciales:

        Una interpretación es un mecanismo que permite asignar uno de los dos valores de {V,F} a toda fórmula. Para ello es necesario dar significado a cada símbolo que aparece en la fórmula. Para interpretar una fórmula debemos seguir los siguientes pasos:

1. Determinar una estructura: un universo de objetos y un sistema de propiedades para esos objetos.

2. Presentar una secuencia objetiva (SI ), lista arbitraria (finita o infinita, elementos iguales o distintos, da igual) de objetos del universo del discurso.

3. Asignar un valor de verdad a cada constante proposicional (p, q,,...).

4. Asignar un objeto del universo a cada constante individual (a,b,c...)

5. Asignar una propiedad de grado N a cada constante predicativa de grado N

6.  Asignar a cada variable individual libre de índice n el enésimo elemento de la secuencia objetiva del punto 2.

        Con estas herramientas podemos acometer la reducción tarskiana de la noción de verdad a la de satisfacción de la siguiente manera:

A) Sean α y β dos formulas cualesquiera; sea SI  una secuencia de objetos y sea I una interpretación.

B) Definiciones previas::

DEF 1. Satisfacción para fórmulas atómicas proposicionales (es decir, casos en los que la fórmula α es simplemente una constante proposicional p, α=p).

SI  satisface (no satisface) α en la interpretación I si I(α)=V  (I(α)=F)

DEF 2 . Satisfacción para fórmulas del tipo α = Pa.

SI satisface (no satisface) α en la interpretación I sii I(a)=Om, I(P)=Fn y Om  pertenece (no pertenece) a Fn

Es decir: sii el objeto que la interpretación I asigna al nombre a pertecene a la extensión del predicado que I asigna a P.

DEF 3. Satisfacción de fórmulas abiertas del tipo  α = Pxn (es decir, fórmulas que tienen variables no ligadas por cuantificador alguno)

SI satisface (no satisface)  α  en la interpretación  I sii I(xn)=sn, I(P)=Fn , y sn pertenece (no pertenece) a Fn.

Es decir, si el n-ésimo elemento de la lista SI (sn) es uno de los elementos de la extensión del predicado asignado a P en I.

DEF 4 satisfacción de fórmulas con negación

SI satisface (no satisface) no α en I sii no satisface (satisface) α en I.

DEF 5 satisfacción de fórmulas con conjunción

SI  satisface α ^ β en I sii satisface α en I y satisface  β en I

SI  no satisface  α ^ β  en I sii no satisface  α en I o no satisface β en I.

DEF 6. Satisfacción de fórmulas con disyunción

SI  satisface α v β en I sii satisface α en I o satisface β en I

SI  no satisface  α v β  en I sii no satisface α en I y no satisface β en I.

DEF 7. Satisfacción de fórmulas con condicional

SI  satisface α -> β en I sii no satisface α en I o satisface β en I

SI no satisface  α -> β  en I sii satisface  α en I y no satisface β en I.

DEF 8. Satisfacción de fórmulas cuantificadas universalmente. Por ejemplo,∀x1 Px1. 

Recordemos que SI es una secuencia de objetos. Si queremos que SI satisfaga∀x1 Px1, será condición sii que sea cual sea el primer elemento de la secuencia (esto es, ∀x1) si el resto son iguales a los de SI, la secuencia satisfaga α en I. Por tanto:

SI satisface ∀xi Pxj en I sii SI y toda secuencia S de objetos que difiera sólo en el j-ésimo elemento (si) satisface α en I.

SI no satisface ∀xi Pxj en I sii SI o alguna secuencia S de objetos que difiera sólo en el j-ésimo elemento (si) no satisface α en I.

DEF 9. Satisfacción de formulas cuantificarlas existencialmente.Por ejemplo, ∃x1 Px1.

SI satisface ∃xi α en I sii SI o alguna secuencia S  de objetos que difiera sólo en el i-ésimo elemento (si) satisface α en I.

SI no satisface ∃xi α en I sii S1 y toda secuencia S de objetos que difiera sólo en el i-ésimo elemento (si) no satisface α en I. 

C) Definimos  "es verdadero" para una lógica clásica de primer orden:

Una fórmula cualquiera α es verdadera-en-I si y sólo si toda secuencia de objetos SI del universo del discurso satisface α en I.

Una fórmula cualquiera α es falsa-en-I si y sólo si ninguna secuencia de objetos SI del universo del discurso satisface α en I.

D) Definimos satisfacción y validez.

α es satisfacible si existe una interpretación I tal que SI  satisface α en I.

α no es satisfacible si no existe una interpretación I tal que SI  satisface α en I.

α es válida si ∀I, ∀SI, SI satisface α en I.

α no es válida si ∃I tal que ninguna secuencia SI satisface α en I.

Hay un ejemplo de todo ello en las páginas 91-93 del manual de la asignatura.

Deducible-en-L

        Tenemos en la lógica de primer orden dos nuevas expresiones lógicas, de introducción y eliminación de los cuantificadores existencial y universal.

2. Dos interpretaciones de las variables individuales (v. i.): sustitucional y objetual.

        Existen dos interpretaciones diferentes de la cuantificación, ligadas a dos compromisos ontológicos diferentes:

1. Interpretación sustitucional: las v.i. (x,y,z...) se sustituyen por nombres propios, sin hacer afirmaciones sobre su estatuto ontológico. Tanto pueden ser actuales como meramente posibles, concretos o abstractos. Un nombre propio ocupa el lugar vacío de la expresión predicativa. Cuando se ha efectuado dicha substitución, la expresión predicativa se convierte en enunciado cerrado, y por tanto con valor de verdad.

2. Interpretación objetual. Un predicado es verdadero por la existencia de objetos que satisfacen sus predicados. Un objeto satisface o no satisface un enunciado abierto, un predicado. 

        La interpretación segunda (objetual) se refiere a una concepción absoluta de la verdad y no puede ser relativa a mundos posibles. La primera (sustitucional) en cambio permite afirmaciones relativas como "verdadero en M1" (verdadero en el mundo posible 1).

La posición de Quine

        La interpretación objetual es defendida por Quine,  que no quiere dejar ninguna posibilidad abierta a la cuantificación sobre predicados, para Quine "ser es ser el valor de una variable". Para este autor, si pudiéramos usar con sentido expresiones como "existen propiedades F e individuos x tales que Fx", desaparecería la diferencia entre objetos y predicados por conceder realidad a los predicados como si de objetos se tratara. Un objeto es la referencia de nombre propio y sólo los objetos son candidatos a saturar funciones abiertas, ocupando la posición de las variables afectadas por la cuantificación. Por lo tanto Quine renuncia a la posibilidad de desarrollar lógicas de segundo orden.

        Lo mejor es renunciar a la posibilidad desarrollar lógicas de segundo orden. El cuantificador existencial se aplica a entidades, pero no hay entidad sin identidad, y lo único que podemos identificar son objetos. Por eso no podemos afirmar la existencia de predicados ni de proposiciones.

        Esta postura de Quine es falsa: si afirmamos, por ejemplo, que existen propiedades que son verdaderas para Sócrates (∃P Pa), P sigue cumpliendo su función de predicado por muy cuantificado que esté. No es la posibilidad de cuantificación lo que diferencia a un nombre de objeto de un nombre de predicado, ni a sus contrapartidas ontológicas (el propio objeto y el propio predicado).

        En suma, la posición de Quine es ésta: ninguna cuantificación sin entidad ninguna entidad sin identidad, ninguna identidad sin indiscernibilidad.

Relación entre referencia, verdad y cuantificación: teoría russelliana de las descripciones

        En el lenguaje natural podemos usar expresiones que hacen referencia a objetos que no existen. Estos casos pueden hacer fracasar la sustitución de idénticos salva veritate. La teoría russelliana de las descripciones trata de evitar estos casos. A modo de ejemplo: "el único F es G" no es una expresión de tipo sujeto-predicado. La expresión bien construida sería "existe un único objeto x que es F, y ese objeto x es G" ahora los predicados son monádicos, y el cuantificador ópera sobre un conjunto de objetos, no de predicados. De la misma manera, según Russell podríamos eliminar todos los nombres propios de objetos, transformando las fórmulas en las que aparecen por otras en los que tales nombres se sustituyen por variables individuales ligadas por cuantificadores.

Comparación de las teorías tarskiana y fregeana de la verdad

La teoría tarskiana hace una interpretación objetual de la cuantificación (baste ver la definición 2 de Satisfacción para fórmulas del tipo α = Pa) . No se basa en la existencia de enunciados atómicos. Tarski explica en lógica de primer orden, la verdad de los enunciados (tanto atómicos como moleculares) en términos de satisfacción de los predicados (como se ha visto más arriba): para Tarski el predicado es anterior al enunciado.

La teoría fregeana tiene como componentes básicos los enunciados atómicos y sus dos posibles valores de verdad. Frege asocia la cuantificación universal a una conjunción de valores de verdad, y la existencial a una disyunción de los mismos. Para Frege el enunciado es previo a los predicados: encontramos predicados tras analizar el enunciado.

        Sin embargo las diferencias no son demasiado grandes: ambos admiten que las condiciones de verdad de los enunciados atómicos se explican a través de objetos que caen o que no caen bajo conceptos. Por lo tanto, ni la visión de Tarski es puramente sustitucional. Quien sí defiende una visión totalmente sustitucional es R. Marcus.

La visión sustitucional de R. Marcus

        Coincidiendo con Frege, afirma que, en un universo de discurso finito:

1. Las condiciones de verdad de ∀xPx son las de (Pa^Pb^...^Pn)

2. Las condiciones de verdad de ∃xPx son las de (Pa v Pb v ... v Pn)

        Pero a diferencia de Frege, Marcus no exige ninguna referencialidad para que los nombres puedan ocupar los lugares argumentales. Marcus admite nombres no referenciales. Podemos hacer afirmaciones sobre objetos meramente posibles sin comprometernos por ello en sus existencia. No se debe confundir el manejo del cuantificador existencial con la afirmación de existencia en nuestro mundo actual (Mo). Para Marcus sí tiene sentido hablar de tales objetos que no existen en Mo, no así para Quine. Para Marcus ser no es ser el valor de una variable.

        Frente a la afirmación de Quine: ninguna cuantificación sin entidad ninguna entidad sin identidad, ninguna identidad sin indiscernibilidad, Marcus dirá que un enunciado cuantificador existencialmente no dice que sean reales los objetos de los que se predica algo. Por tanto, la teoría sustitucional de Marcus sí es netamente sustitucional.

        Quine, por supuesto, objeta varias cosas:

1. Podemos tener más nombres que objetos, y viceversa, de modo que puede no haber isomorfismo alguno entre ambos.

2. Las equivalencias de los cuantificadores con conjunciones y disyunciones no tienen sentido para universos infinitos.

        En todo caso, siempre podemos decir, con Kripke, que definido un lenguaje L, con una semántica adecuada no necesitamos tener objetos anónimos, podemos estipular que todos los nombres tienen referencia, e incluso aceptar nombres sin referencia definiendo para ellos una pseudodenominación que los diferencie de los nombre realmente referenciales. En el mundo ficticio también "hay" cosas. "Don Quijote es caballeroso" es un enunciado verdadero-en-M1. Don Quijote es un asesino" es un enunciado falso-en-M1. Y así como podemos hacer afirmaciones circunscritas a la novela "El ingenioso Hidalgo...", también podemos hacerlas sobre el mundo matemático, u otros mundos diferentes del mundo Mo, y afirmar que "hay conceptos contradictorios" o que "algunos pares de conceptos tienen intersección no vacía"