OTRAS LOGICAS

En la lógica clásica existen ciertas restricciones:

1. No tienen cabida los conceptos vagos, para los que dado un concepto no podamos decir dicotómicamente si un objeto cae bajo él o no.

2. Todas las fórmulas atómicas tienen un valor de verdad asociado, que sólo puede tomar además dos valores: V y F.

        Estos presupuestos se concretan en las leyes más básicas de la lógica clásica: para todo objeto a y todo predicado Ψ:  (Ψα v ¬Ψα) y  ¬(Ψα^ ¬Ψα ). En lógica proposicional diríamos que (p v ¬p) y que ¬(p^¬p). Son los conocidos principios del tercio excluso y de no contradicción, ambos dependientes el uno del otro. La existencia de enunciados para los fue enorme parecen adaptarse bien estas exigencias derivó en el planteamiento de lógicas diferentes.

1. Condicional e implicación

        La noción clásica de implicación permite concluir válidamente una afirmación cualquiera tras un conjunto contradictorio de premisas, o concluir una verdad lógica a partir de una afirmación cualquiera (ver ejemplo en pg 125 del manual)

α^ ¬α           β    

    β           α v ¬α

        La secuencia completa de la primera deducción sería:

α^ ¬α

   α

  ¬α

 α v β

    β

        Hay quienes por el contrario exigen relevancia de las premisas a la hora de alcanzar la conclusión. Pare ello se elabora un nuevo concepto de secuencia lógica. Para ello es necesario rechazar alguno de los principios lógicos tales como:

1.  (p^q->p)

2. p -> p v q

3. (p v q) ^ ¬p ] -> q

4. (p-> q) ^ (q -> r)] -> p -> r

        Los defensores de la lógica de la relevancia rechazan el silogismo disyuntivo (3), y exigen una conexión entre los significados de las premisas y los de la conclusión.

        En este sentido C.I. Lewis introdujo el concepto de implicación estricta, para el que ideó el símbolo: --{

Se define así: a --{ b = df. ¬ ♢ (α^ ¬β).

        El sentido que quiso dar Lewis es que bajo ninguna interpretación sucede que el antecedente sea cierto y el consecuente falso. Pero que algo suceda necesariamente bajo toda interpretación posible es precisamente el concepto de consecuencia semántica, ya visto (una especie de π invertida que ahora resentaré por limitaciones tipográficas como π) (pg. 37 del manual). Sin embargo, esto no se logra tal y como Lewis lo pretendió. Sucede que hay fórmulas con π que están mal formadas, estando correctamente formadas las idénticas con  --{. Esto sucede porque Lewis  pretendió en un símbolo aunar el signo meta lingüístico de la consecuencia semántica con el signo clásico del condicional, y un signo no puede se usado en dos niveles dientes de esa manera.

2. La lógica modal clásica.

        Dos motivaciones existían para el surgimiento de la lógica modal:

1. La clásica no tiene capacidad de explicar argumentos intuitivamente válidos, cuya validez parece desprenderse del uso de operadores modales.

2. A veces necesitamos hacer uso de nociones modales de necesidad y de posibilidad.

        Se introducen por ello dos operadores monádicos nuevos, los modales: posiblidad ♢  y necesidad ☐ . Sin embargo no se comportan como el único operador monádicos que conocíamos, la negación ¬. La negación de una afirmación coincide con la afirmación de la negación,  pero afirmar que no es necesario p no es lo mismo que afirmar que es necesario que ¬p.

        Los enunciados con operadores modales no son veritativo-funcionales: al aplicar dichos operadores a un enunciado no los aplicamos a su valor de verdad, sino  al pensamiento que expresan.

        La lógica clásica ampliada con estos operadores modales tiene los siguientes axiomas y definiciones.

DEFINICIONES

 ☐ α = df. ¬♢¬α

♢ α = df. ¬ ☐¬α

AXIOMAS DE LA LÓGICA CLÁSICA 

A1: (p v q) -> p

A2: q ->(p v q)

A3: (p v q) -> (q v p)

A4: (q->r) -> (p v q) -> (p v r)

REGLAS DE TRANSFORMACIÓN CLÁSICAS

R1: Sustitución uniforme

R2: modus ponens

A partir de todo ello, tenemos cuatro sistemas modales, denominados T, S4, S5 y de Brower.

Sistema T:

Axiomas A1-A4

A5: ☐ p -> p

A6:☐  (p -> p) -> ( ☐ p -> ☐ q)

R1-R2

R3 Necesidad: toda verdad lógica es necesaria.

Sistema S4:

T

A7: ☐ p -> ☐ ☐  P

Sistema S5:

T

A8: ♢p-> ☐  ♢ p

Sistema de Brouwer:

T

p ->  ♢ p (si algo es verdadero, entonces es posible)

        La lógica modal proposicional en cualquier variante no es sino una a pasión conservadora de la lógica clásica. La cuestión es qué interpretación dar a los nuevos operadores. Una teoría del significado de los operadores modales no es diferente de la teoría de la verdad que estemos dispuestos a defender. La propuesta de Kripke es:

♢ p significa que existe un mundo posible M donde p. 

        Dado que Kripke no pretender afirmar que existen otros mundos a parte del nuestro, se apresura en explicarse: un mundo posible kripkeano no es sino una situación contrafåcticaes decir, se construye desde lo que es y no es el caso en el mundo actual. La evaluación de mundos posibles se hace por referencia al conjunto de todos ellos en un modelo U: un modelo es el par (U,I), donde U es un conjunto no vacío de mundos posibles entre los que figura el actual, e I: (U, P) -> {V,F} es una función de interpretación diádica que a cada enunciado p de un conjunto de enunciados P, y para cada mundo posible Mi, le hace corresponder un valor, V ó F.

        Un modelo tal que U={Mo, M1, ... , Mn} tq I(p, Mi)= F para i distinta de 3. ( por ejemplo), y I(p, U3)= V, sería un modelo para ¬p ^  ♢ p, pues p es falso en el mundo actual Uo, pero es verdadero en un mundo posible (U3).

        Así, las condiciones de verdad quedan fijadas de la siguiente manera:

1. α es verdadera en un mundo posible Mn de un modelo U sii I(α, Mn)= V

2. ¬α es verdadera en Mn de U sii I(α, Mn)= F

3. α v β es verdadera en Mn de U sii I(α, Mn)= V  o I(β, Mn)= V

4. α^β es verdadera en Mn de U sii I(α, Mn)= V  y I(β, Mn)= V

5. α->β es verdadera en Mn de U sii α es falsa en Mn de U o β es verdadera en Mn de U

6. ♢ α es verdadera en Mn de U sii hay un mundo M' de U en el que α es verdadera

7.  ☐  α es verdadera en Mn de U sii es verdadera en todo Mi de U.

        Nos queda el problema de cómo identificar objetos y propiedades en todo mundo posible. ¿Qué significa posibilidad aplicada a un objeto, del que sólo observamos que Pa o que  ¬Pa? La respuesta a ello difiere según consideremos que en todo mundo posible los objetos son los mismos (quizás con diferentes propiedades), o que no sea así. Denominamos dominio al conjunto de objetos de cada mundo.

        Para el caso de dominios iguales, Barcan propone dos verdades lógicas:

1.  ♢ ∃ Fx → ∃x ♢  Fx 

2. ∀x ☐Fx →  ☐∀x Fx

        Si los dominios no son iguales tenemos la dificultad adicional de que haya dominios con objetos que no existen en el mundo actual. Eso implica que nos encontraremos con términos singulares que no hacen referencia a ningún objeto de Mo. ¿Qué hacer con ellos? Al menos seis posibilidades han sido enunciadas:

1. Tales nombres sí tienen referencia: denotan objetos posibles no reales.

2. Tales nombres tienen referencia, pero la referencia  no es siempre una entidad espaciotemporal. Es ante todo una noción semántica.

3. Los enunciados que contienen tales términos no tienen valor de verdad pues no denotan objeto actual alguno.

4. Los enunciados que contienen tales términos tienen un valor de verdad indeterminado o sólo posible

5. Siempre podemos evitar el uso de tales nombres propios no referenciales, reduciendo los a descripciones definidas como hizo Russell.

6. Las variables cuantificadas están ligadas a los mundos posibles, y designan entidades sólo en el dominio específico de cada mundo posible.

        La salida del atolladero más adecuada quizás sea la de Føllesdal: todas las constantes individuales utilizadas son referenciales con definición y designan el mismo objeto en todo mundo.

3. Lógicas trivalentes.

        Lukasiewicz propone una lógica trivalente con un valor añadid, I, lo indeterminado, lo posible. Pretende escapar al determinismo, y para ello tiene que dar definiciones trivaluadas de los cuatro operadores básicos: el monádicos de negación y los diádicas de conjunción, disyunción e implicación. Lo hace así

El problema de este sistema es doble: 

1. α->β deja de ser equivalente tanto a (¬α v β) como a ¬(α^¬β).

2. Dejan de ser válidas todas las fórmulas del tipo (α v ¬α) ο ¬ (α^¬α)

Debido a ello, surgen diversos sistemas trivalentes que sortean unas u otras dificultades:

1. Sistema de Kleene: elimina del conjunto de verdades lógicas la del tercio excluso. Este sistema da al valor de verdad I el significado de "indefinido". El sistema de Kleene coincide con el de Lukasiewicz en las definiciones de la negación, conjunción y disyunción, pero difiere en el de la implicación.

con este sistema se recrea la equivalencia entre α->β , (¬α v β) y ¬(α^¬β), pero se pierde el tercio excluso, el de no contradicción y el de identidad. Es decir, dejan de ser verdades lógicas tanto α->α,  (¬α v α) o ¬(α^¬α)

2. Sistema de Bolchvar

        Este sistema da al valor de verdad I el significado de "paradójico, sin sentido". Cambiando las definiciones de la implicación, la conjunción y la disyunción consigue que todas las fórmulas con alguna subfórmula con estado I tengan ese mismo estado I. Da prioridad con ello a los enunciados afirmables, que son los que no contienen partes asignificativas, pues el carácter asignificativo de una parte contamina a todo el conjunto.

        Como en el caso de sistema de Kleene, la equivalencia entre (α->β),  (¬α v β) y ¬(α^¬β) queda asegurada.

3. Sistema de Blau

        Hace hincapié en que un enunciado tiene dos maneras de no ser verdadero: ser falso o no teniendo valor de verdad. Por ello introduce un operador monádicos nuevo, el perlados de afirmación, representado ir una barra vertical (|).  | p se lee "es verdadero que p". Así, |p= V sii p es verdadero, siendo la equivalencia entre |p= F tanto si el valor de verdad de p es I como F.

        Si p= "el actual rey de Francia es poeta", | p = "es verdad que el actual rey de Francia es poeta" y  ¬( | p)= "no es verdad que el actual rey de Francia es poeta". Entonces el valor de verdad de p en I, el de ¬p también es I, pero el de (| p ) es F y el de ¬( | p) es V.

       Ahora el tercio excluso, que no valía para p, sí vale para | p.

4. Lógica intuicionista

        La lógica intuicionista sustituye noción lógica de verdad por la de construibilidad. Renuncia por ello al tercio excluso. Un enunciado de la forma (α v ¬α) será dado por verdadero sólo en el caso de que se demuestre α o se demuestre ¬α. Para conseguir esto, lo primero que se hace es modificar el significado de la negación clásica. Si sustituimos la noción de verdad por la de afirmabilidad, del hecho de que ¬α no sea afirmable no podemos deducir que α sí lo es. Por lo tanto, la siguiente regla de derivación no será correcta:

¬¬ α

  α

        Es decir, del resultado  ¬α no podemos seguir que ¬¬α es una contradicción. Sin embargo, si de α obtenemos una contradicción sí podemos concluir ¬α. Propiamente es la regla de eliminación de la doble negación la que no podemos aceptar en lógica intuicionista. La lógica intuicionista no es una recusación de la bivalencia (V,F), en el aso de que a tenga un valor de verdad, éste será V ó F; no hay una tercera posibilidad. Pero puede ocurrir que a no tenga un valor de verdad, y eso no lo sabremos hasta que tengamos una prueba de que a es construible. Se rechaza el principio del tercero excluido.

        El Principio del Tercero Excluido llevado a la lógica de primer orden afirma que dado un predicado P, para todo objeto se cumple Pa o ¬Pa.