Objetos abstractos
Publicado en línea por Cambridge University Press: 05 febrero 2024
Resumen
Los filósofos a menudo debaten la existencia de cosas como los números y las proposiciones, y dicen que si estos objetos existen, son abstractos. Pero ¿qué significa llamar algo "abstracto"? ¿Y tenemos buenas razones para creer en la existencia de objetos abstractos? Este Elemento aborda esas cuestiones, poniendo a los recién llegados a estos debates en condiciones de comprender a qué se refieren y cuáles son las consideraciones más influyentes en el trabajo en esta área de la metafísica. También brinda consejos sobre qué líneas de discusión prometen ser las más fructíferas.
1 Introducción a este elemento
El debate sobre la existencia de objetos abstractos es como un paisaje complejo. En este Elemento esbozaré la configuración del terreno; Llamaré la atención sobre algunas características importantes que un recién llegado podría pasar por alto; Señalaré lo que me parecen callejones sin salida; e indicaré algunos caminos que merecen una mayor exploración. Esta será una introducción personal –incluso idiosincrásica– al debate sobre los objetos abstractos. No pretende ser un resumen insulso y neutral, sino una contribución a este campo de investigación. El aporte radica tanto en mi selección de material como en lo que digo al respecto.
Es apropiado que una introducción sea selectiva. Debido a que un Elemento tiene un límite estricto de palabras, he sido extremadamente selectivo. Hay muchos trabajos relevantes para el debate sobre los objetos abstractos que no menciono aquí. Eso no significa que los considere indignos de atención.
Llevo más de veinte años explorando este paisaje. Investigar la existencia de objetos abstractos ha sido muy gratificante: espero que este Elemento inspire al lector a unirse a la exploración y compartir las recompensas.
La noción de abstracción figura en una amplia gama de debates filosóficos. Espero que este Elemento también sea útil para quienes recurren a la noción de pasada. Debería ayudarles a ser conscientes de las complejidades que lo rodean, incluso si no necesitan ponerlas en primer plano en su trabajo.
Empiezo hablando de la definición de "objeto abstracto" y de qué lado del debate sobre la existencia de objetos abstractos recae la carga de la prueba. Luego paso a considerar argumentos a favor y en contra de su existencia. A partir de la Sección 3 , me centro en tres debates: la existencia de números, la existencia de proposiciones y la existencia de propiedades.
No hay consenso sobre si existen números, proposiciones o propiedades. De hecho, no hay consenso sobre si existen o no objetos abstractos. En la Sección 5 , ofrezco una explicación de la persistencia del desacuerdo sobre la existencia de objetos abstractos, reflexionando sobre los argumentos que he discutido.
2 Introducción al debate
2.1 ¿Qué significa "objeto abstracto"?
En el debate sobre la existencia de objetos abstractos, la palabra "objeto" es utilizada de diferentes maneras por diferentes filósofos. En el sentido que es importante para presentar el tema, "objeto" simplemente significa "cosa" o "entidad". En este sentido de "objeto", un objeto no es un tipo especial de cosa: todo es un objeto. Si descubrimos que existen objetos abstractos, entonces podremos debatir qué tipo de cosas son. Pero la cuestión más fundamental es si existen o no objetos abstractos.
El debate sobre la existencia de objetos abstractos pertenece, por tanto, a la parte de la metafísica conocida como "ontología", en la que intentamos descubrir qué existe. Existen desafíos bien conocidos a la legitimidad de la investigación ontológica; Los ignoraré aquí (ver Chalmers, Chalmers, Manley y WassermanChalmers 2009 para una encuesta). De manera similar, algunos filósofos sostienen que hay más en la realidad de lo que existe. Afirman que hay algunas cosas que no existen (ver por ejemplo Parsons 1980 ). Aquí presupondré que lo que hay y lo que existe son lo mismo.
Hay mucho más que decir sobre lo "abstracto". El término no tiene una definición estándar: los filósofos a veces afirman estar repitiendo la definición estándar, ¡pero las definiciones que dan son todas diferentes! A menudo los filósofos utilizan el término sin introducir lo que quieren decir con él. Dado que "abstracto" es un término técnico que diferentes filósofos utilizan de diferentes maneras, no tiene sentido debatir cuál es el significado correcto. Simplemente hay diferentes maneras de usar el término (RosenRosen 2009 : Sección 'Introducción'). Sin embargo, vale la pena considerar una pregunta estrechamente relacionada: ¿qué forma de utilizar el término es la más fructífera?
Para responder a esa pregunta, deberíamos empezar por preguntarnos cuál es la forma más popular de utilizar el término. Cuando nos involucramos en una conversación sobre "objetos abstractos", debemos intentar decir lo mismo que los demás participantes en el debate, o se producirá una falta de comunicación. Además, debemos tener en cuenta qué tipos de objetos se consideran comúnmente como claramente abstractos y claramente no abstractos: si nuestra forma de usar el término no respeta esas clasificaciones, eso es evidencia de que no hemos logrado aferrarnos al uso predominante. . Cuando se discute el significado de "abstracto" es conveniente escribir como si todos los candidatos a ser abstracto o no abstracto existieran. Eso ahorra escribir 'si existen' todo el tiempo. Así que seguiré esa política durante el resto de esta sección.
Se suele pensar que los objetos materiales, como las sillas, claramente no son abstractos. Comúnmente se piensa que los números son claramente abstractos. Por "número" aquí no me refiero a inscripciones físicas, como los números en la esfera de mi reloj, sino a los objetos a los que se refieren estas inscripciones.
Históricamente, una forma destacada de introducir la noción de abstracción fue en términos de una operación psicológica mediante la cual "abstraemos" algunas diferencias y nos centramos en las similitudes (RosenRosen 2009 : Sección 'El camino de la abstracción'). Pero ahora la abstracción se introduce comúnmente en términos de causalidad y ubicación espacio-temporal. Llame a algo "acausal" si no participa en interacciones causales. La noción de abstracción se introduce a menudo de la siguiente manera:
(D1) Algo es abstracto si es acausal y carece de ubicación espacio-temporal.
Las variaciones populares reemplazan "acausal" por "causalmente impotente" o "carece de poder causal": en estas definiciones, los objetos abstractos no participan en la causalidad.interacciones porque no pueden. Esa diferencia probablemente no sea muy significativa, porque hay poca plausibilidad en la idea de que los buenos candidatos para ser objetos abstractos sean capaces de una interacción causal pero de alguna manera nunca lo hagan. Por ejemplo, si dijéramos que los números pueden provocar incendios, entonces estaríamos bajo presión para explicar por qué nunca lo hacen. Es mejor decir que no pueden.
Dentro de la filosofía de las matemáticas, es común sostener que los números son acausales y las tablas no. Pero muchos filósofos que trabajan en la causalidad dirían que sólo los eventos son causas, por lo que los números y las tablas no causan nada. Si eso es correcto, entonces debemos explicar cómo algunos no eventos pueden considerarse causalmente activos aunque no sean causas. (Aquí me hago eco RosenRosen 2009 , sección 'El criterio de ineficacia causal'.)
La frase "carece de ubicación espacio-temporal" plantea profundas complejidades. Los filósofos rara vez explican lo que quieren decir cuando lo usan. ¿Algo que carece de una ubicación en el espacio cuenta automáticamente como carente de ubicación espacio-temporal? Si es así, entonces la parte "temporal" es redundante. Así que es de suponer que esto no es lo que se quiere decir.
Los objetos abstractos a veces se caracterizan como "más allá" o "fuera" del tiempo. Pero este discurso es desconcertante: no está claro cómo sacar provecho de estas metáforas. Los creyentes en los objetos abstractos piensan que existen ahora. Es natural pensar que los números siempre han existido y siempre existirán. Desde este punto de vista, los números son objetos especialmente antiguos y especialmente duraderos. Pero eso no significa necesariamente que estén "fuera" del tiempo en ningún sentido. Quizás ocupan el tiempo de la misma manera que, por ejemplo, las sillas: sólo que lo ocupan durante un período especialmente largo. Lo mismo ocurre con muchos otros objetos abstractos. Por lo tanto, es necesario desarrollar la noción de estar "fuera" del tiempo; y entonces será necesario defender la afirmación de que los objetos abstractos están "fuera" del tiempo en este sentido.
Los filósofos de la religión trazan una distinción entre sempiternalidad y eternidad que podría resultar útil aquí. Ser "sempiterno" es existir en todos los momentos del tiempo. "Eterno" es más difícil de definir; Hay mucha discusión sobre cuál es la mejor manera de hacerlo y si la idea realmente tiene sentido. (Stump y KretzmannStump y Kretzmann 1981 : 430 introducen la "eternidad" como "la condición de tener la eternidad como el modo de existencia de uno", y luego montan una defensa clásica de su coherencia.) Lo que está claro es que la eternidad pretende ser una alternativa a la sempiternalidad. Los filósofos que se sientan atraídos por la idea de que los objetos abstractos están "fuera" del tiempo podrían aprovechar este debate para desarrollar la idea y probarla.
Quizás pueda aclararse y defenderse la idea de que algunos objetos abstractos están "fuera" o "más allá" del tiempo. Pero es poco probable que esto pueda ser cierto para todos los objetos abstractos, porque algunos de ellos parecen haber sido creados por la actividad humana. Pensemos en Orgullo y prejuicio , no en copias físicas individuales, sino en la propia novela de la que son copias. Es plausible que se trate de un objeto abstracto; y antes de empezarPensando sistemáticamente en la metafísica de la ficción, nos inclinamos fuertemente a decir que ésta surgió sólo cuando Jane Austen la creó. Es posible que los números hayan existido desde los albores de los tiempos, pero las novelas del siglo XIX probablemente no. Los objetos abstractos creados por la actividad humana ni siquiera son sempiternos, por lo que tendrán pocas posibilidades de estar "más allá" del tiempo.
Este ejemplo muestra que, incluso si queremos decir que algunos objetos abstractos están "más allá" del tiempo, no es prudente incluir la idea de estar "más allá" del tiempo en la definición de "abstracto". También muestra que la noción de sempiternidad es de uso limitado aquí (sanaHale 1987 : 48-9 plantea un punto similar). Quizás algunos objetos abstractos (los números, por ejemplo) sean sempiternos. Pero no es prudente dar por definición que todos los objetos abstractos existen sempiternalmente.
La mayoría de las definiciones no hacen ninguna de esas cosas. Pero muchos de ellos incorporan la idea de carecer de localización espacio-temporal, algo que aún está por aclarar. Es notable que en el debate contemporáneo sobre la existencia de objetos abstractos, la noción de tiempo juega sólo un papel menor (Baker 2003 es una excepción notable). Muchos de los argumentos tendrían el mismo aspecto si "abstracto" se definiera de la siguiente manera:
(D2)Algo es abstracto si es acausal y carece de ubicación espacial.
Concluyo que incorporar un concepto temporal a la definición de "abstracto" es más complicado de lo que vale la pena.
A veces se dice que las cosas que carecen de una ubicación espacial están "fuera del espacio". Pero ésta es una metáfora peligrosa: fomenta la idea de que los objetos abstractos están infinitamente lejos de nosotros, en algún "reino abstracto". Debido a que los objetos abstractos carecen de una ubicación espacial, no son el tipo de cosas que se encuentran a distancia de otras cosas. No están ni cerca ni lejos: tales conceptos no se aplican. Como señala Rosen (1993 : 152), los objetos abstractos no están "en otra parte" sino "en ninguna parte".
De hecho, podemos ir más allá y señalar que lo importante aquí no es la idea de carecer de una ubicación espacial, sino la de carecer de una ubicación espacial particular . Quizás los números estén dispersos por todo el espacio: no podemos vincularlos a ubicaciones particulares, porque cada uno de ellos está en todas partes. Esa opción rara vez se discute. Sospecho que dejaría el debate tal como está.
Como dije, a menudo se piensa en los números como casos claros de objetos abstractos, y en los objetos materiales, como las sillas, como casos claros de objetos que no son abstractos. Deberíamos comprobar que ( D2 ) clasifica estos casos correctamente. Comencemos con los números.
Nadie hace que su comida sea más deliciosa espolvoreando algunos números en la cacerola, y nadie es llevado de urgencia al hospital después de una desagradable colisión con la raíz cuadrada de menos uno. No es sólo que no haya evidencia empírica de que tales cosas sucedan alguna vez; más bien, estamos seguros de que tales cosas nunca suceder, incluso sin comprobar la evidencia empírica. Esto se debe a que pensamos en los números como el tipo de cosas que no se pueden rociar, saborear ni chocar con ellas. Pensamos que los números son acausales.
Los profesores de matemáticas no llevan a sus alumnos a viajes escolares para acercarse a los números. Ni siquiera lo intentan. Nunca describimos los números como si estuvieran en un lugar particular; y sería ridículo afirmar que π se mueve lentamente hacia el suroeste. En otras palabras, no pensamos en los números como el tipo de cosas que están ubicadas espacialmente.
De modo que nuestro pensamiento habitual sobre los números los retrata como acausales y carentes de ubicación espacial. Hasta que surja un desafío suficientemente poderoso a nuestro pensamiento ordinario, ( D2 ) nos dice que los números son abstractos. Dado que los números son paradigmas de lo abstracto, ese es el resultado correcto.
Las mesas, por otra parte, están ubicadas espacialmente y son causalmente activas. Hay uno en esta habitación y está reflejando luz en mis ojos en este momento. Entonces ( D2 ) nos dice que las tablas no son abstractas; nuevamente, el resultado correcto.
De ahora en adelante, cuando llame a algo "abstracto", lo haré en el sentido dado por ( D2 ). Por brevedad y variedad, los filósofos a veces toman prestado del latín y llaman a los objetos abstractos "abstracta" (singular: "abstractum").
Probablemente muchas cosas diferentes sean abstractas. Es plausible pensar que los siguientes son acausales y carentes de ubicación espacial, por lo tanto abstractos: juegos (por ejemplo, ajedrez); idiomas (por ejemplo, sueco); conceptos (por ejemplo, el concepto de triángulo); teorías (por ejemplo, la mecánica newtoniana); ficciones (por ejemplo, Hamlet ); obras musicales (por ejemplo, la Primera Sinfonía de Beethoven); especies biológicas (por ejemplo, el pingüino rey); recetas (por ejemplo, de melocotón Melba); y mundos posibles. Por supuesto, para cualquier objeto, hay lugar para el debate sobre si realmente es abstracto.
A menudo no sabemos lo suficiente sobre un objeto para estar seguros de si cuenta como abstracto. No todas las entidades matemáticas son claramente abstractas. Considere el conjunto singleton de Edimburgo (escrito '{Edimburgo}'), es decir, el conjunto cuyo único miembro es Edimburgo. Es un tema de debate si este objeto se encuentra en Escocia o no se encuentra espacialmente en absoluto. Si decidimos que {Edimburgo} está ubicada espacialmente, no podemos decir que sea abstracta. No debemos suponer que todos los conjuntos carecen de ubicación o que todos los conjuntos tienen una ubicación. Quizás algunos conjuntos, como {Edimburgo}, estén ubicados espacialmente, mientras que otros conjuntos, como el conjunto vacío, no lo están. También cabe preguntarse si {Edimburgo} es acausal. ¿Es {Edimburgo} causalmente activa? ¿O es algo causalmente inactivo que contiene como miembro algo causalmente activo? Lo que digamos al respecto tendrá implicaciones sobre si contar o no a {Edimburgo} como abstracto.
Es común tomar propiedades como ejemplos claros de abstracto. Pero, de hecho, es controvertido si estas entidades cumplen las condiciones para ser consideradas abstractas. Existe un debate de larga data sobre la ubicación de las propiedades: ¿están donde¿Están sus instancias o en ninguna parte? Quizás el enrojecimiento esté donde están las cosas rojas, o quizás no esté en ninguna parte (ver OliverÓliver 1996 : 25-33). Sólo aquellos que niegan las ubicaciones espaciales de las propiedades pueden afirmar que las propiedades son abstractas. Si bien el debate sobre la ubicación de las propiedades sigue sin resolverse, deberíamos abstenernos de afirmar que las propiedades son objetos abstractos.
Las proposiciones también se clasifican con frecuencia como ejemplos claros de objetos abstractos. Pero el que digamos que son abstractos depende en parte de lo que digamos sobre su naturaleza. Consideremos la influyente explicación russelliana de las proposiciones. Según ese relato, las proposiciones son tuplas, algunas de las cuales tienen sillas entre sus miembros. ¿Es eso suficiente para localizar esas proposiciones? Si lo es, entonces no son abstractos. A menos que tengamos una buena razón para negar que tales tuplas carezcan de ubicación espacial, o para rechazar la explicación russelliana de las proposiciones, debemos mantener la mente abierta sobre si las proposiciones son abstractas. (Sobre la definición de "abstracto",LewisLewis 1986 : Sección 1.7 y RosenRosen 2009 son lecturas esenciales.)
2.2 La distinción abstracto/concreto
Hasta ahora sólo he hablado de si los objetos son abstractos o no. Ha llegado el momento de incorporar la noción de concreción. Al igual que con "abstracto", muchos autores no dejan claro exactamente qué quieren decir con "concreto", especialmente cuando utilizan el término de pasada.
Los objetos abstractos se contrastan con los concretos: los filósofos coinciden en que nada puede ser ambas cosas y hablan de la distinción "abstracto/concreto". Además, los objetos físicos como las sillas se consideran ejemplos claros de cosas concretas.
Como hemos visto, las sillas claramente no son abstractas. Para poder considerarse abstractos, tendrían que ser acausales y también tendrían que carecer de ubicación espacial. Las sillas no cumplen ambas condiciones, por lo que no son abstractas. Dado que las sillas son paradigmas de lo concreto, deberíamos clasificar como concreto cualquier cosa que no cumpla ambas condiciones. Pero ¿qué pasa con las cosas que no cumplen con una sola condición? ¿Deberíamos clasificarlos como concretos o no? En términos de la Tabla 1 , ¿deberíamos definir 'hormigón' como '(c)' o deberíamos definirlo como '(a), (b) o (c)'?
tabla 1Cuatro tipos de objetos
No ubicado espacialmente
Ubicado espacialmente
acausal
Abstracto
(a)
causalmente activo
(b)
(C)
Esta pregunta tendría poca importancia si las categorías (a) y (b) estuvieran ciertamente vacías, pero no lo están. El Ecuador parece estar ubicado espacialmente pero es acausal, por lo que parece pertenecer a (a). Los dioses y las almas cartesianas son vistos naturalmente como causalmente activos pero no ubicados espacialmente, por lo que es tentador clasificarlos como (b).
Ambas formas de definir "hormigón" parecen tener limitaciones. La frase "distinción abstracto/concreto" sugiere que todo es abstracto o concreto. (Es decir, sugiere que la distinción es exhaustiva.) Si definimos 'concreto' como '(c)', entonces tendremos que recordar que puede haber objetos queno son abstractos ni concretos: todo lo que está en (a) y (b). Eso complicará nuestro razonamiento: no podremos inferir " x es concreto" a partir de " x no es abstracto", ni " x es abstracto" a partir de " x no es concreto". Sobre esta definición, es engañoso hablar de la 'distinción abstracto/concreto': sería más claro hablar de la distinción 'abstracto/concreto/ninguno de los anteriores'.
Supongamos en cambio que definimos "concreto" como "(a), (b) o (c)", lo que equivale a definirlo como "no abstracto". Esa definición implica que si algo no es abstracto, es concreto; por lo tanto, por definición, todo es abstracto o concreto. Los objetos en (a) y (b) se clasifican como concretos. La distinción "abstracto/concreto" es entonces exhaustiva, por lo que la frase distinción "abstracto/concreto" no inducirá a error; y podemos inferir con seguridad " x es concreto" a partir de " x no es abstracto", y " x es abstracto" a partir de " x no es concreto". Así pues, esta forma de definir "abstracto" tiene algunas ventajas.
La desventaja de esta definición es que amenaza con hacer que lo concreto pierda interés. ¿Por qué esta categoría disyuntiva debería tener algún significado teórico? Es un saco de trapos en el que metemos todo lo que, por cualquier motivo, no logra ser concreto, en lugar de una categoría unificada que genere un parecido genuino.
Esta desventaja no es un problema grave. Cuando definimos una distinción, a menudo queremos que sea exhaustiva. Una forma clara de hacerlo es definir el segundo término como la negación del primero, de modo que la distinción sea entre F s y no F s. Por lo general , los no F tendrán poco en común aparte de no contar como F. (Hay muchas formas diferentes de no contar como un evento o de no contar como un estado mental). Éste es el precio que pagamos por el beneficio de tener una distinción exhaustiva.
Otra objeción a definir "concreto" como "no abstracto" es que privilegia lo abstracto sobre lo concreto. También podríamos haber definido "concreto" como "ubicado espacialmente y causalmente activo" -es decir, como "(c)"- y luego haber definido lo abstracto como "no concreto". ¿Por qué empezar con lo abstracto y no con lo concreto?
Mi impresión es que comenzar con lo abstracto encaja ligeramente mejor con la forma en que los filósofos han tendido a usar los términos. Parece un tanto revisionista llamar "abstractos" a los objetos de (a) y (b), cada uno de los cuales está ubicado espacialmente o es causalmente activo. Pero no creo que se pierda mucho si comenzamos con lo concreto.
Quizás podríamos mejorar nuestro sistema de definiciones mostrando que las categorías (a) y (b) están vacías (o necesariamente vacías). Pero esa sería una tarea difícil. Para plantear una objeción al dualismo cartesiano, Kim y Corcoran Kim (2001 ) sostiene que ser causalmente activo requiere una ubicación espacial. Esto recuerda el desafío de Isabel de Bohemia a Descartes de explicar "cómo el alma de un ser humano (siendo sólo una sustancia pensante) puede determinar los espíritus corporales para provocar acciones voluntarias" (ShapiroShapiro 2007 : 62).
En el resto de este Elemento, cuando escribo "concreto" quiero decir "no abstracto". Los objetos concretos a veces se denominan 'concreta' (singular: 'concretum'). Además de sillas y otros objetos físicos, ejemplos plausibles de concreta incluyen eventos (por ejemplo, la Primera Guerra Mundial) y señales de estado mental (por ejemplo, mi creencia de que la metafísica es fascinante).
La opinión de que existe al menos un objeto abstracto a menudo se denomina "platonismo" o "platonismo"; quienes lo sostienen, 'platónicos' o 'platónicos'. El "nominalismo" se define a menudo como la opinión de que no existen objetos abstractos; a veces como la visión de que todo es concreto. Los partidarios del nominalismo se llaman "nominalistas". Lo que significan esas definiciones depende, por supuesto, del significado de "abstracto" y "concreto". En un debate sobre un tipo particular de objeto abstracto, "platónico" y "nominalista" también pueden usarse para referirse a aquellos que creen, o no, en los objetos abstractos del tipo en cuestión. Por ejemplo, uno podría ser nominalista respecto de las propiedades sin ser nominalista en el primer sentido. En tales contextos, es conveniente llamar "nominalistas globales" a quienes no creen en ningún objeto abstracto. (En el contexto específico de los debates sobre propiedades, "nominalista" también puede significar "alguien que rechaza la existencia de universales". Pero en este Elemento no usaré la palabra en ese sentido.)
Los términos "platónico" y "nominalista" sugieren conexiones con la filosofía antigua y medieval, respectivamente. Son engañosos. En el sentido aquí considerado, la distinción abstracto/concreto jugó poco papel en la filosofía antes del siglo XX (Rosen Rosen 2009 : Sección 'Observaciones históricas'). Incluso una figura como Frege, cuya influencia en el debate sobre los objetos abstractos contemporáneos es palpable, trabajó con un grupo diferente de distinciones ontológicas.
¿Cómo se relaciona la distinción abstracto/concreto con la distinción modal entre necesidad metafísica y contingencia metafísica? Es tentador suponer que la relación es simple: los objetos abstractos existen necesariamente, los objetos concretos existen de manera contingente. Esa suposición encaja perfectamente con la atractiva idea de que las tablas son existencias contingentes, los números son necesarios. Pero hay que resistirse a esa suposición.
La principal razón para resistirse es que no está claro que los objetos abstractos, si existen, existan necesariamente. A menudo nos falta evidencia de que un objeto abstracto sea un existente necesario. Por ejemplo, uno de los principales argumentos a favor de laLa existencia de los números se basa en la idea de que las matemáticas son indispensables para la ciencia empírica. (Diré más sobre este argumento en la siguiente sección .) Ahora bien, si las matemáticas son indispensables para la ciencia empírica parece ser una cuestión contingente. Así que, en el mejor de los casos, este argumento da razones para creer que los números realmente existen: no apoya la conclusión de que necesariamente existen. (En otras palabras, incluso si el argumento de la indispensabilidad tiene éxito, no tiene implicaciones para el estatus modal de la existencia de los números. Para utilizar consideraciones de indispensabilidad para argumentar que los números existen sólo de manera contingente, requeriríamos más suposiciones. Ver MolineroMiller 2012 para discusión.)
Además, tenemos alguna evidencia de que ningún objeto abstracto existe necesariamente. La evidencia es simple: para cada objeto abstracto, podemos imaginar que ese objeto no existe. Esa no es una evidencia concluyente o irrevocable, pero es evidencia al fin y al cabo. (Rosen, Gendler y HawthorneRosen 2002 : 287–95 analiza este y otros argumentos para llegar a la misma conclusión; ver también Carenado de Carenado 2017 : 82–4.)
Por lo tanto, no es del todo obvio que la distinción abstracto/concreto se alinee con la distinción necesario/contingente en la forma sugerida. Si pudiéramos establecer que así es, tendríamos una teoría elegante. Pero hasta que aparezca un argumento convincente, deberíamos resistirnos a la suposición de que existe una relación simple entre abstracción y necesidad. (Sider, Bennett y ZimmermanSider 2013 : 287 emite una advertencia similar).
2.3 ¿Quién tiene la carga de la prueba?
En el debate sobre la existencia de objetos abstractos, ¿quién tiene la carga de la prueba? Sorprendentemente, esta importante cuestión se discute poco. Para descubrir dónde recae la carga de la prueba, tenemos que examinar lo que pensamos del asunto antes de comenzar a reflexionar filosóficamente sobre él y comenzar a teorizar al respecto. En otras palabras, necesitamos descubrir cuál es nuestra creencia preteórica.
Dado que el concepto de objeto abstracto es filosófico, dudo que pensemos preteóricamente en las cosas como abstractas (en el sentido utilizado aquí). Si eso es correcto, entonces no creemos preteóricamente que existan objetos abstractos, ni tampoco creemos preteóricamente que no existan tales cosas.
Sin embargo, hay argumentos sólidos para afirmar que si no hay objetos abstractos, muchas de nuestras creencias preteóricas son falsas. En este sentido, se puede decir que estamos comprometidos con la existencia de objetos abstractos.
Por ejemplo, hasta que empecemos a reflexionar filosóficamente sobre el asunto, nos complace decir que hay un número primo entre cuatro y seis. Presumiblemente, eso se debe a que creemos que existe tal cosa. Por las razones expuestas anteriormente, este objeto, si existe, es abstracto. Entonces, si no hay objetos abstractos, entonces esa creencia no es cierta.
Que existe un número primo entre el cuatro y el seis es una creencia existencial. No todas las creencias que parecen comprometernos con objetos abstractos tienen esa forma. Por ejemplo, parecemos creer que el ajedrez es un juego para dos jugadores. Esto parece implicar que existe algo llamado ajedrez. Es muy posible que, si el ajedrez existe, sea abstracto. Entonces, a menos que exista este objeto abstracto, la creencia no es verdadera. Del mismo modo, la creencia de que cinco es un número primo parece comprometernos con la existencia de un objeto abstracto, el número cinco.
Los tipos (si existen) parecen ser objetos abstractos. Por ejemplo, los símbolos de la palabra "pan" tienen ubicación espacial y poder causal, pero la palabra "pan" en sí misma –el tipo– parece no tener ninguna de las dos cosas. (Podría decirse que los tipos son propiedades y sus tokens son instancias de ellas. Pero no tenemos que pronunciarnos al respecto aquí). WetzelWetzel (2009 : capítulo 1) sostiene que el lenguaje común y científico abunda en referencias aparentes a tipos: tipos de palabras, tipos de animales, tipos de genes, tipos de computadoras, tipos de átomos, tipos de partículas subatómicas y muchos más. Incluso cuando hablamos de una ficha –un átomo particular o un movimiento particular en una partida de ajedrez particular– naturalmente hablamos de un tipo al que pertenece (WetzelWetzel 2009 : 16–17, 21–2). Esta es una prueba más de que nuestras creencias preteóricas implican la existencia de objetos abstractos.
Por lo tanto, parece que nuestras creencias preteóricas describen un mundo platónico, no nominalista, y por eso los nominalistas tienen la carga de la prueba.
Sin embargo, las cosas son más complicadas. En las palabras de MeliáMeliá (1995 : 223):
Muéstrenme un metafísico que haya intentado decirle a un gran número de personas ignorantes en filosofía (como una clase de estudiantes de primer año) que existen cosas como números y posibilidades, que no podemos ver y con las que no podemos interactuar, y lo haré. mostrarle a una persona familiarizada con una amplia variedad de miradas incrédulas y burlas incrédulas.
El punto de vista de Melia es que el platonismo es inverosímil: cuando se nos presenta el platonismo, no lo consideramos una consecuencia obvia de nuestras otras creencias, sino una tesis llamativa y no obvia. Melia señala que hay 'un choque entre nuestras... intuiciones' (MeliáMeliá 1995 : 223). Podemos expresarlos como una tríada inconsistente:
(1)Cinco es un número primo.
(2)Si cinco es un número primo, entonces hay un objeto abstracto.
(3)No hay objetos abstractos.
Preteóricamente, creemos ( 1 ). Tan pronto como conocemos el concepto de objeto abstracto, encontramos tanto ( 2 ) como ( 3 ) plausibles. Pero ( 1 ), ( 2 ) y ( 3 ) no pueden ser todos ciertos. Retratarnos como platónicos preteóricos o como nominalistas preteóricos espor tanto, demasiado simple. Aunque sea poco común decirlo así, lo cierto es que la existencia de objetos abstractos nos presenta una paradoja: queremos decir que no existen tales cosas, pero nuestras creencias implican su existencia.
Si esto es cierto, entonces ninguna de las partes en el debate soporta la carga de la prueba. Ni el platonismo ni el nominalismo tienen ventaja.
Pero las cosas son aún más complicadas, ya que hay evidencia de que no estamos comprometidos con la verdad literal de afirmaciones como ( 1 ).Yablo, Boghossian y PeacockeYablo (2000 : 224–6;Yablo2001 : 86–7, 89–90) ha señalado un conjunto de evidencia que sugiere que nuestra actitud hacia afirmaciones como ( 1 ) no llega a creer en lo que literalmente expresan. Yablo sostiene que existen muchas similitudes sorprendentes entre el lenguaje matemático y el lenguaje no literal. Mencionaré sólo dos de ellos.
En primer lugar, tanto el lenguaje matemático como el lenguaje no literal mejoran nuestras capacidades expresivas: nos ayudan a decir cosas que de otro modo no podríamos decir, o nos ayudan a decir lo que queremos de forma más rápida o eficaz. Para usar un ejemplo de WaltonWalton's (1993 : 40): al describir la ciudad de Crotone como "en el arco de la bota italiana", especifica su ubicación de manera breve y memorable. En el caso matemático, la idea es que el lenguaje matemático nos permite decir cosas sobre el mundo no matemático que de otro modo nos resultaría más difícil o imposible decir.
En segundo lugar, ambos tipos de lenguaje dan lugar a cuestiones de identidad que son muy difíciles de responder. Por ejemplo, decir si el hacha que enterré ayer es la misma que enterré hoy no es más fácil que decir cuáles son los conjuntos de números naturales.
Estas pruebas sugieren que el lenguaje matemático es un lenguaje no literal. Puede que sea una conclusión sorprendente, pero en su defensa Yablo, Boghossian y PeacockeYablo (2000 : 218–24; Yablo2001 : 95) sostiene que a veces hablamos de forma no literal sin que nos resulte obvio que lo hacemos.
Si el lenguaje matemático no es literal, entonces no hay razón para pensar que consideramos ( 1 ) literalmente verdadero. Aquellos que creen que existen cosas como los números primos tendrían entonces la tarea de convencernos de que tales cosas existen. En otras palabras, el nominalismo sería la visión por defecto y la carga de la prueba recaería sobre los platónicos.
La evidencia que señala Yablo merece mucha más discusión. En la fase actual del debate no hay acuerdo sobre su importancia.StanleyStanley (2001 : 50) afirma que "las analogías de Yablo son polémicas, en el sentido de que muchas de ellas sólo alguien con inclinaciones nominalistas las encontraría convincentes", aunque no defiende esta afirmación. Explicaciones alternativas de algunos de los fenómenos que señala Yablo son sugeridas por Rosen, Burgess y ShapiroRosen y Burgess (2005 : 526–34). Además, la posición de Yablo plantea una pregunta difícil: si nuestra actitud hacia el contenido literal de ( 1 ) no es creencia, ¿qué es entonces? Volveré a este asunto en la Sección 3.5 .
Toda la cuestión de la carga de la prueba merece mucha más discusión de la que recibe. Fácilmente podríamos suponer que muchos investigadores en esta área piensan que el platonismo es la posición por defecto y que los nominalistas cargan con la carga de la prueba. Acabo de argumentar que la situación es en realidad más complicada.
3 Para objetos abstractos
Pasemos ahora a los argumentos a favor de la existencia de objetos abstractos. No hay manera de que pueda hacerles justicia a todos ellos. Presentaré algunos de los más importantes de la literatura y mostraré cómo todos ellos son elaboraciones de la misma estructura básica. Luego discutiré las estrategias disponibles para responder a estos argumentos. (Carenado de Cowling 2017 : el capítulo 1 proporciona un estudio más amplio de los argumentos a favor del platonismo).
Comenzaré con el caso de los números, porque ningún otro debate ofrece un caso más desarrollado a favor del platonismo.
3.1 Números
Como ya he mencionado, los números nos presentan una paradoja:
(1)Cinco es un número primo.
(2)Si cinco es un número primo, entonces hay un objeto abstracto.
(3)No hay objetos abstractos.
Examinar el caso a favor de ( 3 ) es tarea de la Sección 4 . Supongamos por el momento que ( 3 ) no se ha establecido de forma segura, de modo que sea razonable rechazar ( 3 ). Entonces tenemos un argumento muy simple a favor del platonismo, compuesto de ( 1 ) y ( 2 ):
(1)Cinco es un número primo.
(2)Si cinco es un número primo, entonces hay un objeto abstracto. Por lo tanto, hay un objeto abstracto.
Esta es en realidad una versión simplificada de un argumento un poco más complejo:
(1)Cinco es un número primo.
(2a)Si cinco es un número primo, entonces existe un número.
(2b)Si hay un número, entonces hay un objeto abstracto. Luego hay un objeto abstracto.
Llámelo el "argumento básico". En ( 2 ), ( 2a ) y ( 2b ), 'Si... entonces' expresa el condicional material (el condicional de verdad funcional). Lo mismo ocurre con 'Si... entonces' aparece en argumentos similares posteriores. Para que los argumentos sean válidos, no se necesita nada más fuerte que una implicación material.
Obviamente no hay nada especial en ( 1 ): podemos reemplazarlo con cualquier afirmación matemática plausible que parezca implicar la existencia de números, siempre que ajustemos ( 2a ) apropiadamente. Por ejemplo:
Algunos números cuadrados son pares.
Si algunos números cuadrados son pares, entonces hay un número.
Si hay un número, entonces hay un objeto abstracto.
Luego hay un objeto abstracto.
Ahora mostraré que algunos de los argumentos más importantes a favor de la existencia de los números tienen esta forma fundamental. Son elaboraciones del siguiente patrón, donde ' X ' toma el lugar de una oración que parece ser verdadera y parece implicar la existencia de números:
(N1) X .
(N2a)Si X entonces hay un número.
(N2b)Si hay un número, entonces hay un objeto abstracto. Luego hay un objeto abstracto.
Llámelo la "estructura básica". (En la Sección 3.2 , sostendré que hay una estructura más fundamental subyacente a una amplia gama de argumentos a favor de la existencia de objetos abstractos).
Comencemos con el argumento de la indispensabilidad de la existencia de los números (y otros objetos matemáticos abstractos), porque este es el argumento a favor del platonismo que actualmente es el más discutido. La idea básica es que las matemáticas son indispensables para la ciencia –es decir, nuestras teorías científicas serían considerablemente peores si no fueran matemáticas– y que esto establece el platonismo.
Formulado en los términos más simples, el argumento es el siguiente:
(E1)Las matemáticas son indispensables para la ciencia: es decir, nuestras mejores explicaciones científicas implican la verdad de algunas afirmaciones matemáticas.
(I2)Si ( I1 ) es verdadero, entonces hay objetos abstractos. Por tanto, existen objetos abstractos.
El argumento se conoce a veces como el "argumento de la indispensabilidad" de "Quine-Putnam". Este título es un tanto engañoso: si bien apelar a la ciencia empírica para establecer el platonismo es una idea de Quine, el argumento de Quine a favor del platonismo involucraba la noción de regimentación (que presentaré más adelante en esta sección), mientras que las presentaciones estándar del argumento de la indispensabilidad no hacen mención de regimentación en absoluto; y se puede argumentar que Putnam no buscó establecer la existencia de objetos abstractos (verLiggins de Liggins 2008 ).El principal defensor contemporáneo del argumento de la indispensabilidad es Mark Colyvan (ver ColyvanColyvan 2001 , Colyvan2010 ).
El argumento de la indispensabilidad es una elaboración de la estructura básica. El argumento de la indispensabilidad añade a la estructura básica una razón para creer en los casos de ( N1 ): deberíamos creerlos debido a su papel en las teorías científicas confirmadas empíricamente.
Hay otras posibles justificaciones para los casos de ( N1 ). Por ejemplo, podríamos apelar no a la ciencia empírica sino a las matemáticas mismas. De acuerdo a MaddyMaddy (1997 : 184), "las matemáticas no responden ante ningún tribunal extramatemático y no necesitan ninguna justificación más allá de la prueba y el método axiomático". Este punto de vista implica que debemos creer afirmaciones como ( 1 ) porque las matemáticas nos dicen que son ciertas.
Los llamamientos a la ciencia empírica o a las ciencias formales como las matemáticas y la lógica matemática se denominan "naturalismo". El naturalismo se presenta en varias fortalezas diferentes. El naturalismo "fuerte" dice que la ciencia empírica (o las matemáticas) da a los filósofos una razón irrenunciable para creer en afirmaciones como ( 1 ): cualquier vencedor debe provenir de la ciencia empírica (o las matemáticas), no de la filosofía. El naturalismo "débil" dice que nos da una razón para creer en afirmaciones como ( 1 ), pero que estas razones pueden ser superadas por argumentos filosóficos. Para defender el platonismo, sólo necesitamos un naturalismo débil.
Al exponer el argumento de la indispensabilidad, deliberadamente no dejé claro qué tipo de afirmaciones matemáticas están involucradas. ¿El argumento se refiere a afirmaciones matemáticas puras, como "Cinco es primo", o a afirmaciones aplicadas, como "La masa de la Tierra es 5,9736 × 10 24 kg"?
En cierto modo, es más sencillo considerar que el argumento de la indispensabilidad se refiere a afirmaciones matemáticas aplicadas, porque éstas son claramente parte de teorías científicas. Encontrar el valor de alguna cantidad (por ejemplo, la masa de la Tierra o la carga del electrón) puede ser un logro científico importante en sí mismo. Sin embargo, esta versión del argumento plantea la cuestión de cómo interpretar tales afirmaciones. Es muy posible que "Cinco es un número primo" implique la existencia de un número; no es tan obvio que 'La masa de la Tierra es 5,9736 × 10 24 kg' lo sea. Quizás signifique que existe el número 5,9736 × 10 24 y que es idéntico a la masa de la Tierra, medida en kg, en cuyo caso sí implica la existencia de un número. Pero tal vez signifique más bien que la Tierra tiene una masa particular, una que se identifica útilmente utilizando el número '5,9736 × 10 24 ', incluso si no existe nada parecido a 5,9736 × 10 24 . Los partidarios del argumento de la indispensabilidad deben descartar esta última interpretación.
Quizás estén en un terreno más sólido si no se centran en atribuciones de cantidades particulares, sino en leyes que las conectan. Por ejemplo, NewtonLa Segunda Ley dice que la fuerza que actúa sobre un cuerpo es el producto de su masa por su aceleración:
F = ma .
Pero si m y a aquí se pueden multiplicar, entonces presumiblemente son números. Deben ser los valores de la masa y la aceleración del cuerpo en algunas escalas de medición, a menos que las masas y las aceleraciones sean el tipo de cosas que se pueden multiplicar.
Es más habitual presentar el argumento de la indispensabilidad como un argumento a favor de la verdad de algunas afirmaciones matemáticas puras. Las afirmaciones matemáticas puras no son parte de teorías científicas, al menos no en el sentido cotidiano de "parte", por lo que no podemos argumentar que nuestras mejores teorías científicas implican matemáticas puras. Sin embargo, es imposible probar una teoría científica cuantitativa sin hacer suposiciones puramente matemáticas. (Imagínese tratar de confirmar que F = ma sin dejar de ser agnóstico sobre el resultado de multiplicar dos números cualesquiera.) Los amigos del argumento de la indispensabilidad afirman que cuando una teoría científica recibe confirmación empírica, los supuestos matemáticos puros que debemos hacer para probar la La teoría también se confirma.
Esa afirmación se deriva del principio del "holismo confirmacional": éste dice que cuando una teoría científica recibe confirmación empírica, también se confirman todas las suposiciones que necesitamos hacer para probar la teoría. Por ejemplo, supongamos que tengo una teoría sobre la estructura de los metales. Esta teoría tiene implicaciones para la densidad de varios metales, por lo que puede probarse midiendo la masa y el volumen de algunas muestras de metal, calculando su densidad y comparándola con las predicciones de la teoría. Para probar la teoría, necesito hacer varias suposiciones mundanas: por ejemplo, tengo que asumir que las muestras realmente son muestras de los metales en cuestión, y tengo que asumir que los métodos que uso para medir su masa y volumen son confiables. . Para calcular la densidad de cada muestra, necesito dividir su masa por su volumen, por lo que también debo hacer suposiciones matemáticas. (Por ejemplo, si la masa es de 2 kg y el volumen es de 0,1 m 3 , entonces tengo que suponer que 2 dividido por 0,1 es 20). El holismo confirmacional dice que si se confirma la teoría, todas estas suposiciones también se confirman. incluidos los matemáticos.
De esta manera, los partidarios del argumento de la indispensabilidad recurren al holismo confirmacional y al naturalismo para defender afirmaciones matemáticas. Luego argumentan que estas afirmaciones implican la existencia de objetos abstractos. Sus argumentos son ejemplos de la estructura básica, elaborados mediante apelaciones al holismo y al naturalismo en apoyo de ( 1 ).
Pasemos ahora al argumento fregeano a favor de la existencia de los números. Bob Hale presenta el argumento de la siguiente manera:
(H1) Si un rango de expresiones funciona como términos singulares en declaraciones verdaderas, entonces hay objetos denotados por expresiones que pertenecen a ese rango.
(H2) Los números… funcionan en muchos enunciados verdaderos (tanto de matemáticas puras como aplicadas)
Por eso
(H3) Existen objetos indicados por esas expresiones numéricas (es decir, hay números).(sanaHale 1987 : 11, numeración modificada)
Hale apoya el argumento fregeano. Por ejemplo, diría que "Cinco es un número primo" es verdadero, y que "Cinco" funciona en esa oración como un término singular: es decir, la palabra tiene la función de seleccionar una cosa particular, el número. cinco. Entonces Hale apoya ( 1 ) y ( 2a ).
sanaHale (1987 : 11) observa que (H3) aún no es platonismo: para pasar de (H3) al platonismo, necesitamos agregar la premisa de que los números (si existen) son objetos abstractos. Por tanto, también apoya ( 2b ). Por tanto, Hale apoya las tres premisas del argumento básico, y podemos ver que apoyaría muchos otros ejemplos de la estructura básica.
La característica distintiva del enfoque de Hale es la forma en que apoya premisas como ( 2a ). Junto con otros fregeanos, Hale desarrolla criterios de término singular: formas de mostrar que una expresión particular funciona como un término singular (ver, por ejemplo, Hale, Hale y WrightHale 2001a ,Hale, Hale y Wright2001b ). Estos criterios permiten a Hale defender ( 2a ).
Los fregeanos se centran en la estructura semántica de oraciones en lenguaje natural como ( 1 ). Otra opción en este punto es argumentar que la mejor reglamentación de ( 1 ) en un lenguaje formal implica un término singular para el número cinco. Por ejemplo, podríamos reglamentar ( 1 ) en el cálculo de predicados como la predicación 'Pf', donde 'P' es un predicado que expresa primacía y 'f' es un término singular que selecciona cinco. Entonces podríamos argumentar que esta fórmula es verdadera y requiere para su verdad la existencia de un objeto abstracto. Tal apelación a la reglamentación es parte del argumento de Quine sobre la existencia de lo abstracto (por ejemplo,QuineQuine 1960 : 244–5,Quine y Quine1969 : 96-100).
La apelación quineana a la reglamentación pasa por alto algunas de las complejidades lingüísticas que los fregeanos tienen que afrontar, porque no se afirma que la reglamentación tenga el mismo significado que la frase que reglamenta. Pero eso nos lleva directamente a la pregunta: "¿Qué constituye una buena reglamentación?". (Para discusión, ver Sennet, Fisher, Harman y LeporeSennet y Fisher 2014. ) Tal como se usa aquí, la reglamentación pretende tener fuerza epistémica, en el sentido de que si reglamentamos una oración que consideramos verdadera, entonces tenemos alguna razón para creer en la versión reglamentada. (Deberíamos esperar que una explicación de la regimentación implicara que tiene tal fuerza epistémica).Si la reglamentación se entiende de esta manera, entonces el quineano acepta ejemplos de la estructura básica y refuerza los argumentos con una justificación de premisas como ( 2a ).
Además de defender ( 2a ) utilizando criterios de término singular, los fregeanos ofrecen argumentos filosóficos a priori para ( 1 ). Su punto de partida es el "principio de Hume":
Existe una correspondencia uno a uno entre los F s y los G s si y sólo si el número de F s es idéntico al número de G s.
Por ejemplo, sean las F algunas lámparas eléctricas y las G sean las bombillas de estas lámparas. Supongamos que hay una sola bombilla en cada lámpara. Eso es suficiente para que haya una correspondencia uno a uno entre estas cosas. Y así el Principio de Hume nos permite concluir:
El número de lámparas es idéntico al número de bombillas.
Esa es una oración que parece implicar la existencia de números y, por lo tanto, puede desempeñar el papel de ( 1 ).
Hemos visto que algunos de los argumentos más importantes a favor de la existencia de los números son todos elaboraciones de la misma estructura básica. Esto revela algunas formas nuevas de defender la existencia de los números. Por ejemplo, se podría apoyar ( 1 ) apelando al papel de las matemáticas en la ciencia empírica, y también desarrollar criterios de término singular para defender ( 2a ). Esto representaría un híbrido de los enfoques quineano y fregeano. O uno podría estar de acuerdo con Maddy en que "las matemáticas no responden ante ningún tribunal extramatemático", apoyando así ( 1 ), pero luego el regimiento ( 1 ) para apoyar ( 2a ).
3.2 Proposiciones y otros objetos abstractos
Permítanme presentar ahora el argumento estándar a favor de la existencia de proposiciones. Brevemente, la idea es que necesitamos admitir la existencia de proposiciones para explicar la validez de algunos argumentos claramente válidos, como estos: Bo cree que la nieve es blanca. Mo afirma que la nieve es blanca. Por lo tanto, hay algo que Bo cree y Mo afirma. Mo cree que la nieve es blanca. Jo afirma todo lo que Mo cree. Por lo tanto, Jo afirma que la nieve es blanca.
Según el argumento estándar, deberíamos interpretar que "Bo cree que la nieve es blanca" como si dijera que Bo se encuentra en la relación creyente con elproposición de que la nieve es blanca; y de manera más general, deberíamos interpretar ' XV s que p ' como si dijera que X está en la relación V -ing con la proposición de que p . Por tanto, estas oraciones son predicaciones diádicas. Esto nos permite explicar la validez de los argumentos formalizándolos en cálculo de predicados como deducciones válidas:
· bbw
· Amw
· ∴ ∃ x (Sib x y Am x )
· BMW
· ∀ x (Bm x → Aj x )
· ∴Ajw.
(ver por ejemplo SchifferSchiffer 2003 : 12-13)
¿Precisamente cómo proporciona esto un argumento a favor del platonismo? La idea es la siguiente: para explicar la validez de estos argumentos, debemos tomar enunciados de la forma ' XV s que p ' para implicar la existencia de proposiciones; como hay enunciados verdaderos de esa forma, hay proposiciones; y como las proposiciones, si existen, son objetos abstractos, llegamos al platonismo. En otras palabras, el argumento tiene esta forma básica:
(P1)Justin cree que la nieve es blanca.
(P2a)Si Justin cree que la nieve es blanca, entonces hay una propuesta.
(P2b)Si hay una proposición, entonces hay un objeto abstracto. Luego hay un objeto abstracto.
La premisa ( P2a ) está respaldada por la observación de que nos ayuda a explicar la validez de argumentos como los ejemplos anteriores.
Este es un ejemplo del patrón de argumentación más general:
(1) X .
(2a)Si X entonces hay una F .
(2b)Si hay una F , entonces hay un objeto abstracto. Luego hay un objeto abstracto.
En la sección 3.1 vimos que los principales argumentos a favor de la existencia de números se basan en ejemplos de este patrón. También se ha utilizado para defender la existencia de objetos abstractos distintos de números o proposiciones. Por ejemplo, podemos usarlo para defender la existencia de propiedades, entendidas como objetos abstractos:
(Q1)La paciencia es una virtud.
(P2a)Si la paciencia es una virtud, entonces hay una propiedad.
(P2b)Si hay una propiedad, entonces hay un objeto abstracto. Luego hay un objeto abstracto.
(Esto es esencialmente lo que EdwardsEdwards 2014 : 4-6 lo llama "el argumento de referencia".) Es fácil ver cómo los argumentos a favor de la existencia de otros objetos abstractos (juegos, lenguajes, conceptos, teorías, recetas, etc.) pueden verse como ejemplos de esto. patrón básico. Simplemente reemplace ' X ' con una oración que (i) parezca implicar la existencia de al menos uno de los objetos abstractos en cuestión, y (ii) parezca ser cierta.
Como antes, las premisas de tales argumentos pueden respaldarse de varias maneras. Podemos recurrir a la ciencia para respaldar la primera premisa, creando así un argumento de indispensabilidad. Por ejemplo, podemos basar un argumento a favor de la existencia de propiedades en la biología evolutiva:
(T1*)Algunos rasgos son adaptativos.
(P2a*)Si algunos rasgos son adaptativos, entonces existe una propiedad.
(P2b*)Si hay una propiedad, entonces hay un objeto abstracto. Luego hay un objeto abstracto.
(Comparar sobrioSober 1981 : Sección IV.) Y podemos argumentar que afirmaciones psicológicas como ( P1 ) son parte de nuestras mejores explicaciones científicas del comportamiento humano (Fodor de Fodor 1987 ).
Haciendo eco del argumento fregeano a favor de la existencia de los números, podemos argumentar que la palabra "paciencia" es un término singular, apoyando así ( P2a ); o podemos argumentar que la frase "esa nieve es blanca" es un término singular, apoyando así ( P2a ).
Se han ofrecido argumentos filosóficos a priori a favor de (1) en el caso de las proposiciones. La idea es que, a menos que algunas afirmaciones como (P1) sean verdaderas, "los conceptos de aceptabilidad racional, de afirmación, de error cognitivo, incluso de verdad y falsedad, quedan en tela de juicio", por lo que, a menos que sostenamos algunas adscripciones de creencias (y otros estados mentales), cometeremos 'suicidio cognitivo' (Panadero de Panadero 1987 : 134, 148).
Presentados de la forma habitual, los argumentos a favor del platonismo parecen muy diferentes entre sí. Por ejemplo, el argumento de la indispensabilidad a favor de la existencia de los números, el argumento fregeano a favor de la existencia de los números y el argumento estándar a favor de la existencia de las proposiciones guardan poca semejanza. Estas diferencias ocultan similitudes subyacentes. Hemos visto que algunos de los argumentos más importantes a favor del platonismo tienen la misma estructura básica, dada por este patrón de argumento:
(1) X .
(2a)Si X entonces hay una F .
(2b)Si hay una F , entonces hay un objeto abstracto. Por lo tanto, hay un objeto abstracto.
Difieren en las elecciones de X y F y en cómo se sustentan las premisas.
Aunque he identificado un patrón de argumento deductivo en el centro del debate sobre los objetos abstractos, no estoy diciendo que el debate se desarrolle únicamente por deducción. Las razones ofrecidas a favor y en contra de las premisas de estos argumentos suelen ser abductivas. Eso es lo que deberíamos esperar, si la metafísica contemporánea (y quizás la filosofía en general) es fundamentalmente abductiva, no deductiva ( Nolan, Cappelen, Gendler y HawthorneNolan 2016 ; WilliamsonWilliamson 2016 ).
Ver estos argumentos como elaboraciones de la estructura básica que acabamos de exponer es esclarecedor, no sólo porque arroja luz sobre cómo funcionan, sino porque nos ayuda a pensar en cómo responderles. Podemos clasificar las respuestas a estos argumentos identificando qué parte de la estructura básica cuestionan. Eso nos permite pensar en estas respuestas de una manera más general o, si se me permite el juego de palabras, de una manera más abstracta. Esto es más esclarecedor que mirar las respuestas a cada argumento una por una, porque conecta debates sobre diferentes tipos de objetos abstractos. También nos permite pensar en argumentos que aún no están representados en la literatura.
3.3 Respuestas a los argumentos: el concretismo
Digamos que uno "se resiste" a una premisa si la niega o se niega a respaldarla. Cuando se le presenta un argumento basado en la estructura básica, uno podría resistirse a la primera premisa. Llámelo la respuesta "teórica del error". Uno podría resistirse a ( 2a ): la respuesta de "paráfrasis". O uno podría resistirse a ( 2b ): la respuesta "concretista". Como de costumbre, si te resistes a una premisa que defiende tu oponente, será mejor que tengas algo que decir sobre su argumento.
Un nominalista no está obligado a responder de la misma manera a todos los argumentos a favor del platonismo. Por ejemplo, pueden dar una respuesta parafraseada al argumento estándar sobre la existencia de proposiciones pero una respuesta teórica del error al argumento de la indispensabilidad. O un nominalista podría dividir los argumentos a favor de la existencia de propiedades, adoptando una respuesta concretista para algunos y un enfoque teórico del error para otros. (De hecho, eso es lo que hace Armstrong, aunque en esta sección me centraré exclusivamente en la parte concretista de su respuesta).
Examinemos uno por uno los tres tipos de respuesta, empezando por la respuesta concretista.
El concretismo no niega la existencia de los objetos en cuestión. Más bien, la idea es cuestionar la afirmación de que son abstractos. Por ejemplo, uno podríaAdmitir que las propiedades existen, pero afirmar que son concretas –o al menos que no está claro que sean abstractas.
El "realismo aristotélico" de Armstrong sobre las propiedades es un ejemplo de esta estrategia. Según Armstrong, cada propiedad es causalmente activa y se ubica dondequiera que algo la tenga ( EdwardsEdwards 2014 : 28–46 es una guía útil para el pensamiento de Armstrong sobre estos temas). La propiedad de ser un electrón se encuentra justo donde están los electrones.
También se podría aceptar la existencia de números pero argumentar que son objetos concretos. Hay poca verosimilitud en la idea de que objetos concretos familiares, como mesas y sillas, sean números, razón por la cual probablemente casi no recibe discusión. (Si mi silla es la número tres, ¿por qué los matemáticos no muestran ningún interés en ella? (ver HartHart 1991 : 91)? ¿Y realmente está en mi poder destruir el número tres?)
Si asumimos que las relaciones son concretas, se nos abre una forma más atractiva de concretismo sobre los números, una que ve los números como relaciones; así, el número tres podría identificarse con la relación que toda suma mereológica de tres F tiene con la propiedad de ser F. Sin embargo, esta visión tropieza con dificultades con números grandes e infinitos, a menos que estemos dispuestos a tolerar relaciones no instanciadas (remito al lector a ArmstrongArmstrong 2004 : 116–7 para más detalles).
La estrategia concretista nos devuelve a los argumentos anteriores ( Sección 2.1 ) sobre qué objetos deberían clasificarse como abstractos. Cuando consideramos un objeto particular, es muy posible que tengamos intuiciones sobre si está ubicado espacialmente y si es causalmente activo. Por ejemplo, los números no parecen estar ubicados espacialmente ni ser causalmente activos; en ese sentido, parecen abstractos.
Semejantes intuiciones no son sacrosantas: pueden revocarse si hacerlo aporta suficiente beneficio teórico. Quizás considerar los números como causalmente activos supone suficiente trabajo teórico para compensar la extrañeza de la creencia. Pero cuando ( 2b ) parece ser cierto, no basta que el oponente del argumento objete que podría haber argumentos suficientes para revocarlo. Se puede objetar cualquier premisa de cualquier argumento simplemente señalando la posibilidad epistémica de refutarla. Para causar verdaderos problemas al argumento, el oponente debe presentar buenos argumentos en contra de ( 2b ). En otras palabras, necesitan especificar qué se ganaría pensando en los objetos en cuestión como concretos. La ganancia podría ser la simplicidad ontológica (ver Sección 4.1 ). O podría ser solvencia epistemológica (ver Sección 4.2 ).
Cuando ( 2b ) no es intuitivamente obvio, el argumento enfrenta un desafío más inmediato. Volviendo a un ejemplo de la Sección 2.1 : simplemente no está claro si {Edimburgo} está ubicado espacialmente. Si está ubicado espacialmente, no es abstracto. En un caso como este, el argumento no tiene posibilidades de funcionar hasta que el platónico déun caso positivo para ( 2b ). Sin tal argumento, su oponente tiene derecho a responder que no tenemos ninguna razón para creer en esta premisa del argumento.
Sea o no intuitivo ( 2b ), una discusión en profundidad de esta premisa irá más allá de las intuiciones y examinará los costos y beneficios teóricos de incorporarla a la propia teoría. Un aspecto de esto es qué tan bien encajan las afirmaciones hechas con nuestras mejores teorías en otras áreas. Particularmente relevantes aquí son nuestras teorías generales sobre lo que está ubicado espacialmente y sobre qué tipos de cosas participan en las interacciones causales.
3.4 Respuestas a los argumentos: paráfrasis
La respuesta parafraseada es resistir ( 2a ). La cuestión es qué implican materialmente las oraciones que desempeñan el papel de ( 1 ). Los parafraseadores niegan –o al menos se niegan a respaldar– la afirmación de que estas oraciones implican materialmente la existencia de los objetos en cuestión. La versión "negarse a respaldar" de la respuesta parafraseada no ha sido popular, por lo que me centraré por completo en la versión "negativa".
Volvamos a este ejemplo del argumento básico a favor de la existencia de los números:
(1)Cinco es un número primo.
(2a)Si cinco es un número primo, entonces existe un número.
(2b)Si hay un número, entonces hay un objeto abstracto. Luego hay un objeto abstracto.
El parafraseador niega ( 2a ). En su opinión, ( 1 ) no implica materialmente la existencia de números.
La respuesta obvia es argumentar que ( 2a ) es verdadera porque ( 1 ) significa lo que significa. Esta respuesta es muy plausible. "Cinco es un número primo pero no hay números" suena contradictorio. Burgess y RosenJohn Burgess (1982 : 7) compara la afirmación de Benacerraf de que “si se sabe la verdad, no existen los números; lo cual no quiere decir que no haya al menos dos números primos entre 15 y 20' ( BenacerrafBenacerraf 1965 : 73) a una afirmación atribuida a George Santayana: "Dios no existe, y María es su madre". Por lo tanto, resistirse a ( 2a ) probablemente implique resistirse a una afirmación sobre el significado de ( 1 ).
Por ejemplo, recordemos el argumento fregeano a favor del platonismo respecto de los números. Los fregeanos no sólo afirman que ( 2a ) es verdadero: también afirman que su verdad se deriva del significado de ( 1 ). Para respaldar sus afirmaciones sobre lo que implican oraciones matemáticas como ( 1 ), los fregeanos argumentan que estas oraciones contienen términos singulares para números. Por ejemplo, su objetivo será demostrar que la primera palabra de ( 1 ) es un término singular para un número. Este es el objetivo de desarrollar teorías sobre qué expresiones son términos singulares y presentar argumentos para respaldarlas.Aquellos que se resisten a ( 2a ) del argumento a favor de los números deberían tener algo que decir sobre estos argumentos fregeanos.
Cuando niegan ( 2a ), los parafraseadores invitan a la siguiente respuesta: 'Pensé que ( 1 ) significa que hay un objeto, cinco, que es un número primo; y entonces ( 1 ) implica la existencia de un número. Pero niegas que ( 1 ) implique la existencia de un número, por lo que debes pensar que ( 1 ) significa otra cosa. Entonces, ¿qué significa realmente, en su opinión?
Cuando se nos pide que aclaremos el significado de una oración, comúnmente ofrecemos una paráfrasis: otra oración que consideramos que significa lo mismo que la original. ("¿Qué significa "C'est la vie"?" "Significa "Así es la vida"'). Esta es la forma natural de explicar lo que significa ( 1 ), razón por la cual esta estrategia para responder al argumento básico se llama la respuesta de 'paráfrasis'. Las paráfrasis a veces también se conocen como "traducciones", incluso si la oración original y la paráfrasis pertenecen al mismo idioma. El tipo de significado en cuestión aquí es el significado literal. (A veces los filósofos llaman a las reglamentaciones 'paráfrasis'. Pero este uso es potencialmente confuso, porque no se espera que una reglamentación signifique lo mismo que la oración original ( Sección 3.1 ). Lo evitaré).
Por ejemplo, el parafraseador puede decir: 'Leemos mal ( 1 ) si consideramos que implica la existencia de un número. Lo que realmente significa es lo siguiente:
(1*)Es lógicamente necesario que para todo x , si x tiene la estructura numérica natural, entonces 'Cinco es un número primo' se cumple en x .
Y ( 1* ) puede ser cierto incluso si no hay números.
Esa afirmación es un ejemplo de la respuesta parafraseada conocida como "estructuralismo modal". El estructuralista modal interpreta oraciones aparentemente sobre números como afirmaciones sobre lo que se sigue lógicamente de tener la estructura numérica natural, es decir, de tener la estructura caracterizada por los axiomas de la aritmética. El estructuralismo modal es la posición de paráfrasis más importante en la filosofía de las matemáticas ( Burgess y RosenBurgess y Rosen (1997) incluyen un amplio estudio de las posiciones de paráfrasis). Se suele atribuir a HellmanHellman (1989) , aunque esa atribución en realidad es errónea, como veremos más adelante en esta sección.
Las respuestas parafraseadas no se limitan a la filosofía de las matemáticas. Recordemos el argumento a favor de la existencia de propiedades:
(Q1)La paciencia es una virtud.
(P2a)Si la paciencia es una virtud, entonces hay una propiedad.
(P2b)Si hay una propiedad, entonces hay un objeto abstracto. Luego hay un objeto abstracto.
Una respuesta (actualmente muy impopular) es negar ( P2a ) y afirmar que ( P1 ) simplemente significa "Las personas pacientes son virtuosas". Así entendido, ( Q1 ) no implica la existencia de una propiedad.
Recordemos también el argumento a favor de la existencia de proposiciones:
(P1)Justin cree que la nieve es blanca.
(P2a)Si Justin cree que la nieve es blanca, entonces hay una propuesta.
(P2b)Si hay una proposición, entonces hay un objeto abstracto. Luego hay un objeto abstracto.
Una respuesta es afirmar que las adscripciones de creencias expresan relaciones no con proposiciones sino con oraciones. Esta visión se denomina, naturalmente, "sentencialismo" (véase, por ejemplo, FelappiFelappi 2014 ). Para el sentencialista, (P1) realmente significa 'Justin cree que “La nieve es blanca”', por lo que ( P2a ) es falsa: ( P1 ) realmente implica la existencia de una oración, no una proposición.
Cuando se considera una respuesta parafraseada, es común mencionar un artículo clásico de AlstonAlston (1958) . Generalmente se considera que esto contiene una objeción seria a la respuesta de paráfrasis. Pero eso es malinterpretar el artículo de Alston, como explicaré ahora, basándose en la excelente discusión del artículo de Alston por KellerKeller (2017) .
El pasaje clave del artículo de Alston dice lo siguiente:
Aquí hay varias traducciones filosóficamente interesantes…:
1.Existe la posibilidad de que James venga.
2.La afirmación de que Santiago vendrá no es ciertamente falsa.
3.Hay un significado que se le puede dar a sus comentarios.
4.Sus comentarios pueden entenderse de cierta manera.
5.Hay muchas virtudes de las que carece.
6.Es posible que sea mucho más virtuoso de lo que es.
7.Hay hechos que hacen insostenible su posición.
8.Su posición es insostenible a la luz de las pruebas.
Ahora bien, me resulta desconcertante que alguien afirme que estas traducciones "muestran que no necesitamos afirmar la existencia de" posibilidades, significados, virtudes y hechos "al comunicar lo que queremos comunicar". Porque si la traducción de ( 1 ) a ( 2 ), por ejemplo, es adecuada, entonces normalmente se utilizan para hacer la misma afirmación. Al pronunciar ( 2 ) estaríamos haciendo la misma afirmación que haríamos si pronunciáramos ( 1 ), es decir, la afirmación de que existe la posibilidad de que Santiago venga. Y así estaríamos afirmando que existe una posibilidad (comprometiéndonos a la existencia de una posibilidad) tanto usando ( 2 ) como usando ( 1 ). Si, por el contrario, la traducción no es adecuada, no se ha demostrado que podamos, al pronunciar ( 2 ),comunicar lo que queríamos comunicar cuando pronunciamos ( 1 ). Por lo tanto, el objetivo de la traducción no puede expresarse en términos de alguna afirmación o compromiso del que nos salva.
( AlstonAlston 1958 : 9-10)
Alston señala que la relación de paráfrasis es simétrica: si la oración A significa lo mismo que la oración B, entonces la oración B significa lo mismo que la oración A. Entonces, si A implica la existencia de F s, entonces B implica la existencia de F s también. . Si sólo una de las oraciones implicara la existencia de F s, eso demostraría que, después de todo, no significan lo mismo. Entonces, ambos implican la existencia de F s o ninguno de ellos.
Nada de eso es evidencia en contra de cualquier posición de paráfrasis. El parafraseador debería afirmar que ninguna de las oraciones implica la existencia de los objetos cuya existencia se debate. Por ejemplo, el estructuralista modal debería afirmar que ni ( 1 ) ni ( 1* ) implican la existencia de números. De este modo, los parafraseadores son perfectamente capaces de respetar la simetría de la relación de paráfrasis.
El artículo de Alston no plantea ninguna objeción a parafrasear posiciones. Más bien, señala que demostrar que A y B son paráfrasis entre sí no establece que estas oraciones no impliquen la existencia de los objetos en cuestión. Muestra que las oraciones tienen las mismas implicaciones ontológicas entre sí, pero deja abierta la cuestión de cuáles son esas implicaciones. Por lo tanto, simplemente establecer que dos oraciones son paráfrasis entre sí no es suficiente para reivindicar una posición de paráfrasis. Mostrar, por ejemplo, que ( 1 ) y ( 1* ) significan lo mismo no es suficiente para reivindicar el estructuralismo modal, ya que ( 1 ) y ( 1* ) podrían significar lo mismo y ambos implican la existencia de números.
Se necesitan argumentos adicionales para demostrar que ninguna de las oraciones implica la existencia de los objetos en cuestión –por ejemplo, un argumento en contra de la existencia de F s, junto con un argumento de que debemos respetar los valores de verdad aparentes de las oraciones en disputa. Por eso "el objetivo de la traducción no puede expresarse en términos de alguna afirmación o compromiso del que nos salva".
La objeción de Alston, entonces, no es una objeción a parafrasear posiciones, sino a un tipo de argumento que uno podría ofrecer a su favor. Quizás ese tipo de argumento era popular en la época en que Alston escribía. En algunos lugares, Quine podría parecer fomentar esta forma de argumentar. Por ejemplo:
Otro... caso en el que un hombre se libera de los compromisos ontológicos de su discurso es este: muestra cómo algún uso particular que hace de la cuantificación, que implica un compromiso prima facie con ciertos objetos, puede ampliarse a un lenguaje libre de tales compromisos. ... En este caso, se puede decir con razón que los objetos aparentemente presupuestos han sido explicados como ficciones convenientes, maneras de hablar.
( Quine y QuineQuine 1980 : 103–4)
Pero Quine no está pensando en posiciones de paráfrasis: el parafraseador apela a la noción de igualdad de significado, una noción que no está vigente, según Quine. Más bien, Quine está pensando en la reglamentación.
Pocos, si es que hay alguno, parafraseadores contemporáneos apoyan su punto de vista dando argumentos del tipo que criticaba Alston. Así pues, el valor del artículo de Alston es advertirnos contra una línea argumental tentadora pero no concluyente. No debería hacer nada para disminuir nuestra credibilidad en cualquier posición de paráfrasis.
Por cierto, nada gira en torno a qué tipo de entidades deben ser los F. Algunos filósofos han tratado de "parafrasear" la aparente referencia a objetos concretos como las mesas, diciendo que "Hay una mesa" en realidad significa "Hay algunas cosas dispuestas en forma de tabla". El artículo de Alston tampoco supone una amenaza para tales posiciones.
Sin embargo, el parafraseador enfrenta muchos desafíos.
No basta con parafrasear algunas frases que parecen implicar la existencia de los objetos abstractos en cuestión. Queremos un esquema de paráfrasis, es decir, una receta para generar una paráfrasis de cualquier oración del discurso que pueda desempeñar el papel de ( 1 ).
Un argumento clásico en esta área ilustra este punto. Supongamos que "el rojo es un color" se parafrasea como "Todo lo rojo es coloreado". Entonces presumiblemente debemos parafrasear "La triangularidad es un color" como "Todo lo triangular está coloreado". Pero esto debe estar mal, ya que incluso si todo lo triangular fuera coloreado, la triangularidad seguiría sin ser un color. No está claro a quién se debe atribuir este argumento. JacksonJackson (1977 : 427) se refiere a ella como una "objeción estándar" y cita como ejemplo una declaración anterior de A. N. Prior. Su importancia aquí es que implica considerar un esquema de paráfrasis sugerido por una paráfrasis de una oración en particular. Se podría intentar defender la paráfrasis original de "El rojo es un color" como "Todo lo rojo está coloreado" extendiéndola a un esquema diferente al previsto en la objeción. Y así el debate se centra en esquemas de paráfrasis, no en ejemplos individuales.
Pero no basta con ofrecer un esquema de paráfrasis frase por frase. Como BenacerrafComo señala Benacerraf (1973 : 666-7), necesitamos interpretar el lenguaje matemático de una manera que sea coherente con nuestra interpretación del lenguaje no matemático. Uno de nuestros objetivos (supongo) es encontrar una teoría semántica composicional para el inglés y para otras lenguas naturales: una especificación de los significados de las oraciones basada en las contribuciones realizadas por las palabras y frases que las componen. Desde esta perspectiva, el parafraseador nos debe una teoría semántica composicional de las oraciones del discurso que produce como consecuencia su esquema de paráfrasis. (Ver Dever, Lepore y SmithDever 2008 para obtener más información sobre la composicionalidad y su motivación).
Para ilustrar la dificultad de esto, consideremos oraciones que mezclan lenguaje matemático y no matemático, como por ejemplo:
(5)Edimburgo es grande pero no excelente.
(6)O tres o Edimburgo es primo.
(7)Hay números primos y tablas.
(8)A Bo le encanta Edimburgo y el cuarenta y dos.
(Algunos calificarían estas oraciones de ininteligibles basándose en que implican "errores de categoría". Véase MagidorMagidor 2013 para contraargumentos). Supongo que "grande" es claramente un predicado (si cree que no lo es, cámbielo por su ejemplo favorito de predicado de un solo lugar). Parece que "grande" y "principal" desempeñan un papel semántico similar en ( 5 ); podríamos intercambiarlos sin pérdida de gramaticalidad. El teórico que niega que 'primo' sea un predicado en ( 1 ) debe, por tanto, afirmar que la palabra funciona de manera diferente en ( 1 ) y ( 5 ). Pero esto creará problemas cuando el teórico llegue a interpretar ( 6 ). ¿Cómo debería interpretarse aquí "principal"? De la misma manera que en ( 5 ), ¿en cuyo caso funciona como predicado? ¿O de la misma manera que en ( 1 ), en cuyo caso no funciona como predicado? Cualquiera que sea la opción elegida, parece difícil explicar las relaciones lógicas entre ( 6 ) y otras oraciones. Por ejemplo, ( 6 ) está implicado por
(9)Tres es primo.
entonces presumiblemente deberíamos interpretar 'es primo' de la misma manera en ( 6 ) y ( 9 ). Pero ( 6 ) también está implicado por
(10)Edimburgo es excelente.
entonces presumiblemente deberíamos interpretar 'es primo' de la misma manera en ( 6 ) y ( 10 ). Pero eso requeriría que interpretáramos la expresión de la misma manera en ( 9 ) y ( 10 ), lo cual es imposible si la expresión es un predicado en ( 10 ) pero algo más en ( 9 ).
Las oraciones ( 7 ) y ( 8 ) plantean problemas similares. Si 'Hay tablas' es una cuantificación existencial, como parece ser, pero 'Hay números primos' no es una cuantificación existencial, entonces ¿cómo debemos interpretar ( 7 )? ¿Qué lectura deberíamos darle a 'Hay' tal como aparece en ( 7 )? Si "Edimburgo" es un nombre pero "cuarenta y dos" no lo es, entonces ¿cómo debemos leer "amores" en ( 8 ), teniendo en cuenta que "Bo ama Edimburgo" y "Bo ama cuarenta y dos" implican colectivamente ( 8 )?
En resumen, los filósofos de las matemáticas que adoptan una interpretación alternativa a la interpretación predeterminada tienen la difícil tarea de integrar su interpretación de oraciones matemáticas con su interpretación del resto del lenguaje. (Nótese que los defensores de la interpretación por defecto evitan estos problemas tomando el lenguaje matemático al pie de la letra.) Por todo lo que he dicho, tal vez un filósofo suficientemente ingenioso pueda completar con éxito la tarea: pero el resultado será una semántica complicada.
Los parafraseadores a menudo afirman no sólo que los objetos abstractos en cuestión no existen, sino que no hay objetos abstractos en absoluto. Por ejemplo, los parafraseadores en filosofía de las matemáticas suelen ser nominalistas en todos los ámbitos. Estos filósofos enfrentan un desafío adicional: deben demostrar que sus paráfrasis son consistentes con el nominalismo.
El estructuralismo modal en la filosofía de las matemáticas proporciona un buen ejemplo. Para el estructuralista modal, oraciones aritméticas verdaderas como "Cinco es un número primo" expresan verdades sobre las consecuencias lógicas de tener una determinada estructura. Esto plantea la pregunta: ¿qué es la metafísica de consecuencia lógica? Muchos filósofos creen que la consecuencia lógica se entiende mejor en términos de teoría de modelos: para que B sea una consecuencia lógica de A es que B resulte verdadero en cada modelo en el que A resulte verdadero ( Tarski y CorcoranTarski 1983 ). Este enfoque de las consecuencias lógicas presupone la existencia de modelos. Pero los modelos son conjuntos. Estos conjuntos son diferentes al ejemplo de {Edimburgo} analizado en la Sección 2.1 , en que no contienen objetos físicos en ningún nivel. Son los que se llaman 'conjuntos puros'. Se supone que se trata de objetos matemáticos abstractos. De modo que el estructuralista modal que desee ser nominalista necesita explicar cómo la teoría de modelos no viola el nominalismo o proporcionar una explicación nominalista alternativa de consecuencias lógicas. Es más probable que opten por la última opción.
No se debe exagerar la importancia de estos problemas. Todo nominalista que quiera utilizar la noción de consecuencia lógica en su teorización necesita proporcionar una explicación de la consecuencia lógica, sea o no un parafraseador. Volveremos a encontrar este punto en conexión con el nominalismo de Field, que es una alternativa al nominalismo parafraseado ( Sección 3.5 ).
Los sentencialistas enfrentan un problema similar. Para el sentencialista, las adscripciones de creencias expresan relaciones con oraciones. Algunas creencias tienen contenidos que nunca han sido simbolizados, por lo que el sentencialista debería decir que las adscripciones de estas creencias expresan relaciones con tipos de oraciones, no con símbolos de oraciones. Pero los tipos de oraciones, como otros tipos, parecen ser objetos abstractos (ver Sección 2.3 ).
El principal problema para el parafraseador es hacer plausibles sus afirmaciones sobre los significados de las oraciones en cuestión. A menudo, las oraciones en cuestión simplemente no parecen significar lo que el parafraseador dice que significan. Por ejemplo, "la paciencia es una virtud" y "las personas pacientes son virtuosas" parecen significar cosas diferentes. (Ver tambiénCampo de Campo 1989 : 113–5.)
HellmanMatemáticas sin números de Hellman (1989) suele considerarse la expresión clásica del estructuralismo modal. Sin embargo, Hellman ha afirmado que las posiciones de paráfrasis son
bastante inverosímil desde el punto de vista lingüístico. Seguramente, el discurso matemático ordinario... no se expresa literal y exactamente ... mediante largoscondicionales modales relativos a lo que se cumpliría en estructuras arbitrarias del tipo apropiado...
( Hellman1998 : 336)
Hellman continúa explicando que en su HellmanEn 1989 ofrecía una "reconstrucción racional" de las matemáticas en lugar de una interpretación del lenguaje matemático ( Hellman1998 : 342). Así que Matemáticas sin números no pretendía presentar una posición parafraseada. En el momento en que lo escribió, Hellman rechazaba el estructuralismo modal porque consideraba inverosímiles sus afirmaciones sobre el significado lingüístico. (Un trabajo más reciente, escrito conjuntamente con Stewart Shapiro, indica que PettigrewPettigrew (2008) convenció a Hellman para que cambiara de opinión al respecto; ver Hellman y ShapiroHellman y Shapiro 2019 : 67–8.)
Los defensores de la paráfrasis probablemente dirán que vale la pena pagar estos costos. Vale la pena mencionar especialmente un beneficio potencial. Cuando el concretismo no sea un contendiente serio, las únicas opciones serán la respuesta de paráfrasis o la respuesta de teoría del error. A diferencia de las teorías del error, las opiniones de paráfrasis nos permiten defender la verdad de las oraciones que desempeñan el papel de ( 1 ). Los parafraseadores tienden a considerarlo como uno de los principales beneficios de su enfoque. En la siguiente sección sostendré que las teorías del error merecen una atención seria y no pueden descartarse fácilmente.
Otra objeción a las afirmaciones de los parafraseadores sobre el significado lingüístico es que violan un importante principio metodológico. Sobre si los parafraseadores de filosofía de las matemáticas tienen razón en sus afirmaciones sobre el significado de las oraciones matemáticas, Burgess y Rosen escriben:
[L]a pregunta parece que no nos corresponde responder a nosotros como filósofos. La cuestión de qué evidencia existe para favorecer una hipótesis hermenéutica sobre cualquier otra (o sobre la hipótesis nula de que "en el fondo" el lenguaje científico estándar realmente significa más o menos lo que parece significar "en la superficie") parece ser mejor dejarla en manos de lingüistas profesionales sin segundas intenciones ontológicas. Y de hecho, aunque encontramos todos los análisis y exégesis muy inverosímiles como explicaciones del "sentido" o "significado" del lenguaje estándar (al menos en cualquier sentido o significado de "sentido" o "significado" que tenga algo que ver con los hablantes). y las intenciones de los escritores o las comprensiones de los oyentes y lectores), estamos dispuestos a dejar esa cuestión a los lingüistas.
( Burgess y RosenBurgess y Rosen 1997 : 207)
En otras palabras, los parafraseadores se están entregando a la lingüística de salón: deberían dejar las preguntas sobre el significado del lenguaje matemático a los expertos. Sin duda, este argumento podría ampliarse para parafrasear respuestas en otros ámbitos. Amenaza con mostrar que los filósofos no están justificados al creer en las afirmaciones semánticas de los parafraseadores.
Podría decirse que la posición de Burgess y Rosen es demasiado extrema. Se puede reconocer que el trabajo en lingüística es relevante para los debates filosóficos sobre la existencia de objetos abstractos, al tiempo que se niega que la lingüística por sí sola pueda resolver el problema.cuestión de qué significan (por ejemplo) oraciones matemáticas. Los filósofos tienen en cuenta pruebas que no desempeñan ningún papel en la lingüística: por ejemplo, los argumentos a favor y en contra de la existencia de objetos abstractos. Sería irresponsable ignorar esa evidencia al decidir qué significan las oraciones, porque eso sería ignorar algunas de las pruebas disponibles. (Ver Daly y LigginsDaly y Liggins 2011 para una discusión más detallada sobre la deferencia filosófica hacia la lingüística y otras disciplinas).
Sin embargo, los comentarios de Burgess y Rosen sobre la paráfrasis resaltan una característica sorprendente del debate contemporáneo sobre la existencia de objetos abstractos: la falta de contacto con la lingüística ( van Elswyk, Tillman y Murrayvan Elswyk 2022 es una refrescante excepción). Un compromiso más estrecho promete ser fructífero, por lo que ésta es una vía para el trabajo futuro.
3.5 Respuestas a los argumentos: teoría del error
3.5.1 Las teorías del error y la 'verdad matemática' de Benacerraf
En la sección 3.3 distinguí tres respuestas a argumentos basados en la estructura básica: la respuesta concretista, la respuesta de paráfrasis y la respuesta teórica del error. Ha llegado el momento de discutir el tercero de ellos. El teórico del error niega o se niega a respaldar la primera premisa del argumento. Como antes, me centraré en la versión "negativa". Así, el teórico del error acerca de los números niega que cinco sea un número primo; el teórico del error sobre las propiedades niega que la paciencia sea una virtud; El teórico del error sobre las proposiciones niega que Justin crea que la nieve es blanca. Además, los teóricos del error sobre los números niegan todas las demás afirmaciones que podrían utilizarse en lugar de "Cinco es un número primo": niegan todas las afirmaciones que parecen ser verdaderas y parecen implicar la existencia de al menos un número. Y lo mismo ocurre con los teóricos del error sobre otros tipos de objetos abstractos. La teoría del error sobre números (y otros objetos matemáticos) es la forma mejor desarrollada de teoría del error: verCampo de Campo 1989 ,Campo de 2016 . Para conocer la teoría del error sobre proposiciones, consulte BalaguerBalaguer 1998a ; sobre propiedades, BåveBåve 2015 . El término "teoría del error" se utiliza de diferentes maneras: tal como lo uso aquí, simplemente expresa una afirmación sobre los valores de verdad de algunas oraciones.
Consideremos uno de los artículos más significativos e influyentes sobre objetos abstractos: la 'Verdad matemática' de Benacerraf ( Benacerraf1973 ). En este artículo, Benacerraf propone un dilema para los filósofos de las matemáticas. O interpretarán las afirmaciones matemáticas como consistentes con el nominalismo, en cuyo caso su teoría semántica será indefendible. O interpretarán las afirmaciones matemáticas como relativas a objetos matemáticos abstractos, en cuyo caso postularán objetos abstractos y, por lo tanto, no explicarán cómo adquirimos las matemáticas.conocimiento. De cualquier manera, sostiene Benacerraf, existe un problema para el filósofo de las matemáticas. Y es fácil ver cómo el dilema de Benacerraf puede extrapolarse a otras áreas del discurso, como el discurso sobre propiedad o proposiciones. (En la sección anterior, mencioné algunas de las afirmaciones de Benacerraf sobre la semántica. Hablaremos de sus afirmaciones sobre la epistemología en la Sección 4.2 .)
Menciono este artículo porque es notable que pase por alto por completo la teoría del error. El argumento de Benacerraf supone que afirmaciones como "Cinco es un número primo" son verdaderas (y se sabe que lo son). Para sortear ambos cuernos del dilema de Benacerraf, el filósofo de las matemáticas puede interpretar el lenguaje matemático de la misma manera que lo interpretan los platónicos –en lo que respecta a objetos matemáticos abstractos– y afirmar que, así interpretadas, oraciones como “Cinco es un número primo” no son ciertas. (Tal vez sean falsos, o tal vez no sean ni verdaderos ni falsos.) De esta manera, el filósofo de las matemáticas puede respaldar la semántica preferida de Benacerraf sin afirmar que existen objetos matemáticos abstractos. De esta manera pueden evitar los problemas tanto semánticos como epistemológicos que plantea.
Esto significa que el artículo de Benacerraf no debería utilizarse para estructurar nuestro pensamiento sobre el debate sobre los objetos abstractos. En términos de nuestro "argumento básico", Benacerraf en efecto sostiene que aceptar (2a) y rechazar (2a) conducen a problemas. Pero presupone (1) y nunca discute rechazarlo.
Por que Benacerraf¿ Benacerraf (1973) pasa por alto la teoría del error? Especulo que Benacerraf asumió que no valía la pena tomar en serio esa opinión. A menudo se supone que las teorías del error de muchos discursos diferentes no merecen una atención seria ( Daly y LigginsDaly y Liggins 2010 : 210).
3.5.2 Críticas a las teorías del error
Chris Daly y yo hemos argumentado que las teorías del error no deberían descartarse: hemos argumentado, por ejemplo, que los argumentos tradicionales contra la teoría del error basados en el conservadurismo o en consideraciones mooreanas no tienen éxito ( Daly y LigginsDaly y Liggins 2010 ; ver también Sider, Bennett y ZimmermanSider 2013 ). Estos argumentos metodológicos significan que las teorías del error deben tomarse en serio.
Una crítica influyente a las teorías del error es que son poco caritativas. La versión más prometedora de este argumento sostiene que el teórico del error se equivoca al decir que muchas de nuestras creencias son falsas, porque esto retrata a las personas como menos racionales de lo que realmente son.
Hay varias razones por las que esta crítica no es decisiva. En primer lugar, es posible que el teórico del error no esté imputando creencias falsas a nadie. Lo único que dicen es que ciertas oraciones –aquellas que pueden desempeñar el papel de (1)– no son verdaderas. Si eso implica que las personas tienen creencias falsas depende de si alguien cree lo que dicen estas oraciones, interpretadas literalmente. Como vimos en la Sección 2.3 , es decircontencioso. Bien puede ser que no creamos que cinco sea un número primo. Y si es así, entonces negar que "Cinco es un número primo" sea cierto no impugna nuestra racionalidad. Uno de los teóricos del error más famosos, Field, sigue este camino, aunque este elemento de su pensamiento suele pasarse por alto:
Los platónicos suelen retratar el ficcionalismo como una posición radical, bastante en desacuerdo con las opiniones del no filósofo promedio. Más bien dudo que esto sea así. No creo que sea nada obvio que la persona promedio... crea literalmente que existen entidades matemáticas. Sospecho que el no filósofo promedio no ha pensado lo suficiente en lo que implica el platonismo y lo que implica el ficcionalismo como para tener algo parecido a una visión consistente del asunto.
(Campo de Campo 1989 : 8; ver tambiénCampo de Campo 2016 : P-3)
Sin embargo, en muchos casos será plausible afirmar que tenemos las creencias en cuestión. Aun así, eso no tiene por qué ser problemático, siempre que el teórico del error pueda explicar cómo llegamos a formarlos de una manera que no implique que seamos menos racionales de lo que realmente somos. En otras palabras, el teórico del error necesita dar a estas creencias algún estatus epistémico positivo. (Cuál podría ser precisamente aquí el "estatus epistémico positivo" es una cuestión epistemológica delicada: véase KovacsKovacs 2021 : Sección 2 para una discusión relevante).
Los detalles de cómo hacer esto variarán de un caso a otro. Una opción para el teórico del error es apelar al papel del testimonio ( Liggins, Armor-Garb y KroonLiggins 2020 : 86–7). La idea es esta. Muchas de nuestras creencias provienen de lo que nos enseñaron nuestros padres y maestros. No teníamos motivos para dudar de lo que decían, por lo que no era irracional de nuestra parte formar estas creencias. Las razones para dudar son argumentos filosóficos, como los que discutiremos en la Sección 4 ; alguien que desconoce la existencia de estos argumentos –y que no está preparado para evaluar su contundencia– no puede ser culpado por no tomarlos en cuenta.
Otro tipo de respuesta es dar a las creencias un estatus epistémico positivo asociándolas con verdades. Hay varias versiones de esto. Quizás confundamos la creencia falsa con la verdadera (ver Markosian y ZimmermanMarkosian 2004 : 69–73 para una versión de este movimiento en la filosofía del tiempo). O tal vez mantener una creencia falsa nos ayude a comunicar la verdadera (veremos en la Sección 3.5.5 que esta estrategia es popular entre los nominalistas contemporáneos en la filosofía de las matemáticas). O tal vez la creencia falsa sea, para usar el término de Sider, "casi verdadera". Una creencia B que implica la existencia de F s es casi verdadera si hay alguna verdad C tal que, si hubiera existido F s, C habría sido verdadera y habría requerido metafísicamente la verdad de B (Sider de Sider 1999 : 340); esto pretende captar la idea de que B es verdadero además de presuponer la existencia de F s.
Así, cuando al teórico del error se le acusa de ser poco caritativo, tiene a su disposición una gama de respuestas.
Quienes se oponen a la teoría del error bien pueden apelar a las razones que tienen para creer ( 1 ). Así que ahora revisaré algunas de esas razones e indicaré lo que el teórico del error puede responder.
Como mencioné en la Sección 3.2 , Baker sugiere que negar toda adscripción de estados mentales como la creencia equivaldría a un "suicidio cognitivo"; por ejemplo, sostiene que no está claro cómo podría haber afirmación a menos que existan algunas atribuciones verdaderas de creencia (Panadero de 1987 : 138–42). En respuesta, Andrew Cling ha argumentado que estas consideraciones suponen lo que se propusieron demostrar, y es mejor considerarlas como un desafío para que los oponentes de Baker desarrollen sus propias explicaciones rivales de fenómenos como la afirmación ( adhesivaAferrarse 1989 ; ver también DalyDaly 2013 ).
Vimos en la Sección 3.1 que los fregeanos ofrecen argumentos filosóficos a priori para ( 1 ), basados en el principio de Hume:
Existe una correspondencia uno a uno entre las F y las G si y sólo si el número de F es idéntico al número de G.
En respuesta, los nominalistas cuestionan el principio de Hume y alegan que se ha confundido con el siguiente principio, más plausible:
Si hay números, entonces: hay una correspondencia uno a uno entre las F y las G si y sólo si el número de F es idéntico al número de G.
(Campo de Campo 1984 ). A diferencia del principio de Hume, este principio condicional no puede utilizarse para defender la existencia de los números.
En la Sección 3.1 , distinguí dos tipos de naturalismo. El naturalismo débil dice que la ciencia empírica (o las matemáticas) nos da una razón para creer en afirmaciones como ( 1 ), pero que estas razones podrían ser derrotadas por el argumento filosófico. El naturalismo fuerte dice que nos da una razón irrevocable que no puede ser derrotada de esa manera.
Es probable que los teóricos del error admitan que el naturalismo débil es altamente plausible y argumenten que las razones que la ciencia empírica (o las matemáticas) dan para creer en afirmaciones como ( 1 ) son superadas por otras evidencias. (En la Sección 4 , examinaré el caso en contra de la existencia de objetos abstractos.) ¿Qué deberían decir los teóricos del error en respuesta a los argumentos a favor de ( 1 ) basados en un naturalismo fuerte?
Lo primero que deberían decir es que el naturalismo fuerte no es obviamente cierto. Cualquier atractivo que pueda tener el naturalismo fuerte probablemente provenga de confundirlo con el naturalismo débil. Cuando se dan argumentos a favor del naturalismo fuerte, tienden a recurrir a la trayectoria histórica de la ciencia en comparación con la trayectoria histórica de la filosofía. El 'Credo' de Lewis es un buen ejemplo:
Las matemáticas son una empresa establecida y en funcionamiento. La filosofía es tan inestable como puede ser. Rechazar las matemáticas por razones filosóficas sería absurdo... Incluso si rechazamos las matemáticas suavemente –explicando que pueden ser una ficción muy útil, "buena sin ser verdad"- todavía las rechazamos, y eso sigue siendo absurdo.
( LewisLewis 1991 : 58. Después de las palabras "bueno sin ser verdad", Lewis cita las notas a pie de página de Field's Science without Numbers .)
El enfoque de Lewis ha sido influyente (ver las referencias dadas en Daly y LigginsDaly y Liggins 2011 : 323). Sin embargo, también ha encontrado una resistencia considerable.
En el contexto actual, tal vez la respuesta más fundamental se centre en lo que significa ser una "empresa establecida y en funcionamiento". Los teóricos del error deberían reconocer que las matemáticas son una disciplina establecida con un sólido historial en la producción de teorías que son excelentes según los estándares matemáticos. Pero también deberían preguntarse si eso significa que debemos pensar que estas teorías son ciertas. La relación entre excelencia matemática y verdad parece ser una cuestión filosófica, una que no puede resolverse simplemente apelando a las matemáticas o a los antecedentes históricos de la filosofía y las matemáticas (ver BalaguerBalaguer 2009 : 153–7). Los mismos puntos se aplican a las apelaciones a la ciencia para establecer afirmaciones como ( 1 ). (Para una discusión sobre el Credo de Lewis, verPaseo de Paseo 2005 y Daly y LigginsDaly y Liggins 2011 : sección 3 . Para una discusión relevante sobre el historial histórico de la filosofía, ver StoljarStoljar 2017. )
El naturalista fuerte dice que algunas disciplinas proporcionan razones filosóficamente irrevocables para creer. Necesitan explicar por qué creen que estas disciplinas particulares tienen este estatus privilegiado. Quizás "las matemáticas no responden ante ningún tribunal extramatemático" ( MaddyMaddy 1997 : 184), pero la astrología ciertamente debe responder ante tribunales no astrológicos. ¿Qué explica por qué las matemáticas tienen autoridad pero la astrología no? Esto es lo que RosenRosen (1999 : 471) lo llama "problema de autoridad". El problema no puede resolverse simplemente apelando a los estándares internos de la disciplina en cuestión: los matemáticos producen trabajos que son excelentes según los estándares internos de las matemáticas, pero los astrólogos bien pueden producir trabajos que también son excelentes según los estándares astrológicos ( RosenRosen 1999 : 471–2). Un naturalista fuerte podría intentar explicar la autoridad de la ciencia señalando su éxito empírico; o podrían explicar la autoridad de las matemáticas señalando su papel en la ciencia empíricamente exitosa. Estas líneas de pensamiento apuntan hacia el argumento de la indispensabilidad.
3.5.3 Respuestas de la teoría del error al argumento de la indispensabilidad
Dado que el argumento de la indispensabilidad tiene tanta importancia para el debate contemporáneo sobre la existencia de objetos abstractos, discutiré las respuestas de la teoría del error con particular detalle.
En la Sección 3.1 , distinguí diferentes versiones del argumento de la indispensabilidad. Uno se centra en afirmaciones matemáticas aplicadas, como "La masa de la Tierra es 5,9736 × 10 24 kg", que son parte de teorías científicas bien confirmadas.teorías. El otro se centra en afirmaciones matemáticas puras, como "Cinco es primo". El último argumento se basa en el holismo confirmacional; el primero no.
Una forma de atacar la versión "pura" del argumento de la indispensabilidad es atacar el holismo confirmacional. ¿Es realmente cierto que confirmar una teoría también confirma todas las suposiciones que tenemos que hacer para probarla? José MorrisonMorrison (2010 , 2012) sostiene que el holismo confirmacional en el que se basa el argumento de la indispensabilidad nunca ha recibido un apoyo argumentativo serio; sugiere que es popular sólo porque los filósofos lo han confundido con otras afirmaciones holísticas mejor fundamentadas sobre la evidencia (ver tambiénCampo de Campo 2016 : P-31).
Peor aún para el defensor de esta forma de argumento de indispensabilidad, cada vez hay más pruebas en contra del holismo confirmacional. Elliott Sober sostiene que apelar al holismo confirmacional puede violar un principio de confirmación bien establecido, a saber, el principio de que una observación puede confirmar una teoría sin confirmar todas sus consecuencias lógicas. Este ejemplo ilustra el punto:
Saco una carta al azar de una baraja de cartas estándar sin mirarla. La probabilidad de que sea el siete de corazones es 1/52. Luego me informas que la tarjeta es roja. Esta información confirma la hipótesis de que la carta es el siete de corazones… en el sentido de hacer la hipótesis más plausible de lo que era antes; la probabilidad de que tenga el siete de corazones acaba de aumentar a 1/26. Sin embargo, esta información no confirma la hipótesis de que la carta que tengo sea un siete; la probabilidad de que tenga un siete sigue siendo la que era, es decir, 1/13.
( sobrioSobrio 2000 : 264)
Por lo tanto, para Sober '[l]a relación de confirmación que invoca el holismo confirmacional es extraña ' ( sobrio2000 : 264). Y Maddy proporciona evidencia contra el holismo confirmacional extraído de la práctica científica: los científicos frecuentemente usan idealizaciones que saben que son falsas, como la suposición de que los proyectiles no enfrentan resistencia del aire ( MaddyMaddy 1997 : 143–94; Maddy y Shapiro2005 : 454–5; sólo en este último Maddy es explícito que el holismo confirmacional es el culpable).
Así pues, la versión "pura" del argumento de la indispensabilidad se enfrenta a un serio desafío porque se basa en un holismo confirmacional. Sin embargo, esto no llega al meollo de la cuestión, porque la versión "aplicada" del argumento de la indispensabilidad no se basa en el holismo. ¿Cómo debería responder un teórico del error a la versión "aplicada"?
ColyvanColyvan (2010 : 286-287) establece una valiosa distinción entre las respuestas del "camino fácil" y del "camino difícil" al argumento de la indispensabilidad. Según la respuesta del camino difícil, las teorías científicas bien confirmadas que implican la existencia de objetos abstractos pueden ser reemplazadas por nuevas teorías que sean consistentes con el nominalismo, por lo que, después de todo, las matemáticas no son indispensables para la ciencia. En contraste, el nominalista que toma el camino fácil admite que las matemáticas sonindispensable para la ciencia, pero sostiene que el argumento de la indispensabilidad no logra establecer el platonismo.
Aunque Colyvan establece esta distinción dentro del debate sobre la metafísica de las matemáticas, la misma distinción se puede aplicar a cualquier argumento de indispensabilidad. Por ejemplo, si argumentamos que las propiedades existen sobre la base de que la teoría de la evolución implica su existencia, un oponente podría ofrecer una nueva versión de la teoría de la evolución que sea consistente con el nominalismo. Esa sería una respuesta de "camino difícil".
3.5.4 Respuestas del camino difícil
Las respuestas difíciles en cualquier área enfrentan un programa técnico formidable: necesitan establecer dónde nuestras mejores teorías científicas implican la existencia de los objetos abstractos en cuestión, y luego proporcionar teorías alternativas que eviten esa implicación. A diferencia de la estrategia de "paráfrasis" considerada anteriormente, el teórico del camino difícil no afirma que las alternativas seleccionen más claramente lo que las teorías originales decían desde el principio. Al contrario: como las teorías originales implican platonismo, pero las sustitutas no, deben diferir en significado. Llamemos a las teorías que son consistentes con el nominalismo "nominalistas" y a todas las demás "platónicas". En estos términos, el nominalista del camino duro toma una teoría platónica y ofrece una alternativa nominalista.
Las teorías de reemplazo tienen que ser tan teóricamente virtuosas como las teorías originales. ¡Reemplazar una buena teoría platónica por una peor nominalista no demostraría que los supuestos platónicos sean prescindibles! (Ver ColyvanColyvan 2001 : 76–81.) Curiosamente,Campo de Campo (2016 : capítulo 5;Campo de 1989 : 18-19, 192-3) sugiere que debido a que sus reemplazos nominalistas no invocan objetos abstractos causalmente irrelevantes, podrían ser más explicativos que las teorías platónicas originales. Si es genuino, este beneficio presumiblemente se trasladará a los programas de nominalización en otras áreas.
La estrategia de Field era ofrecer una forma de nominalizar las teorías de campos en el espacio-tiempo plano, dando así una forma de nominalizar la teoría gravitacional newtoniana y otras teorías de este tipo. Por supuesto, la teoría gravitacional newtoniana ya no es una de nuestras mejores teorías (ahora se sabe que el espacio-tiempo es curvo), pero la idea de Field era que este trabajo técnico hace posible que a nuestras mejores teorías actuales se les puedan dar reemplazos nominalistas que sean igualmente buenos. , si no mejor.
El programa de Field de nominalizar la ciencia dominó las discusiones sobre el nominalismo en los años 1980 y 1990. En el curso del debate, la respuesta de Field al argumento de la indispensabilidad encontró muchas objeciones. No es este el lugar para resumirlos todos: sólo mencionaré tres de los más importantes.( MacBrideMacBride 1999 yLongitud de Leng 2010 : la sección 3.2 analiza el debate sobre el nominalismo fieldiano).
En primer lugar, está la objeción de que los métodos desarrollados por Field no se aplican a otras áreas de la ciencia, en particular a aquellas que, como la teoría cuántica, utilizan "espacios de fase". (La expresión clásica de esto es la reseña de David Malament de Ciencia sin números .Enfermedad de y campo.Malamento 1982 ); ver también BalaguerBalaguer 1998b : capítulo 6 y Lyon y ColyvanLyon y Colyvan 2008. ) La aplicación de los métodos de Field a estas teorías parece requerir la existencia de cosas como posibilidades, pero no está nada claro que se trate de objetos concretos.
Las reformulaciones de la teoría física de Field suponen la existencia de puntos espacio-temporales: entidades con volumen cero, cada una de las cuales existe sólo por un instante, que colectivamente constituyen el espacio-tiempo. La segunda objeción es que al nominalista no se le permite plantear tales cosas. En particular, cualquier preocupación que surja sobre el acceso epistémico a objetos matemáticos abstractos (que se discutirá en la Sección 4.2 ) parece aplicarse igualmente a los puntos espacio-temporales. En respuesta,Campo de referenciaField (1989 : 69-73) sostiene que es libre de postular puntos espacio-temporales porque mantienen relaciones espacio-temporales con los seres humanos y son causalmente activos.
La tercera objeción se refiere a la metalógica. Field hace uso del concepto de consecuencia lógica, pero ¿puede explicar esto sin proponer objetos matemáticos? Como vimos al discutir el estructuralismo modal ( Sección 3.4 ), muchos filósofos entienden las consecuencias lógicas en términos de modelos, que son conjuntos. Field no adopta esta explicación: en cambio, la ataca y propone que la coherencia lógica se trate como una noción primitiva (Campo de 1989 : 30–8).
Las tres objeciones se refieren a los recursos (las entidades y conceptos) disponibles para Field. Pueden verse como facetas de una objeción más general, según la cual Field utiliza recursos que son inconsistentes con su nominalismo o con su motivación para el nominalismo sobre los objetos matemáticos.
Las respuestas del "camino difícil" a otros argumentos de indispensabilidad enfrentan objeciones similares. Consideremos el argumento de la indispensabilidad de las propiedades, que dice que afirmaciones como
(T1*)Algunos rasgos son adaptativos.
aparecen en teorías científicas que merecen nuestra creencia; Dado que los rasgos son propiedades, deberíamos creer en las propiedades. Una respuesta a esto es reemplazar las teorías que mencionan rasgos con teorías que utilizan recursos de orden superior. Por tanto ( Q1* ) se sustituiría por:
∃ X A X .
(verLiggins de Liggins 2021 : apartado 3.2 ). Aquí ' X ' es una variable que mantiene la posición sintáctica de un predicado, limitada por el cuantificador existencial de orden superior '∃'; y ' A ' es un predicado de predicados. Pero estos recursos despiertan sospechas: ¿son realmente inteligibles? Y, si lo son, ¿tiene un nominalista derecho a usarlos? ¿O la cuantificación en posición de predicado es simplemente una cuantificación sobre conjuntos u otras entidades abstractas ( Quine¿ Quine 1970 : 68)? La cuantificación en la posición de la oración es un recurso que podría usarse para ayudar a evitar la cuantificación de proposiciones: por ejemplo, se podría reemplazar 'Peter cree en alguna proposición' por:
∃ p B p .
donde ' p ' es una variable en la posición de la oración y 'B' es un operador que significa 'Peter cree eso'. Plantea preguntas similares: lo más importante: ¿las fórmulas que lo utilizan son simplemente una cuantificación disfrazada de proposiciones u otros objetos abstractos? Admitir cuantificadores en posición de predicado y oración como recursos legítimos, irreductibles a la cuantificación de primer orden, está conduciendo a interesantes desarrollos teóricos (ver SkibaSkiba 2021 para una encuesta y referencias).
Otra forma de evitar la cuantificación de las proposiciones sería seguir el ejemplo de los sentencialistas, hablando de oraciones en lugar de proposiciones. (A diferencia del sentencialista, el teórico del error mantendría que éstas son explicaciones nuevas y mejores, no reformulaciones de las antiguas.) Pero como algunas creencias tienen contenidos que nunca han sido señalados, aquí aparece una versión del problema mencionado en la Sección 3.4 : las nuevas explicaciones deben hablar de tipos de oraciones, no de tokens de oraciones, pero los tipos de oraciones parecen ser objetos abstractos.
En 1998, Field comentó irónicamente: 'Desafortunadamente, el proyecto de nominalización no es trivial. Hice una cierta cantidad de trabajo tratando de llevarlo a cabo hace algún tiempo. Gané pocos conversos, pero soy un tipo testarudo que no está dispuesto a admitir la derrota' (Campo de referencia, Laurence y MacDonaldField 1998 : 400, nota al pie eliminada). Field ha comenzado a mostrarse comprensivo con la respuesta del camino fácil al argumento de la indispensabilidad de los objetos matemáticos (verCampo de Campo 2016 : P-30 – P-37).
3.5.5 Respuestas fáciles en el camino
Habiendo considerado las respuestas difíciles a los argumentos de indispensabilidad, consideremos ahora las respuestas fáciles. Me centraré en el caso matemático, ya que es donde más se desarrolla el debate. (Ver Balaguer 1998a para un camino fácil hacia el discurso proposicional.)
Para aquellos que toman el camino fácil, nuestras mejores teorías científicas implican la existencia de los objetos en cuestión, y no pueden ser reemplazadas por otras igualmente buenas que no la tengan, pero aun así esto no demuestra que los objetos existan.Según las versiones más prometedoras del camino fácil, la razón por la que no lo demuestra es que hablar en términos de los objetos en cuestión aporta beneficios expresivos: nos ayuda a decir más o a decir las cosas de una manera más útil. Como BalaguerBalaguer (1998b : 141) lo expresa: "el contenido nominalista de la ciencia empírica es su imagen del mundo físico, mientras que su contenido platónico es el lienzo... sobre el que está pintada esta imagen". De modo que las matemáticas son indispensables para la ciencia, aunque la ciencia no haya descubierto que los objetos matemáticos existen. La afirmación es que las matemáticas son útiles en la ciencia porque nos ayudan a hacer afirmaciones sobre objetos concretos que de otro modo serían más difíciles de hacer, o tal vez imposibles. Me gusta llamar a esta afirmación "expresionismo abstracto". (Las respuestas fáciles al argumento de la indispensabilidad incluyen: BalaguerBalaguer 1998b : capítulos 5 y 7; MeliáMeliá 1995 , Meliá2000 ; Yablo, Boghossian y PeacockeYablo 2000 , Yablo2001 , Yablo2002 ;Longitud de Longitud 2010. )
¿Por qué podría ser cierto el expresionismo abstracto? Puede deberse a que el lenguaje matemático proporciona una forma sistemática de atribuir longitudes, masas, etc. particulares. Si tuviéramos un predicado diferente para cada longitud, tendríamos que aprender infinitos predicados para dominar el lenguaje largo. Incorporar las matemáticas (“tiene 1 m de largo”, “tiene 2 m de largo”, “tiene 3 m de largo”, etc.) nos proporciona una forma sistemática de atribuir longitudes. Además, algunos datos sobre las longitudes se reflejan en esta manera de distinguirlas: para dar un ejemplo entre muchos, cualquier cosa que tenga 1 m de largo es más corto que algo que tenga 2 m de largo, del mismo modo que (según las matemáticas) 1 es menos de 2. Estas similitudes estructurales entre números y magnitudes físicas hacen que sea conveniente usar lenguaje matemático al adscribir estas magnitudes (ver, por ejemplo, BalaguerBalaguer 1998b : 138; MeliáMeliá 1998 : 70-1). E incluso cuando existen alternativas nominalistas a las teorías científicas platónicas, es menos útil trabajar con ellas: las versiones platónicas son más sugerentes y más fáciles de comparar con alternativas ( Yablo, Boghossian y PeacockeYablo 2000 : Sección 13). Es fácil imaginar afirmaciones similares en otras áreas: por ejemplo, el uso de los predicados "cree que nevará" y "espera que nevará" revela que tanto la creencia como la esperanza tienen el mismo contenido, de una manera que usar dos predicados desconectados no lo haría. Esto es más conveniente y más sistemático.
En la filosofía de las matemáticas, la respuesta más importante al camino fácil es argumentar que las matemáticas tienen un papel más importante en la ciencia que el que permite el expresionismo abstracto. Según esta línea argumental, las matemáticas desempeñan un papel genuinamente explicativo en la ciencia, o al menos en algunas partes de la ciencia. Para establecer esto, los filósofos han ofrecido ejemplos de explicaciones científicas en las que las matemáticas desempeñan un papel genuinamente explicativo, no meramente expresivo (ver, por ejemplo, Lyon y ColyvanLyon y Colyvan 2008 ). El ejemplo que ha recibido más discusión se debe a Alan.Panadero de Baker (2005) , y se refiere a las cigarras periódicas. Tres especies de este insecto tienen ciclos de vida de trece o diecisiete años.¿Por qué sus ciclos de vida tienen una duración primo de años? Baker sostiene que las propiedades matemáticas de los números primos son parte de la razón: tener un ciclo de vida cuya duración en años es un número primo aporta ventajas evolutivas. Los críticos de Baker han sostenido que las matemáticas desempeñan un papel más expresivo que explicativo a la hora de explicar la duración de los ciclos de vida: nos ayudan a representar períodos de tiempo y las relaciones entre ellos (véase, por ejemplo,Longitud de Longitud 2010 : 244–9).
Este debate se ha estancado en intuiciones encontradas y cuestiones polémicas sobre la carga de la prueba ( Knowles y LigginsKnowles y Liggins 2015 : 3403–4). Quizás parte del problema sea que la distinción entre rol explicativo y rol expresivo no se ha señalado con suficiente claridad. Hacerlo ayudaría a hacer avanzar el debate. (Para una discusión relevante, ver LyonLyon 2012 y SaatsiSaatsi 2016. )
¿Cómo nos ayuda exactamente la incorporación de objetos abstractos a hablar de objetos concretos? Los expresionistas abstractos nos deben una respuesta a esta pregunta.
La respuesta principal en la literatura es la de Yablo: el lenguaje matemático es lenguaje figurado, y el lenguaje figurado debe explicarse utilizando la noción de Kendall Walton de "fantasía orientada a objetos" ( WaltonWalton 1993 ; ver YabloYablo 1998 : 250–1; Yablo2001 , Yablo2002 , Yablo y Kalderon2005 ). La idea crucial aquí es que lo que es cierto dentro de un juego de fantasía puede depender de lo que realmente es el caso, por lo que las declaraciones que son verdaderas dentro de un juego pueden transmitir información sobre cómo son realmente las cosas.
Yablo no afirma que realmente hagamos creer cuando utilizamos el lenguaje matemático: más bien, su opinión es que nos involucramos en una "creencia simulada". ¿En qué se diferencia esto de la fantasía? Según Yablo: "Hacer creer es una amalgama de (i) ser como si creyeras, y (ii) ser así a través de tus esfuerzos deliberados", mientras que la creencia simulada implica sólo (i) ( Yablo2001 : 90; véanse también 97–9). El explica:
Alguien está simulando creer que S si aunque las cosas son en aspectos relevantes como si creyera que S, cuando reflexiona sobre el asunto se encuentra con que no lo cree; o al menos son agnósticos al respecto; o al menos no sienten que sea apropiado que su postura dependa de su creencia de que S, si es que la tienen. No creen que S excepto posiblemente por accidente.
( Yablo2001 : 90)
Los ejemplos de creencias simuladas de Yablo incluyen el de un espectador que simula creer que está siendo atacado por un calamar gigante.
Podría decirse que la posición de Yablo carece de plausibilidad psicológica. StanleyStanley (2001 : 47-9) plantea una ingeniosa objeción psicológica respecto del autismo. En pocas palabras: si el lenguaje matemático es figurado y forma parte de un juego de fantasía, entonces deberíamos esperar que a las personas con autismo les resulte difícil participar endiscurso matemático; pero ese no es el caso, por lo que la opinión de Yablo queda refutada. (Para las respuestas de Yablo, ver YabloYablo 2001 : 90–1, 97–9;Liggins de Liggins 2010b analiza en detalle la objeción de Stanley).
Incluso si el argumento de Stanley falla, la explicación de Yablo sobre cómo el lenguaje matemático expande nuestras capacidades expresivas se enfrenta a una objeción psicológica más simple: simplemente no parece que estemos simulando una creencia. Parece que Yablo no tiene perspectivas de una explicación de por qué consideramos que no estamos simulando una creencia. (VerLiggins de Liggins 2014 : 608–10.)
En un trabajo más reciente, Yablo ofrece una explicación diferente, basada en la noción de "tema" (por ejemplo, YabloYablo 2014 ), trabajo demasiado rico para resumirlo aquí. Merece un examen detenido, en parte debido a su interés intrínseco y en parte porque si funciona en el caso del lenguaje matemático, probablemente funcione en una amplia variedad de otros casos.
"Surrealismo matemático" es el nombre del desafío más reciente al expresionismo abstracto. Es la opinión de que las explicaciones expresionistas abstractas de las matemáticas pueden usarse para generar una respuesta difícil, y que esta respuesta es mejor. La idea es que, cuando disponemos de una teoría científica platónica bien confirmada, siempre podemos anteponer a la teoría un operador adecuado, y el resultado es una "alternativa parásita" ( BoyceBoyce 2020 : 2816) que es nominalista y tan virtuosa como la teoría original en otros aspectos. El contenido del operador proviene del pensamiento expresionista abstracto; hay varias posibilidades. El prefijo podría ser:
La siguiente afirmación es nominalistamente adecuada: ...
O si la teoría científica platónica presupone una teoría matemática M, entonces el prefijo podría ser:
Si M fuera verdadera y el ámbito concreto fuera tal como es en realidad, entonces se daría el caso de que...
o
Necesariamente, si M es verdadera y el ámbito concreto es tal como en realidad es, entonces...
(ver BoyceBoyce 2020 : 2817 y obras allí citadas). Si todas nuestras teorías científicas platónicas bien confirmadas pueden convertirse en nominalistas de esta manera, sin pérdida de virtud teórica, entonces tenemos una respuesta exitosa y difícil al argumento de la indispensabilidad, porque hemos demostrado cómo hacer que nuestras mejores teorías sean nominalistas. .
El surrealismo matemático es una idea ingeniosa, pero se enfrenta a dos cuestiones difíciles.
Primero: ¿qué razón tenemos para pensar que la nueva teoría es tan virtuosa como la platónica? No hay ninguna razón particular para pensar que una teoría conserve todos susvirtudes cuando se le antepone un operador como 'Necesariamente, si M es verdadero y el ámbito concreto es tal como en realidad es, entonces...' (ver DorrDorr 2010 ; BoyceBoyce 2020 : 2825–8 para una discusión relevante).
Segundo: ¿por qué deberíamos pensar que la respuesta por el camino difícil que utiliza la teoría del reemplazo es mejor que una respuesta por el camino fácil? Para Boyce, una diferencia importante es que el camino fácil requiere que uno rechace la inferencia hacia la mejor explicación como inválida, mientras que el camino difícil no ( Boyce2020 : 2817, 2822). Pero no está nada claro que el camino fácil realmente requiera rechazar la inferencia como la mejor explicación. Sugiero que la noción de beneficio expresivo es importante aquí. MeliáMelia (1995 : 227-9) sostiene que es irracional inferir la mejor explicación que podemos expresar, cuando tenemos razones para pensar que hay una explicación mejor que no podemos expresar. Así pues, podría decirse que Melia defiende la validez de la inferencia según la mejor explicación, al tiempo que advierte que su aplicación no debería ser distorsionada por lo que somos capaces de expresar: nuestras capacidades expresivas no deberían moldear nuestro comportamiento inferencial de esa manera. Quizás Boyce estaría en terreno más firme si hubiera consenso sobre cómo articular mejor la inferencia hacia la mejor explicación. Pero, de hecho, existen numerosas versiones competidoras (ver McCain y PostonMcCain y Poston 2017 ). Eso hace que sea más difícil demostrar que el enfoque de Melia requiere una inferencia sobre la mejor explicación para ser rechazado.
El debate entre expresionistas abstractos y surrealistas es un debate interno entre nominalistas. Si prevaleciera el surrealismo, los expresionistas abstractos podrían no sentirse terriblemente decepcionados, si su objetivo final es defender el nominalismo.
Las respuestas de la teoría del error a los argumentos a favor de la existencia de objetos abstractos enfrentan un desafío importante por parte de los argumentos de indispensabilidad. Pero hemos visto que existe una variedad de respuestas que los teóricos del error pueden dar. Tienen mucho trabajo que hacer con espacios de fase, cigarras, surrealistas y calamares gigantes.
4 Contra objetos abstractos
Hemos visto que Quine defendía la existencia de objetos abstractos. En trabajos anteriores, él y Goodman afirmaron que no existen objetos abstractos. '¿Por qué nos negamos a admitir los objetos abstractos que necesitan las matemáticas? Fundamentalmente, este rechazo se basa en una intuición filosófica que no puede justificarse apelando a nada más último» ( Goodman y QuineGoodman y Quine 1947 : 105).
Esta afirmación es admirablemente sincera, pero carece de fuerza persuasiva. Los nominalistas deben tener más que decir sobre por qué deberíamos ser nominalistas. (Para ser justos, debo mencionar que Quine y Goodman continúan dando otras razones para abrazar el nominalismo.) En esta sección presento dos motivaciones paranominalismo, y expuso algunas de las complejidades que plantean. Como veremos, ninguno de los dos se entiende mejor como un argumento autónomo a favor del nominalismo. Es mejor considerarlos como desafíos al platonismo.
4.1 Motivaciones ontológicas para el nominalismo
La simplicidad también se conoce como "parsimonia" o "economía" y se presenta en varias variedades. Lo que aquí es relevante es la simplicidad ontológica. Parece que el nominalista tiene una ontología más simple que el platónico, porque el platónico postula objetos abstractos mientras que el nominalista no.
Pero la simplicidad es más complicada que eso. LewisLewis (1973 : 87) distingue diferentes tipos de simplicidad ontológica. Una teoría es "cuantitativamente" simple si postula menos entidades; es "cualitativamente" simple si postula menos tipos de entidades.
Es imposible juzgar la simplicidad cuantitativa de una teoría sin conocer sus detalles, pero es justo decir que las teorías nominalistas tienden a ser cuantitativamente simples en comparación con las platónicas. La mayoría de las explicaciones platónicas de propiedades, proposiciones y entidades matemáticas postulan una cantidad infinita de objetos abstractos. Las matemáticas nos enseñan que algunos números infinitos son mayores que otros, pero la teoría de conjuntos postula tantos objetos que a las matemáticas les falta un número para contarlos.
Sin embargo, es controvertido si la simplicidad cuantitativa es una virtud teórica. LewisLewis (1973 : 87) negó que lo sea (ver NolanNolan 1997 para discusión). Algunos también negarían que la simplicidad cualitativa sea una virtud (ver, por ejemplo, HuémerHuemer 2009 ), pero, como muchos metafísicos, asumiré que así es y examinaré la importancia de la simplicidad cualitativa en el debate sobre los objetos abstractos.
Sea el nominalismo "global" la afirmación de que no existen objetos abstractos en absoluto. Y sea el 'nominalismo sobre Fs ' la afirmación de que no hay objetos abstractos que sean Fs . Por ejemplo, un nominalista sobre las propiedades afirma que o no hay propiedades o son objetos concretos. Un nominalista de las propiedades no tiene por qué ser un nominalista global: podría pensar que hay algunos objetos abstractos que no son propiedades (proposiciones, tal vez).
El nominalismo sobre un tipo específico de objeto abstracto que no llega al nominalismo global es difícil de defender apelando a la simplicidad. Este nominalista postula objetos abstractos de un tipo, por lo que es difícil ver su teoría como cualitativamente simple en comparación con otras teorías platónicas. Además, esa posición enfrenta desafíos en cuanto a su motivación. Por ejemplo, consideremos la opinión de que no existen objetos matemáticos abstractos, pero sí proposiciones, y éstas son objetos abstractos. Cualquiera que sostenga esta visión se enfrenta al desafío: ¿por qué sus razones para evitar los objetos matemáticos abstractos no se trasladan a las proposiciones? Si esola evitación está motivada por consideraciones epistemológicas (ver Sección 4.2 ), entonces ¿por qué esas consideraciones no se aplican también a las proposiciones? Quizás sea posible superar tales desafíos, pero ciertamente dan más trabajo que hacer al nominalista no global.
Pasemos ahora al nominalismo global. Parece que cualquier forma de nominalismo global está destinada a ser cualitativamente más simple que una teoría que postula objetos tanto abstractos como concretos: la última postula objetos de ambos tipos, la primera sólo postula objetos concretos. Una opción poco discutida aquí por los platónicos es negar la existencia de objetos concretos y decir que los objetos abstractos dan lugar a experiencias perceptuales que nos convencen de que los objetos concretos existen (ver Szabó, Loux y ZimmermanSzabó 2003 : 29).
Hasta ahora he asumido que cuando evaluamos la simplicidad cualitativa, es apropiado tomar como tipos "objeto abstracto" y "objeto concreto". En realidad, eso no está tan claro. Existe un problema metodológico más amplio respecto de qué se considera un tipo al juzgar la simplicidad cualitativa de una teoría. En un extremo, para cada objeto o propuesto por la teoría, podríamos tomar "cosa que es idéntica a o " como una clase: entonces habría tantas clases como objetos propuestos. En el otro extremo, podríamos decir que lo único que puede considerarse una especie es el "objeto idéntico a sí mismo": entonces cada teoría que postule al menos una cosa postularía sólo una clase. Entre estos extremos hay muchas alternativas diferentes. Nuestra evaluación de una teoría depende de lo que consideramos un tipo, pero ¿qué alternativa deberíamos elegir y por qué? (Ver OliverÓliver 1996 : 7. LewisLewis 1973 : 87 habla de "tipos de entidades fundamentalmente diferentes", lo que puede ayudar, pero no resuelve completamente el problema).
En lugar de insistir en este problema, los platónicos son más propensos a señalar que los llamamientos a la simplicidad no son concluyentes. Las teorías nominalistas pueden tener la virtud de la simplicidad, pero ésta es sólo una virtud entre muchas: su simplicidad y otras virtudes bien pueden verse superadas por sus vicios teóricos. Una formulación bien conocida de la Navaja de Occam afirma que "las entidades no deben multiplicarse sin necesidad". Las dos últimas palabras son importantes aquí: aunque la falta de simplicidad bien puede ir en contra de las teorías platónicas, no podemos establecer el nominalismo simplemente sobre la base de la simplicidad. Más bien, tenemos que comparar el beneficio teórico general de postular objetos abstractos con el beneficio teórico general de no hacerlo. De modo que la apelación a la simplicidad hace avanzar el debate al plantear un desafío a los platónicos. Que motive el nominalismo depende de si los platónicos pueden afrontar el desafío. Los objetos abstractos pueden ser complicaciones de las que no podemos prescindir.
Dado que el poder explicativo es una virtud teórica importante, una forma que tienen los platónicos de afrontar el desafío es demostrar que necesitamos objetos abstractos para explicar los fenómenos que necesitan explicación. Así pues, las consideraciones de simplicidad nos llevan de nuevo a los argumentos de indispensabilidad (véanse las secciones 3.1 y 3.2 ).
4.2 Motivaciones epistemológicas del nominalismo
Las motivaciones epistemológicas para el nominalismo se desarrollan con mayor profundidad en el debate sobre la existencia de objetos matemáticos abstractos, por lo que me centraré en ese debate. Gran parte de esto se traslada directamente al nominalismo sobre otros tipos de objetos abstractos. (Sobre los desafíos epistémicos a la creencia en propiedades, ver SwoyerSwoyer 1996. )
Vimos en la Sección 3.5 que BenacerrafBenacerraf (1973) planteó un dilema para todos los filósofos de las matemáticas. Parte de esto fue argumentar que si consideramos que las afirmaciones matemáticas son descripciones precisas de objetos matemáticos abstractos, entonces seremos incapaces de explicar cómo las personas adquieren conocimiento matemático. Por ejemplo, '2+2=4' se interpretará como una afirmación sobre dos objetos abstractos, el número dos y el número cuatro, pero como estos objetos son abstractos, no podemos saber cómo se relacionan, por lo que el platónico es sin poder explicar cómo llegamos a saber que 2+2=4.
El argumento de Benacerraf supone que el platónico no querrá negar que la gente tenga ese conocimiento. Esta suposición es razonable. Como forma parte de un dilema, Benacerraf no respalda este argumento: simplemente lo añade a la discusión. Potencialmente se generaliza a otras teorías platónicas. Por ejemplo, muchos quieren decir que sabemos que la proposición Fido ladra implica la proposición algo ladra : pero si las proposiciones son objetos abstractos, eso hace imposible explicar cómo obtenemos este conocimiento.
El argumento de Benacerraf utiliza un supuesto epistemológico no obvio: se basa en la afirmación de que conocemos los objetos sólo si estamos causalmente relacionados con ellos. BenacerrafBenacerraf (1973 : 671) lo justifica apelando a teorías causales del conocimiento, que eran populares en ese momento.
De acuerdo a LewisLewis (1986 : 109), toda la estrategia de Benacerraf es errónea, porque no hay forma de utilizar un supuesto epistemológico para refutar el platonismo: "Nuestro conocimiento de las matemáticas... es mucho más seguro que nuestro conocimiento de la epistemología que busca arrojar dudas". sobre matemáticas. … Las explicaciones causales del conocimiento están muy bien en su lugar, pero si se presentan como teorías generales , entonces las matemáticas las refuta”. Quizás Lewis esté aludiendo aquí al hecho de que las teorías causales no siempre fueron concebidas como teorías generales (por ejemplo, GoldmanGoldman (1967 : 357) dice que pretende dar cuenta sólo del conocimiento de las "proposiciones empíricas"). El argumento de Lewis presupone que comenzamos la reflexión filosófica conociendo algunas verdades sobre los objetos abstractos. Pero en la Sección 2.3 planteo dudas sobre ese supuesto. Si los nominalistas tienen la carga de la prueba, entonces quizás Lewis tenga razón; pero si no lo hacen, es difícil ver cómo nuestro conocimiento de las matemáticas puede tener la fuerza que Lewis cree que tiene.
Las teorías causales del conocimiento no han funcionado bien. Los epistemólogos contemporáneos los rechazan por razones que nada tienen que ver con los objetos abstractos (verSwain 1998). De modo que el argumento de Benacerraf tiene pocos adeptos, si es que tiene alguno, hoy en día. Sin embargo, persiste la sensación de que los objetos abstractos plantean un problema epistemológico.
Campo de Campo (1989 : 25–30, 68, 230–9;Campo de 2016 : sección 5 ) ofrece una forma diferente de articular este problema. A diferencia del argumento de Benacerraf, el de Field no se basa en ningún supuesto sobre las condiciones necesarias del conocimiento (Campo de Campo 1989 : 232–3). Es epistemológico sólo en el sentido amplio de la creencia verdadera.
El argumento de Field se centra en las creencias matemáticas de los matemáticos. Como teórico del error, Field piensa que estos son en gran medida falsos, porque los objetos necesarios para su verdad no existen. Señala que los platónicos aceptarán que la mayoría de las creencias matemáticas sostenidas por los matemáticos son ciertas; Pensarán que, aunque los matemáticos cometen algún error matemático ocasional, sus creencias matemáticas son en gran medida precisas. Este fenómeno sería "tan sorprendente que exigiría una explicación" (Campo de 1989 : 26); El problema para el platónico es cómo explicarlo.
Hay dos estrategias a su alcance, sostiene Field. Pueden dar una explicación causal, pero la naturaleza acausal de las entidades que postulan lo descarta. O pueden dar una explicación no causal, pero para Field
Es muy difícil ver cuál podría ser esta supuesta explicación no causal. Recordemos que, según la imagen platónica habitual, se supone que los objetos matemáticos son independientes de la mente y del lenguaje; se supone que no guardan relaciones espacio-temporales con nada, etc. El problema es que las afirmaciones que hace el platónico sobre las entidades matemáticas parecen descartar cualquier estrategia razonable para explicar la correlación sistemática en cuestión.
(Campo de 1989 : 231)
Así pues, parece que el platónico no puede dar ninguna explicación sobre la precisión matemática de los matemáticos. En otros casos de creencias verdaderas no accidentales, es posible dar una explicación: por ejemplo, no conocemos todos los detalles, pero tenemos los elementos para una explicación científica de cómo nuestras facultades perceptivas nos proporcionan creencias verdaderas sobre nuestra vida. ambiente. El punto de Field es que es difícil imaginar qué forma tomaría una explicación platónica convincente de la precisión matemática de los matemáticos.
Las teorías matemáticas contemporáneas tienen una estructura axiomática: las creencias matemáticas de los matemáticos se deducen de los axiomas del área de las matemáticas en cuestión. Dado que los axiomas verdaderos sólo tienen verdades como consecuencias lógicas, explicar por qué las creencias de los matemáticos en sus axiomas tienden a ser verdaderas contribuiría en gran medida a explicar la precisión matemática de los matemáticos, comoCampo de Field (1989 : 231-2) lo reconoce. Pero es difícil ver qué forma podría adoptar una explicación satisfactoria, o al menos eso afirma Field.
En este punto, la exposición de Field se complica por el hecho de que diferentes grupos de filósofos interpretan su argumento de diferentes maneras. Sjölin WirlingSjölin Wirling (de próxima aparición) denomina a ambos bandos "Poder explicativo del equipo" y "Poder explicativo del equipo".Socavando la derrota'. La disputa gira en torno a qué deberíamos concluir al no poder concebir una explicación platónica satisfactoria de la precisión matemática de los matemáticos.
Según Team Explanatory Power, la importancia de esto es que debemos reducir nuestra credibilidad en el platonismo. Las explicaciones platónicas de las matemáticas no logran explicar un fenómeno que deberían explicar, y eso les perjudica. La derrota por subcotización del equipo, por otro lado, considera que la importancia es que elimina la justificación de las creencias matemáticas de los matemáticos (ver, por ejemplo, Clarke-Doane y PatautClarke-Doane 2017 ).
Aquí evitaré el debate sobre lo que realmente pretendía Field y me centraré en mi interpretación preferida, la del poder explicativo del equipo, porque creo que este argumento ofrece un caso más prometedor a favor del nominalismo.
Digo "prometedor" en lugar de "exitoso" porque es importante apreciar el estatus dialéctico de la contribución de Field. Si lo tratamos como un intento de refutar el platonismo sobre los objetos matemáticos, entonces creo que tiene pocas posibilidades de tener éxito. El punto débil es el pasaje citado anteriormente: "es muy difícil ver cuál podría ser esta supuesta explicación no causal". Aquí Field sugiere que no será posible para el platónico dar una explicación no causal convincente del fenómeno en cuestión, pero no proporciona una razón fuerte para pensar así, simplemente que no le parece que esto sea cierto. posible. Considerado como una objeción al platonismo, esto es endeble (verLiggins de Liggins 2010a : 74).
Cuando presenta su argumento,Campo de Field (1989 : 25) utiliza la palabra "desafío", y esa parece una mejor manera de entender su significado. Por el momento, las teorías platónicas no explican por qué las creencias matemáticas de los matemáticos son exactas. Eso cuenta en su contra. Pero no podemos descartar que un platónico suficientemente ingenioso sea capaz de explicar el fenómeno.
El argumento de Field implica la idea de que dejar algunos fenómenos sin explicación supone un coste teórico: "exigen una explicación". Esta idea metodológicamente importante no se comprende bien, como ha subrayado Dan Baras; su Baras2022 es una discusión de un libro sobre la noción. (El libro analiza brevemente el argumento de Field (170-1), aunque me parece que esta discusión no se centra en el núcleo del argumento.) Mejores teorías de "pedir una explicación" sólo pueden ayudarnos a comprender el argumento de Field más profundamente. Pero la ausencia de tales teorías no disminuye su fuerza. (Paralelo: no encontrar la teoría filosófica correcta sobre la naturaleza de la justicia no debería impedirnos intentar promover la justicia. Véase Nolan, Cappelen, Gendler y HawthorneNolan 2016 : 169 para una discusión relevante.) Explorar las conexiones entre la contribución de Field y los desafíos epistemológicos en otras partes de la filosofía también puede aportar iluminación (ver, por ejemplo, EnocEnoc 2010 ).
Si aceptamos que el argumento de Field no refuta el platonismo, sino que simplemente hace avanzar el debate desafiando al platónico a explicar un asunto particularfenómeno, entonces esperaríamos que las respuestas a Field consistieran en la discusión de propuestas platónicas particulares. Este no es el caso: existe una voluminosa literatura contemporánea sobre el argumento de Field, pero en su mayor parte gira en torno a la cuestión de qué (si es que muestra algo) el argumento, y cómo se relaciona con las condiciones epistémicas modales de seguridad y sensibilidad (ver TopeyTopey 2021 para una discusión esclarecedora). Creo que esto se debe a la prominencia de la interpretación del argumento de la derrota por subcotización. Una forma más fructífera de avanzar es considerar el campo como lo propone el equipo explicativo (como si ofreciera un desafío relativamente sencillo) y discutir varias formas de intentar enfrentarlo.
Sugiero que el desafío de Field puede ampliarse en varias dimensiones. Según los platónicos, muchos no matemáticos también forman creencias matemáticas en su mayoría verdaderas, por lo que es razonable pedirles a los platónicos que expliquen cómo estas personas logran hacer eso. No veo ninguna razón particular para evitar aquí conceptos como justificación y conocimiento, siempre y cuando se entienda que el desafío no apela a ninguna teoría sobre justificación o conocimiento. Una forma satisfactoria de platonismo matemático explicaría cómo las personas logran formar creencias justificadas sobre objetos matemáticos abstractos y adquirir conocimientos matemáticos.
Gran parte del trabajo en filosofía de las matemáticas puede verse como una respuesta a estos desafíos, aunque no siempre se enmarca explícitamente como tal. Pero es notable que la literatura a menudo no afronta de frente los desafíos de Field.
La filosofía neofregeana de las matemáticas desarrollada por Hale y Wright es un ejemplo. Aquí el objetivo es mostrar una manera en la que, haciendo las estipulaciones apropiadas, podríamos llegar a adquirir conocimientos matemáticos (ver Wright, Hale y WrightWright 2001 : 279–80). No se explica claramente cómo convertir eso en una explicación de la fuente de nuestro conocimiento matemático real, o incluso de nuestra verdadera creencia matemática real.
Otro ejemplo es el trabajo basado en la idea quineana de que la ciencia es la fuente fundamental del conocimiento matemático. La filosofía quineana de las matemáticas tiende a centrarse en el argumento de la indispensabilidad de la existencia de objetos abstractos en lugar de completar los detalles de una epistemología para ellos.
Permítanme exponer esos puntos de una manera ligeramente diferente. Hay una virtud teórica que, sugiero, ha sido descuidada en el reciente debate sobre la epistemología de los objetos abstractos. Esa virtud es la fuerza. En igualdad de condiciones, una teoría es más digna de creencia cuanto más informativa sea: es decir, cuanto más descarta. Como dice Williamson: "la fuerza es una fuerza" ( Williamson y Armor-GarbWilliamson 2017 : 337; ver también HuberHuber 2008 ). Una vez que recordamos la virtud de la fuerza, vemos que la discusión actualmente está desequilibrada: la epistemología de los objetos abstractos tiende a centrarse en teorías relativamente poco especificadas. Dar mayor importancia a la virtud de la fuerza daría como resultado un menor énfasis en el desafío mismo de Field y un mayor énfasis en la construcción de la teoría.
¿Qué tipo de epistemología platónica podría tener éxito a la hora de afrontar el desafío de Field? Partamos del desafío y veamos hasta dónde llegamos. Queremos explicar la correlación entre las creencias matemáticas de los matemáticos y los hechos matemáticos tal como los concibe el platónico. Para ello, podríamos decir que las creencias y los hechos están correlacionados porque ambos dependen de alguna tercera cosa. Pero es más sencillo decir que las creencias dependen de los hechos o que los hechos dependen de las creencias. Dado que esto último amenaza con comprometer la objetividad de las matemáticas, el paso más natural es explorar lo primero y tratar de explicar cómo las creencias podrían depender de los hechos. Los objetos abstractos son acausales, por lo que la dependencia debe ser acausal. Entonces, partiendo del desafío de Field, la vía obvia a explorar es si los hechos matemáticos influyen de manera no causal en las creencias matemáticas.
Los metafísicos de los objetos abstractos tienen suerte: en los últimos años, la noción de influencia no causal se ha estudiado ampliamente, a menudo bajo el nombre de "fundamentación". (En conexión a tierra, Rosen, Hale y HoffmanRosen 2010 es un buen punto de partida. Es controvertido si la noción de conexión a tierra está vigente: verCuervo de Raven 2022 , Sección 'Escepticismo y antiescepticismo'.) El trabajo de Elijah Chudnoff sobre la intuición es un buen ejemplo de cómo apelar a la base puede hacer avanzar el debate. ChudnoffChudnoff (2013) utiliza la base para explicar cómo las experiencias intuitivas pueden hacernos conscientes de los objetos abstractos. Sostiene que, así como nuestras experiencias sensoriales pueden depender de objetos concretos de nuestro entorno, las experiencias intuitivas pueden depender de objetos abstractos. Estas ideas merecen mucha discusión. Y también deberíamos explorar en detalle otras formas de utilizar la conexión a tierra para responder a Field.
Es natural suponer que las explicaciones no causales funcionan ubicando el explanandum en una red de dependencia no causal, como lo hace la explicación de Chudnoff. Pero esa imagen ha sido cuestionada: tal vez haya explicaciones no causales que funcionen de otras maneras, por ejemplo, las "explicaciones por restricción" de Marc Lange (Idioma de Lange 2017 ). Comprender los diferentes tipos de explicaciones no causales sólo puede ayudar a los platónicos que intentan afrontar el desafío de Field: cuantos más tipos de explicaciones no causales podamos identificar, más tipos de explicaciones podríamos esperar ofrecer de nuestra precisión matemática. Cada tipo proporciona un posible tipo de respuesta para el platónico.
En resumen: el desafío de Field no refuta el platonismo, pero presenta a los platónicos trabajo por hacer. Queda por ver si podrán afrontar el desafío.
5 Reflexión final
En un estudio sobre la metafísica de las propiedades publicado en 1996, Alex Oliver encontró "preguntas urgentes sin respuesta" (1) sobre la metodología de la metafísica: falta de claridad sobre qué factores cuentan a favor o en contra de una teoría, y falta de claridad sobre qué factores cuentan a favor o en contra de una teoría.sobre cómo ponderarlos entre sí. Quizás las cosas estén un poco mejor ahora, pero al menos hemos visto cómo la metafísica de los objetos abstractos se ve frenada por problemas metodológicos. No estamos de acuerdo sobre cómo las teorías metafísicas deberían relacionarse con la lingüística ( Sección 3.4 ) o con las ciencias naturales ( Sección 3.5 ); no estamos de acuerdo sobre qué conceptos son aptos para ser utilizados en teorías metafísicas ( Secciones 3.5 y 4.2 ); No estamos de acuerdo sobre cómo evaluar la parsimonia de las teorías, ni sobre qué tipos de parsimonia conducen a la verdad ( Sección 4.1 ). ¿Es de extrañar, entonces, que no estemos de acuerdo sobre si existen los objetos abstractos? Sugiero que la persistencia del desacuerdo sobre esta cuestión se explica en gran medida por el persistente desacuerdo sobre cuáles son las reglas. (Ver Williamson y Armor-GarbWilliamson 2007 : 286–7 para ideas relacionadas sobre el desacuerdo filosófico persistente).
Mis comentarios no pretenden ser un consejo desesperado, sino una invitación a una reflexión más cuidadosa. El complejo panorama del debate sobre los objetos abstractos tiene muchos caminos ya transitados, pero hay mucho territorio que sigue sin explorarse o no explorado en absoluto. Sólo puedo esperar que este Elemento les haya mostrado algunas de las cosas fascinantes y valiosas que se pueden encontrar aquí y les haya indicado algunas direcciones prometedoras.