UNIDAD 4

ÁLGEBRA I

Historia de las matemáticas

¿Quién inventó las ecuaciones?

Cuando se estudian en la ESO, todos nos preguntamos: ¿quién inventó las ecuaciones? ¿Y para qué? Puede ser sorprendente, pero las ecuaciones no son nada nuevas. Antes que nuestros padres, abuelos... Y hasta tatarabuelos, hubo bastante gente que las estudió, ya sea por necesidad o, simplemente, por gusto.

  • Hacia 1700 a.C., es decir, hace aproximadamente 3700 años, en Mesopotamia y Babilonia ya se sabían resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Poco después también eran utilizadas en Egipto. La razón para ello tiene que ver con resolver problemas relacionados con la repartición de víveres, cosechas y materiales. El papel aún no existía y los babilonios escribían sobre tablillas de barro húmedo como la que aparece en la foto de abajo. En una de esas tablas aparece el siguiente problema:

"He multiplicado largo y ancho y he obtenido el área. He sumado al área el exceso del largo sobre el ancho y da 183. He sumado largo y ancho y se obtiene 27. Se pide largo, ancho y área”.

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De lenguaje común a algebraico

Conceptos básicos de monomios

Tablilla de barro con 17 problemas matemáticos

Operaciones básicas con monomios

Como se ha comentado en clase, las ecuaciones son esencialmente ACERTIJOS en los que intervienen cantidades de algún tipo. De todas formas, no existía un simbolismo para las ecuaciones tal y como lo tenemos hoy en día. A la incógnita, por ejemplo, no se le llamaba "x".

Fíjate en la foto de arriba. Imagínate que ahí hay 17 problemas matemáticos, pero sin lenguaje matemático... Habría que leerlos para juzgar, pero así, de entrada, asustan. Aunque el lenguaje algebraico que aprendemos sea un quebradero de cabeza, me parece que es mejor que el que había antiguamente.

  • Diofanto de Alejandría, en el siglo III d.C., es decir, hace 1700 años más o menos, introdujo un simbolismo elemental para las ecuaciones. Aún así, no creais que era igual que hoy... Si quereis comparar, así es como Diofanto expresaba la ecuación: 8x +30 =11x + 15:

jjhmº l isoi eisin jjiam º ie

expresión que significa: "8 incógnitas más 30 unidades son iguales que 11 incógnitas y 15 unidades" (En fin, si a alguien le resulta más fácil el lenguaje algebraico de Diofanto es libre de volver al pasado... Allá él o ella)

Diofanto de Alejandría

Partes de un polinomio

¿Sabrías decir a partir de él a qué edad falleció?

  • Entre los siglos VIII y IX, es decir, hace aproximadamente 1200 años apareció en la historia Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (también lo he leído como Al-Khwarizmi). Si pronuncias la última palabra de su nombre y prestas atención creerás que de él deriva la palabra "algoritmo". Un algoritmo era el método de cálculo numérico empleado en lugar de los ábacos. Pero a Al-Khwarizmi le debemos bastante más que eso.

También le debemos la palabra "álgebra". Según parece esta palabra proviene de adaptar al latín parte del título una de sus obras más importantes (porque no sabían muy bien como traducir el original): "Hisab al-jabr wa’l muqabala", donde se resuelven también problemas con ecuaciones de segundo grado. Pero lo más curioso es que el significado que terminó dándose a "Álgebra"es la de "obligar por la fuerza a que cada término de la ecuación esté donde le corresponde".

Hay que resaltar que Al - Khwarizmi no utilizaba cifras para indicar los números en su libro, sino que ¡escribía los números con todas sus letras!. También merece la pena destacar algo: Al-Khwarizmi no llamaba a la incógnita "x", sino shay, que significa "cosa" en árabe, por lo que a los que a los que resolvían ecuaciones se les llamaba cosistas (En fin... recordaremos en clase que estamos aprendiendo a ser "cosistas").

Curiosidad: "Álgebra" procede del árabe y significaba inicialmente: recomposición o restitución". Así, el Álgebra era para aquellos árabes el arte de recomponer los huesos rotos. Los barberos del siglo XVI, que además de afeitar sacaban muelas, hacían sangrías y arreglaban huesos, ponían como rótulo en sus establecimientos: "ALGEBRISTA Y SANGRADOR".

  • Sin embargo Al-Jwarizmi no utilizaba aún la misma notación o símbolos que utilizamos hoy en día. El símbolo "=" no fue introducido hasta 1557 por el matemático inglés Recorde.

  • Fue en 1637, es decir, hace casi 400 años, cuando Descartes inventó la notación algebraica moderna, llamando a las incógnitas de las ecuaciones x, y ó z y la notación exponencial como la conocemos hoy en día.

Sello ruso con Al-Jwarizmi

Suma y resta de polinomios

Multiplicación de polinomios

Dividir un polinomio por un monomio

René Descartes

Sacar factor común de un polinomio

Identidades notables

Concepto de ecución

Ecuaciones básicas de primer grado

Ecuaciones de primer grado con paréntesis

Ecuaciones de primer grado con denominadores

Rincón de curiosidades

Diofanto de Alejandría (Diophanti Alexandrini) (nacido alrededor del 200/214 – fallecido alrededor de 284/298) fue un antiguo matemático griego. Se considera a Diofanto el padre del álgebra, sin embargo se sabe muy poco sobre su vida y ha existido mucho debate con respecto a la época en la que vivió. Nacido en Alejandría, nada se conoce con seguridad sobre su vida salvo la edad a la que falleció, gracias a este epitafio redactado en forma de problema y conservado en la antología griega:

“Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.”

\frac {x} {6} + \frac {x} {12} + \frac {x} {7} + 5 + \frac {x} {2} + 4 = x

donde x es la edad que vivió Diofanto

\frac {14x + 7x + 12x + 42x} {84} + 9 = x
\frac {75x} {84} = x - 9

75x = 84x – 756

756 = 9x

x = 84

Según esto, Diofanto falleció a la edad de 84 años. Se ignora, sin embargo en qué siglo vivió.