Proporcionalidad
Historia de las Matemáticas
La regla de tres es una de las herramientas básicas de la aritmética elemental. En todas las aritméticas mercantiles europeas medievales y renacentistas hay un capítulo dedicado total o parcialmente a la regla de tres, que era conocida como la regla de oro. Muchos de los problemas que se abordaban en estos textos trataban de cambios de monedas y de unidades de medida. Un ejemplo de este tipo lo extraemos del Liber Abacci de Leonardo de Pisa.
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Video sobre el cálculo de un porcentaje
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Página muy interesante sobre el cálculo de porcentajes
Página sobre la regla de tres y la proporcionalidad
Si un sueldo imperial, que vale 12 dinares imperiales, se vende por 31 dinares pisanos ¿cuántos dinares pisanos se obtendrán por 11 dinares imperiales?
Otra página sobre regla de tres y proporcionalidad
http://www.aulamatematica.com/ESO3/06_Proporc/3ESO_index06.htm
El autor da la solución en forma de número mixto 5/12 28 colocando la parte fraccionaría delante de la parte entera, al contrario de lo que hacemos en la actualidad.
Esta regla se conoció en Occidente a través de los árabes. Varios autores árabes, entre ellos, al Jwarizmi en su Álgebra, dan ejemplos que resuelven mediante este procedimiento, pero es Al Biruni quien dedica una obra completa a este tema.
Al Biruni (973-1050) es uno de los científicos más notables de su época. Escribió un gran número de obras, se estima que más de 130, sobre muchos campos de conocimiento: matemáticas, astronomía, astrología, filosofía, cartografía y la India. Sus viajes a este país y su conocimiento del sánscrito le permitieron escribir acerca de su religión, su cultura, su geografía, su historia, su literatura y algunas cuestiones matemáticas.
Una de sus obras está dedicada a la regla de tres en la India. En esta obra señala que en la India se había generalizado este procedimiento tiempo atrás y que conocían la regla de tres simple directa, inversa y también la regla de tres compuesta.
No sabemos con seguridad desde que momento se manejó sistemáticamente la regla de tres en la India. Uno de los documentos antiguos más interesantes que contienen esta regla es el manuscrito Bakhshali. El nombre hace referencia a la ciudad, situada en la parte noroeste de la India, en cuyos alrededores se descubrió este texto en 1881. No se conoce el autor de la obra ni tampoco la fecha de redacción del original sobre la que han existido hipótesis muy diversas. En la actualidad, existe un cierto consenso en que podría ser una obra de principios de nuestra era.
El manuscrito, que en la actualidad se encuentra en Oxford, es un manual de reglas y ejemplos con sus soluciones. Contiene principalmente reglas y ejercicios de aritmética y álgebra aunque tiene también problemas de mediciones.
Al tratar la regla de tres aconseja que se escriban las tres cantidades que intervienen una detrás de la otra. La primera y la tercera son de la misma naturaleza y la segunda de naturaleza diferente, dando como regla que se debe multiplicar F por I y dividir por P. Si P (argumento o premana) produce F (fruto)¿qué producirá I (lo pedido)? Muchos de los problemas que incluye son elementales, del tipo: si ocho frutas cuestan 12 dinares ¿cuánto costarán 11 frutas?
Un problema contenido en este manuscrito es el siguiente:
Video sobre porcentajes
Video sobre lo que es un porcentaje
Dos pajes están al servicio del rey. Por sus servicios uno de ellos gana 13/6 dinares al día y el otro 3/2 dinares al día. El primero le debe al segundo 10 dinares. Calcula y dime cuándo tendrán las mismas cantidades.
Este problema no responde al modelo típico de la regla de tres. Sin embargo, el autor hace uso del esquema de la regla para calcular el dinero de cada paje, una vez que ha obtenido que deben pasar 30 días.
Video sobre el cálculo con regla de tres
Resultado para el primer paje F I / P = 65 dinares
Resultado para el segundo paje F I / P = 45 dinares
Sabemos que en la India habían sistematizado la regla de tres pero según algunos autores quizá fue China el primer lugar donde se resolvieron este tipo de problemas empleando la proporcionalidad. El segundo y el tercer capítulo de uno de los textos matemáticos chinos más antiguos, el Chiu Chang o Los Nueve Capítulos, contiene problemas del tipo:
Dos piculs y medio de arroz se compran por 3/7 de un taiel de plata. ¿Cuántos piculs de arroz se pueden comprar con 9 taiels de plata?
El piculs es una medida de peso de arroz, que equivalía a un saco de arroz que un hombre llevaba sobre sus hombros.
En el antiguo Egipto también se planteaban problemas de regla de tres. Una prueba de ello es el problema número 72 del papiro de Ahmes o papiro Rhind. El enunciado del problema es el siguiente:
Si tenemos que intercambiar 100 panes de pesu 10 por un determinado número de panes de pesu 45. ¿Cuál es este número determinado?
La solución egipcia es enrevesada:
1) Halla en cuánto excede 45 de 10. Excede en 35. Divide 35 entre 10 resultando ½ 3.
2) Se multiplica el número anterior por 100 dando como resultado 350.
3) Suma 100 a 350 y da como resultado 450.
Rincón de curiosidades
He encontrado un par de curiosidades relacionadas con los porcentajes y con la relación entre magnitudes:
PORCENTAJES
El uso de porcentajes es muy útil; sin embargo a veces puede ser confuso y hasta engañoso. Por ejemplo si la bolsa de valores baja en un mes el 50% y al mes siguiente sube el 60% podríamos pensar que hay una ganancia neta de 10% sin embargo no hay ganancia sino pérdida del 20%. (si el valor inicial es 100, al término del primer mes el valor sería 50 y un aumento del 60% equivale a 30 puntos, por lo que al término del segundo mes el valor es de 80, lo que significa una pérdida de 20% respecto al valor inicial de 100).Otro ejemplo: Si compro un producto en 10 € y lo vendo en 15, la utilidad es del 50% respecto al costo pero del 33% respecto al precio de venta.
REPARTIENDO EL TRABAJO
Una persona puede hacer un trabajo en 2 horas, mientras otra lo hace en 3. ¿en cuánto tiempo lo podrán hacer las dos a la vez?. Aunque suena trivial y no requiere mayores matemáticas, pocos lo saben resolver. Si se reparten el trabajo a la mitad, el primero terminará en una hora y el segundo en hora y media. Por tanto si el primero al terminar le ayuda al segundo, terminarán en un tiempo comprendido entre 1 y 1.5 horas. La respuesta es: 1 / ( 1 / 2 + 1 / 3 ) = 1 / ( 5 / 6 ) = 6 / 5 = 1.2