(Karl o Carl Friedrich Gauss; Brunswick, actual Alemania, 1777 - Gotinga, id., 1855) Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en el seno de una familia humilde, desde muy temprana edad Karl Friedrich Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo), hasta el punto de ser recomendado al duque de Brunswick por sus profesores de la escuela primaria.
El duque le proporcionó asistencia financiera en sus estudios secundarios y universitarios, que efectuó en la Universidad de Gotinga entre 1795 y 1798. Su tesis doctoral (1799) versó sobre el teorema fundamental del álgebra (que establece que toda ecuación algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas), que Gauss demostró.
En 1801 Gauss publicó una obra destinada a influir de forma decisiva en la conformación de la matemática del resto del siglo, y particularmente en el ámbito de la teoría de números, las Disquisiciones aritméticas, entre cuyos numerosos hallazgos cabe destacar: la primera prueba de la ley de la reciprocidad cuadrática; una solución algebraica al problema de cómo determinar si un polígono regular de n lados puede ser construido de manera geométrica (sin resolver desde los tiempos de Euclides); un tratamiento exhaustivo de la teoría de los números congruentes; y numerosos resultados con números y funciones de variable compleja (que volvería a tratar en 1831, describiendo el modo exacto de desarrollar una teoría completa sobre los mismos a partir de sus representaciones en el plano x, y) que marcaron el punto de partida de la moderna teoría de los números algebraicos.
Su fama como matemático creció considerablemente ese mismo año, cuando fue capaz de predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide Ceres, avistado por primera vez pocos meses antes, para lo cual empleó el método de los mínimos cuadrados, desarrollado por él mismo en 1794 y aún hoy día la base computacional de modernas herramientas de estimación astronómica.
En 1807 aceptó el puesto de profesor de astronomía en el Observatorio de Gotinga, cargo en el que permaneció toda su vida. Dos años más tarde, su primera esposa, con quien había contraído matrimonio en 1805, falleció al dar a luz a su tercer hijo; más tarde se casó en segundas nupcias y tuvo tres hijos más. En esos años Gauss maduró sus ideas sobre geometría no euclidiana, esto es, la construcción de una geometría lógicamente coherente que prescindiera del postulado de Euclides de las paralelas; aunque no publicó sus conclusiones, se adelantó en más de treinta años a los trabajos posteriores de Nikolai Lobachevski y Janos Bolyai.
Alrededor de 1820, ocupado en la correcta determinación matemática de la forma y el tamaño del globo terráqueo, Gauss desarrolló numerosas herramientas para el tratamiento de los datos observacionales, entre las cuales destaca la curva de distribución de errores que lleva su nombre, conocida también con el apelativo de distribución normal y que constituye uno de los pilares de la estadística.
Otros resultados asociados a su interés por la geodesia son la invención del heliotropo, y, en el campo de la matemática pura, sus ideas sobre el estudio de las características de las superficies curvas que, explicitadas en su obra Disquisitiones generales circa superficies curvas (1828), sentaron las bases de la moderna geometría diferencial. También mereció su atención el fenómeno del magnetismo, que culminó con la instalación del primer telégrafo eléctrico (1833). Íntimamente relacionados con sus investigaciones sobre dicha materia fueron los principios de la teoría matemática del potencial, que publicó en 1840.
Otras áreas de la física que Gauss estudió fueron la mecánica, la acústica, la capilaridad y, muy especialmente, la óptica, disciplina sobre la que publicó el tratado Investigaciones dióptricas (1841), en las cuales demostró que un sistema de lentes cualquiera es siempre reducible a una sola lente con las características adecuadas. Fue tal vez la última aportación fundamental de Karl Friedrich Gauss, un científico cuya profundidad de análisis, amplitud de intereses y rigor de tratamiento le merecieron en vida el apelativo de «príncipe de los matemáticos».
COMPROBAR SOLUCIÓN SISTEMA DE ECUACIONES 2X2
MÉTODO GRÁFICO RESOLVER SISTEMAS 2X2
CLASIFICAR SISTEMAS 2X2
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
MÉTODO DE IGUALACIÓN
MÉTODO DE REDUCCIÓN
RESOLVER PROBLEMAS CON SISTEMAS 2X2
CONCEPTO DE INECUACIÓN
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON 1 INCÓGNITA
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
INECUACIONES 1º GRADO CON DOS INCÓGNITAS
SISTEMAS DE INECUACIONES CON 1 INCÓGNITA
SISTEMAS INECUACIONES CON 1 INCÓGNITA DE 2º GRADO
SISTEMAS INECUACIONES 2 INCÓGNITAS
SISTEMAS 3X3 ESCALONADOS
MÉTODO DE GAUSS SISTEMAS 3X3
MÉTODO GRÁFICO RESOLUCIÓN SISTEMAS 2X2
MÉTODO SUSTITUCIÓN RESOLUCIÓN SISTEMAS 2X2
MÉTODO IGUALACIÓN RESOLUCIÓN SISTEMAS 2X2
MÉTODO REDUCCIÓN RESOLUCIÓN SISTEMAS 2X2
RESOLUCIÓN PROBLEMAS CON SISTEMAS 2X2
INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCOGNITA PRIMER GRADO
SISTEMAS INECUACIONES CON UNA INCOGNITA SEGUNDO GRADO
SISTEMAS INECUACIONES LINEALES DOS INCOGNITAS
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
Ya usado por los chinos tres siglos antes de Cristo en casos particulares, el inventor del método general fue Isaac Newton, que no lo quiso publicar, Euler no lo recomendaba, Legendre lo consideraba un método «ordinario» y Gauss lo calificaba como «común.» Hoy en día lo llamamos Método de Eliminación de Gauss. ¿Por qué se asoció el nombre de Gauss a este método? Cosas de los primeros informáticos que la usaron en los primeros ordenadores digitales. Nos cuenta muy detalladamente en 41 páginas la historia de este método Joseph F. Grcar, «How Ordinary Elimination Became Gaussian Elimination,» ArXiv, Submitted on 14 Jul 2009.
Siglos antes de Cristo ya se resolvían ciertos problemas que hoy formularíamos como un sistema lineal de 2 por 2, o 3 por 3, aunque se utilizaban procedimientos propios para cada problema. Según Grcar, el primer uso demostrado del método de eliminación de Gauss aparece el s. III a.C. en China, desde donde se transfirió a Babilonia y Grecia. Por ejemplo, se usa en la solución del problema 19 en el libro I de la Aritmética de Diofanto. Desde entonces ha aparecido en varios fuentes, como en el libro Aryabhata que escribió el hindú Aryabhatiya en el s. V d.C.
Isaac Newton fue quien presentó por primera vez el método en su formulación moderna, aunque no lo quiso publicar. Entre 1650 y 1750 hay 35 fuentes sólo en Inglaterra en las que aparece descrito el método. La mayoría de los libros de álgebra del s. XVIII apuntaban que el método fue inventado por Newton (el método de Newton para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales simultáneas). Por ejemplo, Hammond en su «The elements of algebra,» en 1752, nos presenta «El método para resolver problemas que contienen cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas» de Newton (The Method of resolving Questions, which contain four Equations, and four unknown Quantities).
¿Por qué el método de eliminación de incógnitas se popularizó con Gauss? Para Grcar, todo nuevo método necesita un problema que resolver. Gauss lo utilizó en el marco del método de mínimos cuadrados, de gran utilidad en la resolución de múltiples problemas prácticos, como por ejemplo la determinación de la órbitas astronómicas, Gauss lo aplicó al asteroide Ceres, o en geodesia y cartografía. La «zorra» de Gauss (que como la zorra borra sus huellas con el rabo) utilizó el método de eliminación para la resolución de muchísimos problemas, sin indicar los detalles. ¿Por qué? Para qué indicar los detalles si era un método «común» (ampliamente conocido, según Gauss, claro).
Desde Gauss hasta la llegada de los ordenadores, el método se publicó una docena de veces, según Grcar. Destaca Myrick Hascall Doolittle, calculista manual que llegó a resolver sistemas de 41 ecuaciones con 41 incógnitas, a mano, con el método de eliminación entre 1873 y 1911. Los cálculos a mano son largos, por ejemplo, Alan Turing en 1946 necesitó dos semanas para resolver un sistema de 18 ecuaciones y 18 incógnitas. Doolittle ya indica en 1878 que es necesario mecanizar el procedimiento de eliminación y a partir de 1890 empezó a usar una máquina para calcular sumas. El primer algoritmo pensado para una máquina lo desarrolló André-Louis Cholesky, geodésico militar, durante la I Guerra Mundial, para resolver problemas de mínimos cuadrados (cuyas matrices de coeficientes son simétricas y definidas positivas). Prescott Crout, profesor de matemáticas en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) aplicó el método de eliminación a problemas de ingeniería eléctrica en 1941. Su algoritmo fue el último publicado pensado sólo para hacer cálculos a mano.
El uso de matrices en la resolución de sistemas lineales es muy moderno. Las matrices se inventaron en matemáticas (álgebra abstracta, entonces) por Eisenstein (1852), Cayley (1858), Laguerre (1867), Frobenius (1878) y Sylvester (1881), con objeto de entender la teoría de determinantes, formas cuadráticas, y sus aplicaciones en la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Fuera de la matemática abstracta, las matrices no fueron usadas hasta que Heisenberg las utilizó para su mecánica cuántica matricial en 1925. Prácticamente todas las presentaciones de métodos de resolución de sistemas lineales obviaban el uso de matrices. Salvo contadísimas excepciones, como Otto Toeplitz, que usó matrices triangulares de dimensión infinita, o Tadeusz Banachiewicz, que calculó la órbita de Plutón antes de su descubrimiento.
Quizás la primera presentación de la eliminación de Gauss utilizando matrices es del genial John Von Neumann y su colaborador Herman Goldstine en 1947. Más aún, su presentación incluía la estimación de los errores en el cálculo de la inversa de matrices, el concepto de número de condición (ratio entre los valores singulares de mayor y menos módulo). Este trabajo marca el nacimiento del álgebra lineal numérica como actualmente.
El método de eliminación recibió el apelativo de «método de eliminación de Gauss» a partir de la II Guerra Mundial, quizás en referencia a unas citas de Chauvenet (1868) “elimination of unknown quantities from the normal equations . . . according to Gauss,” y Liagre (1879) «élimination des inconnues entre les équations du minimum (équations normales)” mediante “les coefficients auxiliaires de Gauss.” Von Neumann (1947) aparentemente es el último gran matemático que habló del método de eliminación (como harían Lacroix o el propio Gauss) sin hacer una referencia al método como «eliminación de Gauss.»