El nacimiento de la Geometría Analítica
Los dominios de la Aritmética y la Geometría nunca han sido totalmente
independientes. La idea de longitud, área y volumen supone la aplicación de números a
objetos geométricos. Este concepto general puede ser considerado como la fuente de la
cuál surge la geometría analítica.
La geometría analítica se define como un método que unifica el Álgebra y la Geometría.
La base de este método cuando se aplica al plano comienza con el establecimiento de
una correspondencia biunívoca entre parejas ordenadas de números reales y puntos en el
plano, correspondencia que permite establecer también una correspondencia entre
fórmulas algebraicas y figuras geométricas, y viceversa.
La geometría analítica como tal surge en el siglo XVII. Sin embargo, se podrían
considerar algunos antecedentes. Por ejemplo, Apolonio de Pérgamo (griego, 262-190
a. C.) tenía una caracterización de las secciones cónicas por medio de lo que ahora
llamamos coordenadas, a pesar de que no había valores numéricos asignados. Por otro
lado, la latitud y la longitud en la geografía de Ptolomeo (greco-egipcio, 100-170) eran
coordenadas numéricas. También Pappus de Alejandría (griego, siglos III y IV d.C.) en
su colección matemática tenía un tesoro de análisis en el que solo tenemos que
modernizar la notación para obtener una aplicación del álgebra a la geometría. Incluso
una representación gráfica se vislumbra en el siglo XIV en el trabajo de Nicolás Oresme
(francés, 1323 – 1382).
Pero esta forma de vincular el Álgebra con la Geometría tuvo que esperar al desarrollo
al que llegó el Álgebra en el siglo XVI y al pensamiento racionalista del siglo XVII.
Estos dos factores permitieron una aplicación conveniente del álgebra al análisis
geométrico de los antiguos, condición necesaria para el surgimiento de la Geometría
Analítica.
El siglo XVII resulta maravillosos por su fecundidad para las ciencias y las artes:
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pág. 1Galileo, Harvey, Rubens, Newton, Rembrant, entre otros. En Europa de este periodo
Francia surgió como uno de los estados más poderosos con una monarquía gobernada
por notables estadistas entre ellos el reino de Luis XIV, notable por fomentar un
ambiente propicio para el desarrollo de las ciencias y las artes que marcó una nueva
época para el mundo occidental. La característica del pensamiento científico y filosófico
de este tiempo es la de indagar, profundizar en todos los conocimientos y creencias
establecidos anteriormente. Un ejemplo del producto de esta forma de pensar es la
creación de la Geometría Analítica. Su descubrimiento fue hecho en forma simultánea e
independiente por dos franceses: Pierre de Fermat y René Descartes.
René Descartes (1596 – 1650)
Pierre de Fermat (1601 – 1665)
Fermat aplicó en una nueva dirección el estudio de los lugares geométricos. En su
trabajo publicado en 1629 dedica tan solo ocho hojas a las rectas, circunferencias y
secciones cónicas. Estableció en un lenguaje preciso el principio fundamental de la
geometría analítica: si en una ecuación se tienen dos cantidades desconocidas tenemos
un lugar geométrico que puede ser una recta o una curva. Demostró además que las
ecuaciones de primer grado expresadas ax by c 0 representan rectas, que las
ecuaciones de segundo grado de la forma x 2 y 2 ax by c 0 representan
circunferencias, y que otras ecuaciones de segundo grado pueden representar parábolas,
elipses, o hipérbolas (hoy en día se conoce que existen algunas excepciones).
En cuanto a Descartes su único trabajo sobre este tema aparece como una aplicación en
su tratado filosófico conocido como El Discurso del Método, publicado en 1637. El
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pág. 2Discurso de Método marcó el comienzo de una nueva aproximación de las ciencias pues
establece los fundamentos de una metodología científica. El Discurso expone un
método general de pensamiento ideal para facilitar las invenciones y encontrar la verdad
de las ciencias. El anexo de su geometría se publicó como una aplicación de su método
general. Dos siglos después André-Marie Ampere denominó a este método de la
geometría como Geometría Analítica.
El trabajo de Descartes es más general en alcance que el de Fermat. El mérito de
Descartes consiste sobre todo en su aplicación conveniente de la bien desarrollada
álgebra del siglo XVI al análisis geométrico de los antiguos matemáticos. Finalmente
fue Leonhard Paul Euler quien, en 1748, sistematizó la Geometría Analítica de una
manera formal.
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA
TODO EL APARTADO A
EJEMPLOS FUNCIONES LINEALES APLICADAS VIDA REAL
PENDIENTE FUNCIÓN LINEAL CON DOS PUNTOS
ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA
ECUACIÓN DE LA RECTA CON 2 PUNTOS
ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE DE LA RECTA
ECUACIÓN GENERAL DE UNA RECTA: TODO LO ANTERIOR TAMBIÉN INCLUIDO
POSICIÓN RELATIVA DE 2 RECTAS EN EL PLANO
ECUACIÓN DE UNA RECTA PARALELA A OTRA
GRÁFICA FUNCIÓN CUADRÁTICA
GRÁFICA FUNCIÓN CUADRÁTICA II
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN A TROZOS
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA I
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA II
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA III
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA IV
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA V
WEB SOBRE TODO EL APARTADO A I
WEB SOBRE TODO EL APARTADO A II
APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES LINEALES A PROBLEMAS DE LA VIDA REAL
ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA
ECUACIÓN EXPLÍCITA Y PUNTO PENDIENTE DE LA RECTA
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL PLANO
RECTA PARALELA A OTRA QUE PASA POR UN PUNTO
HACER GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
La tradición reza que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.
Sin embargo, el primero en usar el término parábola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.
Si un cono es cortado por un plano a través de su eje, y también es cortado por otro plano que corte la base del cono en una línea recta perpendicular a la base del triángulo axial, y si adicionalmente el diámetro de la sección es paralelo a un lado del triángulo axial, entonces cualquier línea recta que se dibuje desde la sección de un cono a su diámetro paralelo a la sección común del plano cortante y una de las bases del cono, será igual en cuadrado al rectángulo contenido por la línea recta cortada por ella en el diámetro que inicia del vértice de la sección y por otra línea recta que está en razón a la línea recta entre el ángulo del cono y el vértice de la sección que el cuadrado en la base del triángulo axial tiene al rectángulo contenido por los dos lados restantes del triángulo. Y tal sección será llamada una parábola
Apolonio de Perge
Es Apolonio quien menciona que un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en día en las antenas satelitales. La parábola también fue estudiada por Arquímedes, nuevamente en la búsqueda de una solución para un problema famoso: la cuadratura del círculo, dando como resultado el libro Sobre la cuadratura de la parábola.