El nacimiento de la Geometría Analítica
Los dominios de la Aritmética y la Geometría nunca han sido totalmente
independientes. La idea de longitud, área y volumen supone la aplicación de números a
objetos geométricos. Este concepto general puede ser considerado como la fuente de la
cuál surge la geometría analítica.
La geometría analítica se define como un método que unifica el Álgebra y la Geometría.
La base de este método cuando se aplica al plano comienza con el establecimiento de
una correspondencia biunívoca entre parejas ordenadas de números reales y puntos en el
plano, correspondencia que permite establecer también una correspondencia entre
fórmulas algebraicas y figuras geométricas, y viceversa.
La geometría analítica como tal surge en el siglo XVII. Sin embargo, se podrían
considerar algunos antecedentes. Por ejemplo, Apolonio de Pérgamo (griego, 262-190
a. C.) tenía una caracterización de las secciones cónicas por medio de lo que ahora
llamamos coordenadas, a pesar de que no había valores numéricos asignados. Por otro
lado, la latitud y la longitud en la geografía de Ptolomeo (greco-egipcio, 100-170) eran
coordenadas numéricas. También Pappus de Alejandría (griego, siglos III y IV d.C.) en
su colección matemática tenía un tesoro de análisis en el que solo tenemos que
modernizar la notación para obtener una aplicación del álgebra a la geometría. Incluso
una representación gráfica se vislumbra en el siglo XIV en el trabajo de Nicolás Oresme
(francés, 1323 – 1382).
Pero esta forma de vincular el Álgebra con la Geometría tuvo que esperar al desarrollo
al que llegó el Álgebra en el siglo XVI y al pensamiento racionalista del siglo XVII.
Estos dos factores permitieron una aplicación conveniente del álgebra al análisis
geométrico de los antiguos, condición necesaria para el surgimiento de la Geometría
Analítica.
El siglo XVII resulta maravillosos por su fecundidad para las ciencias y las artes: Galileo, Harvey, Rubens, Newton, Rembrant, entre otros. En Europa de este periodo
Francia surgió como uno de los estados más poderosos con una monarquía gobernada
por notables estadistas entre ellos el reino de Luis XIV, notable por fomentar un
ambiente propicio para el desarrollo de las ciencias y las artes que marcó una nueva
época para el mundo occidental. La característica del pensamiento científico y filosófico
de este tiempo es la de indagar, profundizar en todos los conocimientos y creencias
establecidos anteriormente. Un ejemplo del producto de esta forma de pensar es la
creación de la Geometría Analítica. Su descubrimiento fue hecho en forma simultánea e
independiente por dos franceses: Pierre de Fermat y René Descartes.
René Descartes (1596 – 1650)
Pierre de Fermat (1601 – 1665)
Fermat aplicó en una nueva dirección el estudio de los lugares geométricos. En su
trabajo publicado en 1629 dedica tan solo ocho hojas a las rectas, circunferencias y
secciones cónicas. Estableció en un lenguaje preciso el principio fundamental de la
geometría analítica: si en una ecuación se tienen dos cantidades desconocidas tenemos
un lugar geométrico que puede ser una recta o una curva. Demostró además que las
ecuaciones de primer grado expresadas ax by c 0 representan rectas, que las
ecuaciones de segundo grado de la forma x 2 y 2 ax by c 0 representan
circunferencias, y que otras ecuaciones de segundo grado pueden representar parábolas,
elipses, o hipérbolas (hoy en día se conoce que existen algunas excepciones).
En cuanto a Descartes su único trabajo sobre este tema aparece como una aplicación en
su tratado filosófico conocido como El Discurso del Método, publicado en 1637. El Discurso de Método marcó el comienzo de una nueva aproximación de las ciencias pues
establece los fundamentos de una metodología científica. El Discurso expone un
método general de pensamiento ideal para facilitar las invenciones y encontrar la verdad
de las ciencias. El anexo de su geometría se publicó como una aplicación de su método
general. Dos siglos después André-Marie Ampere denominó a este método de la
geometría como Geometría Analítica.
El trabajo de Descartes es más general en alcance que el de Fermat. El mérito de
Descartes consiste sobre todo en su aplicación conveniente de la bien desarrollada
álgebra del siglo XVI al análisis geométrico de los antiguos matemáticos. Finalmente
fue Leonhard Paul Euler quien, en 1748, sistematizó la Geometría Analítica de una
manera formal.
MÓDULO DE UN VECTOR
PUNTO MEDIO ENTRE OTROS 2
VECTOR A PARTIR DE 2 PUNTOS
OPERACIONES BÁSICAS CON VECTORES
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES EN EL PLANO
PUNTOS ALINEADOS EN EL PLANO
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
ECUACIONES PAREMÉTRICAS DE LA RECTA
ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA
ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTA
POSICIÓN RELATIVA DE 2 RECTAS EN EL PLANO
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD DE RECTAS EN EL PLANO
PRODUCTO ESCALAR Y ÁNGULO DE DOS VECTORES
SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO
VECTOR A PARTIR DE DOS PUNTOS, MÓDULO DEL MISMO Y PUNTOS ALINEADOS EN EL PLANO
OPERACIONES BÁSICAS DE VECTORES EN EL PLANO
VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES O INDEPENDIENTES
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES EN EL PLANO
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA EN EL PLANO
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA EN EL PLANO
ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA EN EL PLANO
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA EN EL PLANO
ECUACIÓN EXPLÍCITA Y PUNTO PENDIENTE DE LA RECTA EN EL PLANO
POSICIÓN RELATIVA DE 2 RECTAS EN EL PLANO
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD DE RECTAS EN EL PLANO
Absolutamente todo lo que nos rodea guarda alguna relación con las matemáticas: edificios, nuevas tecnologías… Se definen como el conjunto de lenguajes formales que se pueden utilizar a modo de herramienta para plantear diferentes problemas en contextos concretos. A lo largo de la historia muchos matemáticos han hecho grandes aportaciones a esta rama, gracias a las cuales han sido posibles una gran cantidad de avances tecnológicos que conocemos a día de hoy. Estos son los matemáticos más famosos de la historia.
Pitágoras
Pitágoras fue el primer matemático de la historia, bien conocido por el «teorema de Pitágoras» que dice: «La suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa.» Creó la escuela de Pitágoras, y muchos de sus discípulos le atribuían a él todos los descubrimientos, de forma que es complicado saber a ciencia cierta qué resultados son obras del maestro y cuáles de los alumnos.
René Descartes
Nacido en Francia en marzo del año 1596, fue un reconocido físico, filósofo y matemático. Se le considera el padre de la filosofía moderna y de la geometría analítica. Ha pasado a la historia en gran parte debido a su principio racionalista, que se popularizó gracias a la frase «pienso, luego existo».
Carl Friedrich Gaus
Se le considera el «Príncipe de las matemáticas» por su conocida «Teoría del número». Nacido en el año 1777, Carl Friedrich Gauss se hizo conocido por su aportación del teorema fundamental del álgebra. Fue él quien estableció que toda ecuación algebraica de coeficientes tiene soluciones complejas. Hay quienes le consideran el matemático más relevante de la historia.
Euclides
Euclides fue un geómetra y matemático griego al que se le conoce como «El padre de la geometría». Nacido en el año 35 a.C, publicó el libro «Elementos», con el que sentó las bases de la geometría clásica. Hoy en día, más de 2.000 años después, continúa siendo una lectura obligada para los matemáticos. Es el segundo libro más traducido de la historia, sólo por detrás de la Biblia.
Leonardo Pisano Bigollo
Y, por último, Leonardo Pisano Bigollo. Más conocido como Fibonacci, se le considera el matemático con más talento de la Edad Media en Occidente. Introdujo el sistema de números árabe-hindú en Occidente y en la obra «Libro del Cálculo» incluyó una secuencia de números, los «Números de Fibonacci».