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GEOMETRÍA ANALÍTICA
Historia de las matemáticas
René Descartes
Nació en La Haye (Turaine; Francia) el 31 de Marzo de 1.596 y murió en Estocolmo (Suecia) el 11 de Febrero de 1.650 a causa de una afección pulmonar. Su familia pertenecía a la rica burguesía y su madre murió cuando él tenía un año de edad. Fue educado en el colegio de La Flèche, regentado por los jesuitas y considerado uno de los más famosos de Europa; allí permaneció entre 1.604 y 1.615, estudiando a los clásicos. Como curiosidad digamos que, debido a su frágil salud, en el colegio tenía permiso para permanecer en la cama hasta las 11 h. de la mañana y conservó esta costumbre el resto de su vida.
Descartes tuvo una vida muy agitada y repleta de viajes. En 1.617 se alistó como voluntario en el ejercito de Mauricio de Nassau; en 1.619 en el del elector de Baviera y en 1.621, en el del conde de Bucquoy. Abandonó las armas para darse de lleno a la meditación filosófica. Viajó por Hungría, Alemania, Polonia, Países Bajos, Suiza e Italia, y de vez en cuando regresó a París, o al lado de su familia en Rennes. En 1.629 marchó a los Países Bajos, donde esperaba encontrar libertad y silencio; allí vivió unos veinte años. Mientras residía en Holanda conoció a Isaac Beeckmann, doctor holandés que apreció mucho la cultura y las notables dotes naturales del joven Descartes y, en consecuencia, le animó a reanudar los estudios, con lo cual encontró su verdadera vocación. Esta estancia fue interrumpida por un viaje a Dinamarca y tres viajes a Francia. La reina Cristina de Suecia le llamó para que fuera su profesor de filosofía. Allí en Estocolmo no pudo soportar el rigor del invierno sueco y falleció inesperadamente, víctima de una afección pulmonar, cuando sólo contaba cincuenta y cuatro años de edad.
La obra más importante de René Descartes fue El Discurso del Método (Discours de la méthod pour bien conduire la raison et chercher la vérité dans las sciences), que publicó en 1637. Dentro de esta obra, lo más destacado son tres apéndices :
La Dioptrique, un tratado sobre óptica que recopila las ideas existentes entonces sobre el tema y recoge algunas aportaciones propias originales.
Les Météores, un tratado sobre meteorología.
La Géométrie, un tratado sobre geometría, que es, sin lugar a dudas, su mayor aportación a la ciencia y en concreto a las matemáticas. En este trabajo consigue establecer una sólida relación entre la geometría (prácticamente experimental entonces) y el álgebra, que caminaban por separado. Esto ha marcado el desarrollo de las Matemáticas hasta hoy, dando lugar al nacimiento de la geometría analítica (prácticamente en la línea en la que la estudiamos hoy en secundaria). Un ejemplo de la trascendencia de sus trabajos es la introducción de dos diagramas "Cartesianos" con sus coordenadas también llamadas "Cartesianas" que reciben su nombre del propio Descartes.
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Punto medio y distancia entre dos puntos
Simétrico de un punto respecto a otro
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Rectas paralelas y perpendiculares
POSICIÓN RELATIVA DE RECTAS EN EL PLANO
ECUACION DE UNA CIRCUNFERENCIA
Rincón de curiosidades
Una de las primeras cosas que nos cuentan en el colegio cuando empezamos a estudiar geometría (geometría plana en realidad, pues esta es sólo una de muchas) es que la distancia más corta entre dos puntos en un plano la marca siempre una línea recta.
Años después, esto es algo que seguimos recordando, aunque a esas alturas ya hemos olvidado aquello de «en un plano», que es una parte importante del asunto, ya que por ejemplo sobre la superficie de una esfera, donde se aplica la geometría esférica, esto no se cumple.
De hecho, sobre una esfera tampoco se cumple aquello de que los ángulos interiores de un triángulo suman 180 grados, sino que, al contrario, esa suma siempre excede de ese valor. Otra cosa que aprendemos, o mejor, a la que nos acostumbramos en el colegio, es a ver mapamundis en los que la superficie de la Tierra se representa en un plano, con las distorsiones que esto conlleva.
Si alguna vez habéis intentado aplastar la piel de una manzana o de una naranja sobre una mesa habréis visto como esta tiende a rajarse por ciertos puntos, y esto es un poco lo que pasa al intentar dibujar una superficie esférica -aunque la Tierra en realidad no es redonda– sobre el papel, por lo que es inevitable aceptar algún tipo de compromiso.
Por ejemplo, en la proyección de Mercator, muy habitual, y que de hecho es la que usa Google Maps, Groenlandia parece tener el tamaño de África, cuando en realidad la segunda es como 14 veces mayor que la primera, y Alaska y Brasil parecen tener un tamaño similar, cuando Brasil es unas 5 veces mayor que Alaska.
Estas dos cosas combinadas hacen que si alguna vez se nos da por pensar en las rutas que recorren los aviones, cometamos el error de pensar automáticamente en una línea recta que une los aeropuertos de origen y destino y de pintarla tal cual sobre el mapa, lo que según sea el par de aeropuertos escogidos se puede alejar bastante de la realidad, en especial cuanto más largo sea el vuelo y cuanta más diferencia de latitud haya entre los dos.
Si hablamos, por ejemplo, de un Madrid – Nueva York, la distancia más corta entre ambos no es la línea negra que se ve en esta imagen sino la roja:
Esto es debido a que sobre una superficie esférica la línea más corta entre dos puntos es el arco de círculo máximo que los une, y que representado en un mapa plano en este caso se corresponde con la línea roja.
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