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SUCESIONES
Historia de las matemáticas
ORIGEN DE LAS PROGRESIONES
Las progresiones constituyen el ejemplo más sencillo del concepto de sucesión. Desde los albores de la historia de las matemáticas se han estudiado sus propiedades, y éstas han sido aplicadas, sobre todo, a la aritmética comercial.
El estudio de las progresiones aritméticas es paralelo al de las geométricas por cuanto las propiedades de estas últimas emanan de las primeras sin más que convertir las sumas en productos, diferencias en cocientes, y el producto por un número natural en una potencia de exponente natural.
El origen de las progresiones, al igual que el de tantas otras ramas de las matemáticas, es incierto. No obstante, se conservan algunos documentos que atestiguan la presencia de progresiones varios siglos antes de nuestra era, por lo que no se debe atribuir su paternidad a ningún matemático concreto.
Es conocido el problema de calcular en cuánto tiempo se doblaría una cantidad de dinero a un determinado interés compuesto, propuesto por los babilonios (2000 a.C. - 600 a.C.), lo cual hace pensar que conocían de alguna manera la fórmula del interés compuesto y, por tanto, las progresiones geométricas.
En el libro IX de Los Elementos de Euclides aparece escrita una fórmula, semejante a la actual, de la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica. Bhaskara, matemático hindú del siglo XII, plantea en su más conocida obra, el Lilavati , diversos problemas sobre progresiones aritméticas y geométricas.
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Escribir 5 primeros términos de una sucesión
Sucesiones recurrentes
Progresiones aritméticas I
Progresiones aritméticas II
Progresiones geométricas I
Progresiones geométricas II
Rincón de curiosidades
Las Torres de Hanói
Tal vez hayas visto alguna vez este juego. Se trata de una estructura de 3 varillas donde se insertan varios discos de diferentes tamaños. Inicialmente los discos se sitúan en la varilla de la izquierda colocados de mayor a menor.
El juego consiste en pasar todos los discos a la varilla de la derecha, teniendo en cuenta que en cada movimiento sólo puedes pasar un disco a un lugar vacío o situarlo encima de otro disco de mayor tamaño.
Cuenta una leyenda que Dios colocó 64 discos en la varilla de la izquierda y dijo ” Cuando la humanidad concluya este juego se acabará el mundo”.
El número de movimientos de este juego está en función del número de discos (n). Y se trata de una sucesión cuyo término general es
Los primeros términos de esta sucesión son: 1, 3, 7, 15, 31, 63, …
¿Cuanto tiempo se tardaría en completar el juego utilizando 64 discos? Nos harían falta 2^(64-1) movimientos. Haciendo la suposición de 1 segundo por movimiento, tardaríamos 585 mil millones de años (más de cuarenta veces la edad estimada del universo)
Doblando papel. Una progresión asombrosa
Posiblemente te hayas preguntado alguna vez cuantas veces puedes doblar una hoja de papel. Y hayas jugado a ver quien es capaz de doblar más veces un folio.
Pero, imagínate ahora que pudieras doblar las veces que quisieras una hoja de papel de 0,14 mm. de grosor. Cada vez que haces un pliegue por la mitad se duplica su grosor, ¿verdad?. El grosor del papel tras un doblez es 0,28 mm. y con cada nuevo doblez se duplica. Es decir, se trata de una progresión geométrica en la que a1=0,28 y la razón r=2. Por tanto el término general de esta sucesión es:
siendo n el número de dobleces y an el grosor del papel en milímetros.
¿Puedes coger la calculadora y comprobar esto?
Con 26 dobleces ya superas la altura del Everest (8.848 metros)
Con 50 dobleces superarás la distancia de la Tierra al Sol (150 millones de kilómetros!)
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