La geometría surgió del estudio de los primeros matemáticos de la historia sobre problemas como las medidas de un campo o de un objeto. En el antiguo Egipto surgió una geometría observacional o empírica que provenía de la observación de los objetos. Esta geometría primigenia más adelante fue reformulada y elaborada por los griegos y es la geometría que hoy conocemos.
En siglo IV a.C. Pitágoras demostró que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría primitiva, se pueden deducir estableciendo un número de axiomas o postulados. Pitágoras elaboró la teoría del famoso teorema de Pitágoras que afirma que el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Los griegos llamaron al estudio que involucra a estos postulados, geometría demostrativa que estudiaba y analizaba polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales. Esta geometría fue rigurosamente detallada por el matemático griego Euclides, en su libro “Los elementos”. El texto de Euclides ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.
A principios del siglo XVII en Europa, René Descartes y Pierre Fermat, descubrieron la geometría analítica que relaciona la matemática y el álgebra por medio de correspondencias entre puntos dentro de un plano y números.
Además, Descartes y Fermat observaron, que las ecuaciones algebraicas corresponden con figuras geométricas. Eso significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse como líneas o figuras geométricas.
Los griegos en su afán racionalista llevaron la geometría a la construcción, planteando que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás.
Se pueden mencionar tres problemas lógicos de construcción que datan de la época griega y que se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo) la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882.
Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas.
El científico Arquímedes, también hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.
La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado “postulado paralelo” de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.
Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional.
ÁREAS FIGURAS PLANAS
EJERCICIOS ÁREAS Y PERÍMETROS FIGURAS PLANAS
LONGITUDES Y ÁREAS FIGURAS CIRCULARES
PERÍMETROS Y ÁREAS FIGURAS CIRCULARES
POLIEDROS: PARTES Y TIPOS
EJEMPLO APLICACIÓN FÓRMUA EULER
PRISMAS
PIRÁMIDES
CUERPOS DE REVOLUCIÓN
ÁREA Y VOLUMEN DE UN PRISMA
ÁREA Y VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE
ÁREA Y VOLUMEN DE UN CILINDRO
ÁREA Y VOLUMEN DE UN CONO
ÁREA Y VOLUMEN DE UNA ESFERA
ÁREA Y VOLUMEN DE CUERPOS COMPUESTOS
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
PERÍMETROS Y ÁREAS FIGURAS CIRCULARES
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ÁREA Y VOLUMEN DE CUERPOS COMPUESTOS
Echa un vistazo al lugar en el que te encuentres ahora: tu habitación, el salón de tu casa, la oficina o lo que alcances a ver desde el parque o la parada de autobús en la que estés ahora mismo. Estoy casi seguro de que estés donde estés podrás encontrar algo en forma de caja . Sí, una caja “de las de toda la vida”, como las típicas cajas de zapatos. Da igual si se acerca más a un cubo, también nos vale.
Ya tenemos la caja, ¿verdad? Pues ahora fíjate en ella y cuenta sus caras (los polígonos que la limitan), aristas (líneas que unen dos caras) y vértices (puntos donde se cortan varias aristas). Si la caja es de las habituales, tendrá 6 caras, 12 aristas y 8 vértices, ¿a que sí? Bien, pues ahora haz esta operación: caras – aristas + vértices. ¿Resultado? Fácil: 2.
Busca ahora una figura tridimensional de este estilo pero más compleja, con más elementos que una típica caja, pero que no tenga “entrantes” (pronto concretaremos más este punto). Si no encuentras ninguna cerca, puedes imaginar que a tu caja le quitas un pico cortando con una sierra. Visualiza mentalmente la figura que queda y cuenta de nuevo caras, aristas y vértices.
En este caso tendrías 7 caras (porque al cortar como hemos dicho has creado una cara más), 15 aristas (las anteriores y las tres del triángulo que has creado al cortar) y 10 vértices (creas tres nuevos pero eliminas uno). Ahora haz de nuevo la operación anterior: caras – aristas + vértices. ¿Cuál es el resultado? Exacto: de nuevo 2.
Si no conoces el tema del que vamos a hablar hoy, podrías pensar que esto es casualidad. Probemos con otra más, por ejemplo una pirámide como las de Egipto. Estas pirámides tienen 5 caras (las cuatro laterales y la base), 8 aristas (las cuatro de las caras laterales y las cuatro de la base) y 5 vértices (el superior y los cuatro de la base). Realizamos de nuevo la operación anterior, caras – aristas + vértices y…otra vez obtenemos 2 como resultado. Puedes probar con otras figuras, como los sólidos platónicos (uno de ellos, el cubo, es esencialmente el mismo ejemplo que la caja):
Como muchos lectores habréis adivinado, el tema de hoy es la conocida como fórmula de Euler para poliedros, una de esas maravillas que muy de vez en cuando nos encontramos en matemáticas. El resultado relacionado con ella podría enunciarse así:
En un poliedro convexo con C caras, A aristas y V vértices, siempre se cumple que C – A + V=2.
Un poliedro es una figura tridimensional limitada por polígonos que encierra un volumen concreto (finito), como la caja o la pirámide que hemos usado antes. Y es convexo cuando no tiene entrantes ni agujeros. Por aclarar esto un poco más, un poliedro es convexo si al unir con un segmento dos puntos cualesquiera del poliedro, dicho segmento queda completamente en el interior del poliedro.
Volvamos a la fórmula. Es conocida como fórmula de Euler porque fue el grandísimo matemático suizo Leonhard Euler quien habló sobre ella por primera vez en su trabajo Elementa doctrinae solidorum, escrito en 1750 y publicado en 1758. Euler la escribía de la forma C + V = A + 2, y se puede deducir que sabía que sólo era válida en poliedros convexos al ver que decía que se cumplía para todos los poliedros limitados por planos.
Poliedro no convexo.
Como todo resultado matemático que pretenda mostrarse como cierto, la fórmula de Euler no tendría la validez que se le puede presuponer sin una demostración que acredite su certeza. Bien, pues en su trabajo Euler no fue capaz de dar una demostración correcta de su fórmula (dio una, pero era incorrecta). Fue Augustin-louis Cauchy quien, en 1811, dio con la primera demostración general que se conoce de la fórmula de Euler. Podéis verla en esta web. Y si os habéis quedado con ganas de más, en este enlace podéis encontrar nada menos que veinte demostraciones de la validez de la fórmula de Euler.
Antes hemos comentado que Euler fue el primero que habló sobre esta fórmula. Esto es cierto, ya que antes de 1750 no se conocía ningún escrito sobre este tema, pero esto no significa que no existiera. De hecho existía, pero nadie, salvo Gottfried Wilhelm Leibniz (uno de los fundadores del cálculo), y quizás algún estudiante más, lo sabía. La cuestión es que René Descartes había escrito el, hasta ese momento, primer tratado sobre poliedros, pero murió poco después sin publicarlo.
Tras la muerte de Descartes, parte de sus trabajos (incluido éste) fueron trasladados a Francia, y más tarde (después de mojarse al caer a un río y ser recuperados y secados) llegaron a manos de Leibniz. Éste se encargó de transcribir algunos de ellos, incluyendo el de poliedros, pero estas transcripciones no vieron la luz hasta 1860, cuando Euler llevaba ya casi 80 años fallecido. Esto significa que lo más lógico es pensar que ni Euler ni nadie de su época tuvo conocimiento de estos trabajos, por lo que se le consideró a él como el primero en tratar el tema de los poliedros.
De hecho, actualmente muchos siguen pensándolo, ya que la relación que hemos comentado de Descartes con los poliedros no es muy conocida. En lo que se refiere al tema protagonista de este artículo, Descartes llegó a un resultado relacionado con ángulos en poliedros a partir del cual es relativamente sencillo deducir la fórmula de Euler, aunque él no llegó a deducirla (que se sepa). Los interesados en los detalles de este resultado pueden consultar este enlace.
En un artículo sobre la fórmula de Euler, no podía dejar de comentar la relación de este resultado con otro más general situado en una rama de las matemáticas conocida con el nombre de Topología. Con posterioridad al trabajo de Euler, se descubrió que la fórmula que lleva su nombre es una generalización de la conocida como característica de Euler de una superficie (también conocida como característica de Euler-Poincaré), que suele denotarse con la letra griega χ y que pasa por ser un invariante topológico (esto significa que si dos superficies son topológicamente iguales, entonces tienen la misma característica de Euler). En la Wikipedia tenéis una buena introducción sobre ella.
Y para finalizar, os dejo un poco de entretenimiento. Como sabréis, los balones de fútbol, aunque son razonablemente esféricos, están formados en su superficie por pentágonos y hexágonos. ¿Se podría construir un balón habitual solamente con hexágonos (no necesariamente regulares)? Y si usamos pentágonos y hexágonos, ¿cuántos de cada tipo deberíamos utilizar para su construcción? Cuando alguien los haya resuelto en los comentarios pongo los enlaces donde los vi. Y para quien no sepa cómo meterle mano al asunto, quizás la fórmula de Euler sea una buena ayuda…