TRIGONOMETRÍA
Historia de las matemáticas
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas.
En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea
recopiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.
Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía, el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de 1°, desde 0° a 180°, con un error menor que 1/3.600 de unidad. También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver triángulos esféricos, y durante muchos siglos su trigonometría fue la introducción básica para los astrónomos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, no era una proporción, sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica.
Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. Por ejemplo, las tablas del seno y de la tangente, construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones. Además, el gran astrónomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el Libro de la figura transversal, el primer estudio de las trigonometrías plana y esférica como ciencias matemáticas independientes.
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. El matemático francés François Viète incorporó el triángulo polar en la trigonometría esférica y encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos múltiples, sen nq y cos nq, en función de potencias de senq y cosq.
Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. También encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos oblicuos.
Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos; además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.
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De grados a radianes
Razones trigonométricas
Fórmulas fundamentales trigonometría
Razones trigonométricas de los ángulos fundamentales
Relaciones en la circunferencia goniométrica
Formulas trigonométricas I
Formulas trigonométricas II
Identidades y ecuaciones trigonométricas
Ecuaciones y sistemas de ecuaciones trigonométricas
Identidades trigonométricas
Rincón de curiosidades
La tabla trigonométrica más antigua que se conoce figura en los Siddantas o sistemas astronómicos (hacia el año 290) durante el comienzo de la dinastía del rey hindú Gupta. En dicha tabla figuran los senos de los ángulos entre 0° y 90° distribuidos en 24 intervalos iguales de 3,75°. Para expresar la longitud del arco y la del seno en términos de la misma unidad, se tomaba como radio 3.438 unidades, la circunferencia correspondiente medía 360 x 60 = 21.600 unidades. Para el seno de 3,75 por ser muy pequeño confundían el seno con el arco, por tanto, se tenía que sen 3,75º = S1 = 60x3,75 = 225. Para los restantes ángulos se sustituía en la expresión Sn+1 = Sn + S1 - Sn/S1, donde Sn es la suma de los n primeros senos. Y lo sorprendente es que el error cometido es muy pequeño.
CURIOSIDADES DE π
Si escribimos en línea recta los primeros 200.000 millones de decimales de Pi calculados por Kanada y Takahasi en 1999, a razón de cinco dígitos por centímetro lineal del papel, utilizando para ello el papel necesario, éste tendría una longitud tal, que podría dar una vuelta a la circunferencia de la Tierra.
Habitualmente la celebración del día oficial del 14 de marzo se realiza a las 1:59 PM (en reconocimiento de la aproximación de seis dígitos: 3.14159). Otros afirman que en realidad son las 13:59, por lo que lo correcto sería celebrar a la 1:59 AM.
El matemático alemán Ludolph van Ceulen (1540-1610) pidió que, como epitafio pusieran en su lápida las 35 cifras del número Pi que había calculado. Los alemanes llaman ludofiano
a este número.
William Shanks, matemático inglés, dedicó 20 años de su vida a calcular decimales de Pi a mano y sólo llegó hasta el decimal 707. De los decimales que calculó, sólo 527 eran correctos. El error no se descubrió hasta 63 años más tarde y no llegó a revelarse hasta el año 1945.
Existen cuentos amplios con los que es posible memorizar una gran cantidad de dígitos, tal es el titulado "Cadaeic Cadenza", escrito en 1996 por el matemático Michael Keith y que ofrece la posibilidad de memorizar los primeros 3.834 dígitos.
En 1949, uno de los primeros ordenadores, el ENIAC, trabajando durante 70 horas, dio 2037 decimales del número Pi.
En 1959, ordenadores en Francia e Inglaterra calcularon más de 10.000 cifras de Pi.
En 1961, Daniell Shanks y Wrench. obtuvieron 100.265 cifras en un IBM 7090.
En 1983, Yoshiaki Tamura y Yasumasa Kanada utilizando un HITAC M-280 H, obtuvieron 16.777.206 cifras.
En 1997, Yasumasa Kanada y Daisuke Takahashi obtuvieron 51.539.600.000 cifras con 1024 procesadores.
En 1983, Rajan Mahadevan fue capaz de recitar de memoria 31.811 decimales de π .
En 2002, el japonés Akira Haraguchi batió el record mundial recitando durante 13 horas 83.431 dígitos del número pi sin parar, doblando el anterior record en posesión del también japonés Hiroyuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchi volvió a romper su propio record recitando 100.000 dígitos del número pi, realizando una parada cada dos horas de 10 minutos para tomar aire
Existe también el Día de Aproximación de Pi, el cual se celebra en estas fechas: 22 de julio (22/7 3,14286), 26 de abril (la Tierra completa dos unidades astronómicas de su órbita anual. Recordemos que la longitud total de la órbita de la Tierra dividida entre la longitud recorrida hasta este día es igual a Pi), 21 de diciembre (día 355 del año, a la 1:13 PM, coincidiendo con el valor aproximado de 355/113 3,141531) y 10 de noviembre (ía número 314 del año de acuerdo al calendario gregoriano.)
Este número ha sido utilizado en la serie de señales enviadas por la Tierra con el objeto de ser identificados por una civilización inteligente extraterrestre.