El origen de las fracciones. En la historia es posible distinguir dos motivos principales por
los que fueron inventadas las fracciones. El primero de ellos fue la existencia de divisiones
inexactas mientras que el segundo resultó de la aplicación de unidades de medida de longitud.
Las fracciones, también conocidas con el nombre de “quebrados”, ya eran conocidas por
babilonios, egipcios y griegos. Pero el nombre de fracción se lo debemos a Juan de Luna, que
tradujo al latín, en el siglo XII, el libro de aritmética de Al-Juarizmi. De Luna empleó la palabra
«fractio» para traducir la palabra árabe «al-Kasr», que significa quebrar, romper.
Se considera que fueron los egipcios quienes utilizaron por primera vez las fracciones,
pero sólo aquéllas de la forma 1/n o las que pueden obtenerse como combinación de ellas. Es
decir, Los egipcios utilizaron las fracciones cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es 2, 3, 4,..., y las fracciones 2/3 y ¾ consiguiendo hacer cálculos fraccionarios de todo tipo.
Los egipcios resolvían problemas de la vida diaria mediante operaciones con fracciones.
Entre ellas estaban la distribución del pan, el sistema de construcción de las pirámides y las
medidas utilizadas para estudiar el planeta Tierra. Esto lo podemos comprobar en numerosas
inscripciones antiguas como el papiro de Ahmes. El Papiro de Ahmes o Papiro Rhind es un
documento escrito en un papiro de unos seis metros de longitud y 33 cm de anchura, en un
buen estado de conservación, con escritura hierática y contenidos matemáticos. Fue escrito
por el escriba Ahmes aproximadamente en 1650 a. C., a partir de escritos de doscientos años de
antigüedad, según reivindica Ahmes al principio del texto, aunque resulta imposible saber qué
partes del papiro corresponden a estos textos anteriores. Contiene 87 problemas matemáticos con cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones,
repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica. En él
encontramos el tratamiento de las fracciones.
Básicamente, la fracción surge en un contexto de medida y en otro de reparto.
Sin embargo, en el siglo VI d. C, fueron los hindúes quienes establecieron las reglas de las
operaciones con fracciones. En el sistema sexagesimal empleado por los matemáticos sumerios y de Babilonia se hizo uso también de las fracciones, los cuales las utilizaron teniendo como único denominador al número 60.
Desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionaria, que permitió establecer aproximaciones
decimales realmente sorprendentes. Esta evolución y simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevas operaciones que ayudaron a la comunidad matemática de siglos
posteriores a hacer buenos cálculos de, por ejemplo, las raíces cuadradas.
Para los babilónicos era relativamente fácil conseguir aproximaciones muy precisas en sus cálculos
utilizando su sistema de notación fraccionaria, la mejor de que dispuso civilización alguna hasta la época del Renacimiento.
Por último, en china antigua se destaca el hecho de que en la división de fracciones se
exige la previa reducción de éstas a común denominador.
El libro “Chóu-peï” (de autor desconocido) fue escrito probablemente sobre el año 1105
a.C. y contiene varios problemas que involucran al número 247 933/1460. El trabajo incluye
divisiones como la de 119 por 182 5/8, en las que previamente se multiplicaba por 8.
Los chinos conocían bien las operaciones con fracciones ordinarias, hasta el punto de que
en este contexto hallaban el mínimo común denominador de varias fracciones. . Algunas veces se
adoptaron ciertas artimañas de carácter decimal para aligerar un poco la manipulación de las
fracciones.
Los griegos, por su parte, trabajaban con un sistema de numeración alfabético,
introduciendo así fracciones con números distintos de la unidad en el numerador, valiéndose para
ello de letras. Para los griegos, los números fraccionarios estaban asociados a longitudes y
efectuaban cálculos con fracciones bastante complicados.
De su primera época destacamos la tradición que atribuye a Pitágoras el descubrimiento
de las proporciones que se dan entre los sonidos armónicos Arquímedes de Siracusa (287 - 212 a.C.) utiliza la fracción 10/71 en su aproximación del número PI y Diofanto de Alejandría (S II d.C.) comienza a usar una notación menos ambigua de fracción en la que pone al denominador como exponente del numerador.
Se puede decir, además, que los griegos mostraron sus grandes dotes en cuanto a
geometría en algunas construcciones geométricas de segmentos cuyas longitudes representan
racionales.
De época más tardía es Euclides –fines del siglo IV a.c.- en cuyo texto fundamental
“Elementos de Geometría” y sus Libros VII y VIII da una definición de fracción y hace un estudio
extenso de las propiedades más importantes de las fracciones estudiadas como razones.
FRACCIONES EQUIVALENTES, AMPLIFICAR O SIMPLIFICAR
PONER FRACCIONES CON EL MISMO DENOMINADOR PARA ORDENAR, SUMAR Y RESTAR FRACCIONES
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES
DE FRACCIÓN A DECIMAL Y TIPOS DE DECIMALES
DE DECIMAL A FRACCIÓN
CONJUNTOS NUMÉRICOS
REDONDEO Y TRUNCAMIENTO
ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO
PROBLEMAS CON FRACCIONES
INTERVALOS Y SEMIRRECTAS
EJERCICIOS DE INTERVALOS Y SEMIRRECTAS
FRACCIONES EQUIVALENTES, AMPLIFICAR O SIMPLIFICAR I
FRACCIONES EQUIVALENTES, AMPLIFICAR O SIMPLIFICAR II
OPERACIONES BÁSICAS CON FRACCIONES
OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES
ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO
PROBLEMAS DE FRACCIONES CON SOLUCIÓN I
PROBLEMAS DE FRACCIONES CON SOLUCIÓN II
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
No, no vamos a hablar de la gran mentira de los números, esa que dice que primero surgieron los números naturales por la necesidad de contar, luego los enteros por la necesidad de restar, etc... Hoy vamos a comentar el origen del término irracional para nombrar a aquellos números reales que no son racionales, es decir, números reales que no se pueden expresar como un cociente de números enteros.
Todo se remonta a la Grecia clásica, en particular, a la época pitagórica. Pitágoras nació en la isla de Samos, en el año 582 a.C. donde completó sus estudios para, posteriormente, crear su famosa escuela pitagórica en Crotona. Aunque más que una escuela, llegó a ser una especie de secta. Pero vamos a ser políticamente correctos y vamos a llamarlos organización. La organización pitagórica tenía como creencia fundamental que todas las cosas son, en esencia, números. O dicho de otro modo, que una vez definida una unidad todo lo que nos rodea es mensurable, es decir, que puede medirse a través de esta unidad. Pero para los pitagóricos el concepto de medir significaba que o bien era un número entero de veces la unidad, o bien un número entero de partes de la unidad (o una mezcla de ambas). En definitiva, cocientes de números enteros.
El pensamiento pitagórico se levanta sobre una estructura matemática racional: todo lo que se salga de su orden de pensamiento, escapa a la razón. Por ello esta escuela entró en crisis. El archiconocido Teorema de Pitágoras fue redescubierto por esta escuela de pensamiento, pero con él llégó el problema, pues como primera aplicación del teorema obtenemos un nuevo número √2. Y resulta que este número no es mensurable con respecto a la unidad.
Como este hecho ponía en serio peligro la filosofía pitagórica y dado que escapaba a su razón, decidieron darle el nombre de Irracional, además de ocultar este descubrimiento a la comunidad filosófico-científica de la época. De hecho, se cuenta que uno de los miembros de esta escuela, Hipaso de Metaponto, fue el que dio con una demostración de la irracionalidad del número √2 (consulta la prueba geométrica, muy similar a la realizada, presuntamente, por Hipaso). Sin embargo, parece ser que Hipaso no cumplió el voto de silencio que pesaba sobre la irracionalidad de √2, por lo que la hermandad pitagórica lo habría expulsado de la escuela y habrían erigido una tumba con su nombre, mostrando así que para ellos, él estaba muerto. De hecho, la leyenda cuenta que los propios miembros de la hermandad pitagórica ahogaron a Hipaso.
En fin, que como habéis podido comprobar, incluso dentro de las matemáticas hay leyendas. Es más, hasta lo más irracional, puede deberse a un hecho completamente racional. E incluso se puede morir, como ya se ha visto otras veces, por un descubrimiento matemático.