UNIDAD 6
Álgebra
Historia de las matemáticas
Historia de los polinomios
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Teoría de monomios I
Esto comienza en el siglo XVI y se desarrolla notablemente en el siglo XVII. Sin embargo, su origen se remonta a los babilónicos y egipcios. En papiros egipcios que datan de 2000 años a. de C. se hallan soluciones de problemas cuya traducción hoy, correspondería a ecuaciones de primer grado.
En el siglo III de nuestra era, el matemático Diofanto de Alejandría escribió la obra Aritmética, en las que crea los signos de la multiplicación, usa abreviaturas y un signo para la sustracción; también resuelve ecuaciones cuadráticas. El aporte de hindúes, árabes y griegos al progreso del algebra es notorio. Comienzan a dar reglas para la solución de ecuaciones de primero y segundo grados con una incógnita.
En el siglo IX, el matemático, astrónomo y geógrafo persa musulmán Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (Abu Yā'far) (أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي ابو جعفر), conocido generalmente como al-Jwārizmī, vivió aproximadamente entre 780 y 850. Debemos a su nombre y al de su obra principal, Hisab al yabr ua al muqabala, (حساب الجبر و المقابلة) nuestras palabras álgebra, guarismo y algoritmo. La primera palabra significa compensación o restauración (de los dos miembros de la igualdad de una ecuación), y la segunda significa reducción (de términos semejantes).
El concepto de álgebra de al-Jwārizmī, puede ser comprendido ahora con mayor precisión: se ocupa de la teoría de las ecuaciones lineales y cuadráticas con una sola incógnita, y de la aritmética de binomios y trinomios relativos. La solución tenía que ser general y calculable al mismo tiempo en un sentido matemático, esto es, con un fundamento geométrico. La restricción de grado, así como el bajo número de términos, se explica de manera inmediata. De esta emergencia real, el álgebra puede ser vista como una teoría de las ecuaciones resueltas por medio de radicales, y de cálculos algebraicos de expresiones relacionadas.
Teoría de monomios II
Una parte del libro álgebra de al-Jwārizmī, consiste de aplicaciones y ejemplos. Busca reglas para encontrar el área de figuras como el círculo y también para encontrar el volumen de sólidos, como la esfera, el cono y la pirámide.
El término árabe “al-jarb” se transformó en el castellano “álgebra” y su significado sería restaurar.
Si buscas en un diccionario el significado de la palabra “algebrista” te encontrarás con:
-Persona que se dedica al álgebra (parte de las matemáticas).
-Cirujano dedicado especialmente a la curación de dislocaciones de huesos.
Valor numérico de un polinomio
Del escritor español, Miguel de Cervantes de Saavedra, (1547 – 1616), siendo el cuarto hijo de un hombre humilde que según la enciclopedia británica, fue barbero, cirujano y acomodador de huesos es decir “Algebrista”, descubrimos una receta nemotécnica para facilitar la solución a tantas expresiones algebraicas de tercer ciclo básico. Primero debemos romperle los huesos iguales (al muqabala) y luego conciliar el resto de la estructura ósea (al yabr ua) quien describe en el capítulo XV de la obra “El ingenioso hidalgo Don Quijote de la mancha”, parte segunda, aparece el término algebrista en este sentido se narra de cómo Don Quijote vence en buena lid al caballero de los espejos, quien no es otro que su paisano, el bachiller Sansón Carrasco. El bachiller maltrecho y apaleado por el famoso hidalgo, se queja a su escudero de “…el dolor grande de mis costillas…” y concluye este capitulo “…En esto fueron razonados los dos, hasta que llegaron a un pueblo donde fue ventura hallar un algebrista, con quien se curo el Sansón desgraciado…”
Así, en el siglo XVI, en las puertas de los barberos castellanos había un cartel con la siguiente leyenda: “ALGEBRISTA Y SANGRADOR”. Esto era porque los antiguos barberos además de afeitar también sacaban sangre y restauraban huesos rotos.
Pues, como has podido leer, el padre de Cervantes era “algebrista”.
Suma de polinomios
Otro tema principal tratado por al-Jwārizmī, en el libro Sindhind zij son los calendarios; el cálculo de las posiciones verdaderas del Sol, la Luna y los planetas, tablas de senos y tangentes; astronomía esférica; tablas astrológicas; cálculos de paralaje y de eclipses; y la visibilidad de la Luna. Un manuscrito relacionado, atribuido a al-Jwārizmī, que trata sobre trigonometría esférica
Al-Jwārizmī, escribió un trabajo importante sobre geografía que daba latitudes y longitudes de 2402 localidades como base para un mapa del mundo. El libro, que está basado en la Geografía de Ptolomeo lista latitudes y longitudes, ciudades, montañas, mares, islas, regiones geográficas y ríos. El manuscrito incluye mapas que en conjunto son más precisos que los de. Ptolomeo En particular, está claro que en los sitios para los cuales al-Jwārizmī, disponía de un mayor conocimiento local, como las regiones islámicas, África y el oriente lejano, su trabajo es considerablemente más preciso que el de Ptolomeo, pero para Europa al-Jwārizmī, parece haber usado los datos de Ptolomeo.
Resta de polinomios
Cierto número de trabajos menores fueron escritos por al-Jwārizmī, sobre temas como el astrolabio, sobre el que escribió dos trabajos, sobre el reloj de sol y sobre el calendario judío. También escribió una historia política que contenía horóscopos de personas prominentes.
El matemático italiano Leonardo de Pisa enriqueció con nuevos adelantos el algebra y la divulgo en Europa. Varios algebristas italianos colaboraron en el adelanto del algebra, entre ellos: Nicolás Tartaglia, Jerónimo Cardano y Ludovico Ferrari.
En 1489, John Widmann ideo los signos (+) y (─); Christoff Rudolf (1525) comenzó a usar el signo √; Robert Recorde (1557) introdujo el signo =; William Oughtred (1631) uso el signo ×; en ese mismo año, Thomas Harriot comenzó a usar los signos <>.
René Descartes en 1637 adopto la letra × para designar la incógnita y comenzó a usar los números enteros, como hoy, para escribir los exponentes. Isaac Newton en 1676 generalizo la formula para desarrollar un binomio e hizo extensivo el procedimiento al caso de los exponentes negativos y fraccionarios.
Producto de polinomios
Rincón de curiosidades
Salvado por el Polinomio de Taylor
Un polinomio de Taylor es una aproximación a una función dada, mediante una función polinómica con el grado que se desee. Se conoce un resto que nos indica cuál es el grado de aproximación conseguido. La ventaja de los polinomios de Taylor es que muchas veces (casi todas) es más fácil trabajar con un polinomio que con la función dada (pongamos una logarítmica). Los desarrollos de Taylor se suelen estudiar hoy en todas las carreras donde haya asignaturas de Matemáticas, normalmente en primero o segundo curso.
Igor Tamm (1895 - 1971), ruso y Premio Nobel de Física en 1958, contaba esta anécdota:
Había estallado la Revolución de Octubre (el 25 de octubre de 1917 según el Calendario Juliano, que se encontraba aún en uso en Rusia en esa época; 7 de noviembre según el Calendario Gregoriano, adoptado a partir de 1918), y lo detuvieron unos milicianos cerca de Odessa, donde se hallaba buscando comida. Le tomaron por un agitador antiucraniano, pero decidieron no matarlo y llevarlo ante su jefe. Éste le preguntó a qué se dedicaba. Tamm respondió que era matemático. El jefe de los milicianos le dijo que lo demostrara:
“Calcúlame el error cometido al aproximar una función arbitraria por un polinomio de Taylor de n términos. Si lo haces bien, te dejo ir. Si no lo sabes hacer, te fusilamos”.
Tamm, tembloroso, dibujó con su dedo sobre la arena el desarrollo de la fórmula. Su vida dependía de ello. Al acabar, el jefe guerrillero le echó un vistazo y ordenó que lo soltaran.
Años después, siendo ya Premio Nobel, Tamm contó en persona esta anécdota. Nunca llegó a averiguar quién era aquel jefe de guerrilleros con conocimientos matemáticos.
Saber Matemáticas puede tener ventajas insospechadas...