UNIDAD 5
ÁLGEBRA II
Historia de las matemáticas
EMMY AMALIE NOETHER
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Ecuación completa de segundo grado
Nacida el 23 de marzo de 1882 en Erlange, Baviera, Alemania. Murió el 14 de abril de 1935 en Bryn Mawr, Pensilvania, USA.
Emmy Noether es conocida por su contribución al álgebra abstracta.
El padre de Emmy fue Max Noether, un distinguido matemático y profesor en Erlangen. Su madre fue Ida Kanf Mann. Emmy fue la mayor de cuatro hermanos.
Estudió alemán, inglés, francés, aritmética y empezó clases de piano y demostró interés por la danza .
En 1900 obtuvo el certificado de profesora de inglés y de francés en la escuela de chicas en Baviera. Decidió un modo de vida distinto al de las demás mujeres de su época, estudiar matemáticas en la universidad, un camino lleno de dificultades para una mujer.
En estos años, en Alemania, las mujeres no podían matricularse en las universidades de manera oficial y tenía que solicitar permiso a cada profesor para asistir a su asignatura. Noether obtuvo el permiso en la Universidad de Erlangen ( 1900-1902). Después fue a la Universidad de Gotinga. Entre 1903-1904 asistió a clases de matemáticos tan importantes como Blumethal, Hilbert, Klein y Minkowski.
En 1904, Noether obtuvo permiso para matricularse en Erlanger y en 1907 obtuvo el doctorado bajo la dirección Paul Gordan.
Después de sus brillantes estudios lo natural hubiera sido que obtuviese una plaza como profesora e investigadora en la universidad pero no pudo ser ¡por ser mujer!. Estuvo un tiempo trabajando con su padre.
La reputación de Noether creció cuando aparecieron sus publicaciones. En 1908 fue elegida miembro del círculo Matemático de Palermo. En 1909 llegó a ser miembro de Dents the Mathematiker Vereiningung.
Hilbert (padre de la teoría de relatividad junto a A.Einstein) y Klein pidieron a Emmy que regresara a Gotinga y mantuvieron una dura pugna con las autoridades académicas para que le concedieran una plaza. Entre tanto ella dio cursos bajo el nombre de Hilbert hasta que en 1919 consiguió una plaza.
Los trabajos de Noether continuaron y tuvieron importante influencia en el desarrollo del álgebra moderna y la teoría de la relatividad, aunque la mayoría de sus ideas fueron publicadas por alumnos suyos y no por ella misma.
Ecuación incompleta de segundo grado
Problemas con ecuaciones de segundo grado
Comprobar solución de un sistema de ecuaciones
Resolver sistema por método gráfico
Método de sustitución
Método de igualación
Método de reducción
Rincón de curiosidades
Las matemáticas de la antigüedad estaban basadas principalmente en la geometría. Según nos cuenta Herodoto, la geometría tuvo su origen en las técnicas de medición de los egipcios, de donde más tarde pasaría a Grecia. Los árabes fueron los herederos de la cultura helénica y los "Elementos de Euclides" uno de los textos más estudiados. Al-Khwarizmi, en su tratado de álgebra, nos explica la forma de resolver una ecuación de segundo grado sin conocer la fórmula que utilizamos hoy en día, ya que por aquel entonces, la forma de mirar las matemáticas era diferente.
Como ejemplo, veamos como resolver la ecuación x2 + 10x = 39
En primer lugar, la ecuación siempre se escribe de forma que todos los términos queden positivos, ya que representan longitudes o áreas de figuras. No puede haber una longitud negativa.
El problema de resolver la ecuación, equivale a encontrar el lado del cuadrado amarillo de la figura de abajo. El primer término de la ecuación es x^2; es decir, el área del cuadrado amarillo. La suma de los cuatro rectángulos de color violeta es 4·2'5·x, o bien, 10x, que es el segundo término de la ecuación. El área de los cuadrados verdes es 4·(2'5·2'5) = 25.
El área del cuadrado completo es (x+5)2. Este debe ser igual que la suma de las nueve partes que lo forman; es decir,
(x+5)2 = x2 + 10x + 25 = 39 + 25 = 64
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros tenemos que x + 5 = 8
Y por tanto, x = 3.
Al-Khwarizmi sólo considera la solución positiva porque lo que busca es una longitud, pero obsérvese que si tomamos ±8 para la raíz de 64 se obtienen las dos soluciones reales.
Otra ecuación resuelta por el mismo método (o muy similar) lo conocemos hoy en día como "completar el cuadrado", que se utiliza en muchas ocasiones para el estudio de cónicas, integración, etc.
x2 + 6x = 7
( x + 3 )2 = x2 + 6x + 9 = 7 + 9 = 16
x + 3 = 4 Þ x = 1
