Se realiza un amplio recorrido histórico sobre el uso de las ecuaciones de segundo grado y su resolución, algunas veces ingeniosas, en diversas culturas, desde la antigua Babilonia hasta el Renacimiento.
El profesor Martel resalta que, de los descubrimientos hechos de muestras de escritura cuneiformes de la antigua Babilonia y de su interpretación, se deduce que en aquellos tiempos (1800 a 1600 a.C.) ya sabían resolver ecuaciones del tipo x2+q=px, usando la suma y el producto de sus raíces (x1+x2=p, x1x2=q) y la semidiferencia de éstas; con estos datos obtenían un sencillo sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, (x1+x2)/2 = p/2 y (x1-x2)/2 = √((p/2)2-q).
Expone además, en este primer apartado, una serie de ejemplos y curiosidades extraídas de los hallazgos babilónicos. Es necesario resaltar la importancia de estas situaciones mostradas, como ejemplo de uso de la historia de la matemática como recurso en el aula; pues ofrece al estudiante datos para comprender la naturaleza de los conocimientos matemáticos, su razón de ser y su vertiente humana, pues no se trata de un bloque de conocimientos artificial, creado, fijo y terminado; sino que es fruto de la actividad humana y se han desarrollado en algún momento de la historia de la humanidad por necesidad de uso y han evolucionado hasta la actualidad.
Posteriormente hace mención a unos papiros, datados entre 1991 y 1778 a.C., que tratan problemas matemáticos que se solucionan con ecuaciones de segundo grado. A continuación, la antigua China es señalada también con la mención a una recopilación de problemas matemáticos, el Jiuzhang suanshu, que parece que fueron resueltos del mismo modo que en las antiguas civilizaciones babilónicas.
De la época griega, resalta a Diofanto, que en su obra Aritmética, halló la solución general de ecuaciones del tipo ax2±bx=±c. Con Brahmagupta da paso a los hindúes, quienes redujeron los casos de Diofanto a uno solo y explica que fueron éstos quienes comenzaron a dar las raíces por parejas y a admitir raíces negativas como soluciones.
A continuación realiza un análisis extenso del uso de ecuaciones cuadráticas por los árabes, donde cita a Al-Khwarizmi, quien en su Compendio de cálculo por restauración y comparación (Hisab Al-jabr wa’l muqabalah), utiliza métodos puramente geométricos para la resolución de las ecuaciones de segundo grado del tipo ax2±bx=±c.
CONCEPTO DE ECUACIÓN-IDENTIDAD
COMPROBAR SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
REGLA DE LA SUMA Y EL PRODUCTO
REGLA DE LA SUMA Y EL PRODUCTO II
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON PARÉNTESIS
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES
PROBLEMAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO
ECUACIÓN COMPLETA DE 2º GRADO
DISCRIMINANTE ECUACIÓN 2º GRADO
ECUACIÓN SEGUNDO GRADO INCOMPLETA B=0
ECUACIÓN SEGUNDO GRADO INCOMPLETA C = 0
PROBLEMAS ECUACIONES SEGUNDO GRADO
JUEGO ONLINE IDENTIDAD Y ECUACIÓN
VERIFICAR SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
REGLAS BÁSICAS DE LAS ECUACIONES
ACTIVIDAD ONLINE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON Y SIN PARÉNTESIS
ACTIVIDAD ONLINE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES
JUEGO ONLINE PROBLEMAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO
ACTIVIDAD ONLINE PROBLEMAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO
ACTIVIDAD ONLINE ECUACIONES COMPLETAS SEGUNDO GRADO
ACTIVIDAD ONLINE DISCRIMINANTE ECUACIONES SEGUNDO GRADO
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
Hoy hablaremos de una historia que duró casi 4000 años, y que para nuestra desgracia no tuvo un final tan deseable como el que suelen tener las películas. Voy a hablaros de la historia de las ecuaciones… Todos conocemos la fórmula de la resolución de una ecuación de segundo grado, es la primera fórmula que te enseñan (y seguramente la única) para resolver las ecuaciones. Todos hemos aprobado algún examen gracias a esa fórmula, y todos nos hemos equivocado al aplicarla alguna vez (aunque sólo sea por el mero hecho de haberla aplicado tantísimas veces), pero hay dos cosas de esta fórmula que no sabe todo el mundo:
No se puede aplicar siempre.
¿Sabéis de dónde sale esta fórmula?
Igual es una deformación profesional por eso de ser un proyecto de matemático, pero yo, cuando veo una fórmula siempre intento resolver las dos cuestiones anteriores… Pero este no es el tema central de la entrada, y empecemos con la historia…. Las primeras apariciones en textos antiguos de «ecuaciones» datan del 1800 al 1600 a.C. en Mesopotamia, y traen algunos métodos para resolver ecuaciones lineales, aun que claro, la notación y forma de resolución de antaño dista una infinidad de la que nosotros poseemos actualmente. Habrían de pasar unos cuantos años, hasta el 1650 a. C. , que es la fecha de la que data el Papiro de Rindh, escrito en Egipto. En este texto casi puramente matemático se muestra un método de resolución general de ecuaciones de primer grado. La humanidad acaba de dar un paso, el primero, para dar la solución general de una ecuación para cualquier grado. Este papiro muestra además que los egipcios podía resolver cierto tipo de ecuaciones de segundo grado, aunque aun desconocían un método general de resolución, que será el siguiente paso de nuestra historia.
Pasarían nada menos que 1500 años, hasta que un griego, Diofanto de Alejandría, diera con la fórmula que resuelve casi todas las ecuaciones de segundo grado, la fórmula que aparece en la primera imagen de esta entrada. El segundo paso estaba logrado, se habían resuelto «todas» las ecuaciones de primer y segundo grado. Y en este momento de nuestra historia surge una pregunta, ¿Se podrán resolver todas las ecuaciones para cualquier grado? Pero vamos a intentar ir por pasos, después del segundo grado, viene el tercer grado…
Pero de nuevo habrían de pasar muchos años, otros 1700 aproximadamente, hasta que un matemático Italiano llamado Niccolo Fontana (Tartaglia para los amigos). Este matemático demostró dos cosas:
Dada una ecuación de tercer grado, x3 + bx2 + cx + d = 0, haciendo el cambio de variable, x = t – b/3, se reduce a una ecuación del tipo x3 + px = q. En la que ha desaparecido el término de segundo grado.
Encontró y demostró la fórmula general para la resolución de ecuaciones del tipo x3 + px = q
De este modo y con estas dos aportaciones, Tartaglia, 1700 años después de la demostración del método general para la resolución de ecuaciones de segundo grado, había dado el siguiente paso en la resolución de las ecuaciones de grado arbitrario. La humanidad ya sabía resolver una ecuación cualquiera hasta tercer grado.
Pero aún quedaban unos cuantos grados…Poco despues de la resolución de la ecuación de tercer grado por Tartaglia, otro matemático Italiano, Cardano , dio la solución general para una ecuación de 4 grado cualquiera. Parecía que la cosa avanzaba ahora a pasos agigantados y desmesuradamente rápidos, en poco más de 10 años, se habían dado dos pasos, mientras que los dos pasos anteriores habían costado más de 3000 años.
Pero poco duró el entusiasmo,pues en 1824 enunciaría y demostraría un Teorema que le haría pasar a la historia de las Matemáticas. Este teorema dice que no existe fórmula general para la resolución de ecuaciones de grado mayor o igual a 5. Hay que aclarar que el teorema no afirma que las ecuaciones polinómicas de grado quinto o superior no tengan soluciones o que no puedan ser resueltas,el teorema afirma que la solución de una ecuación de grado cinco o superior no puede siempre ser expresada comenzando por los coeficientes y usando solo finitamente las operaciones de suma, multiplicación,y toma de radicales.
Y fue entonces cuando llegó Galois, un matemático Francés que vivió apenas 21 años y en ese tiempo fue capaz de dejar una teoría que marcaría los comienzos del álgebra moderna. Galois escribo una teoría, que por su complejidad en la época sería rechazada por matemáticos de prestigio como Furier o Lagrange. Y que trata de responder a la pregunta, ¿qué ecuaciones son resolubles usando únicamente los coeficientes de forma finita en operaciones de suma, multiplicación,y toma de radicales?
Pues creando nada más y nada menos que la Teoría de Grupos y ampliando en gran medida la Teoría de Cuerpos,dice lo siguiente: «Una ecuación es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois asociado es resoluble»
Esto sonará a chino a la mayoría de la gente, pero fué un avance importantísmo en las matemáticas, y una forma de saber si una ecuación se puede «resolver» o hay que recurrir a métodos numéricos… Las aplicaciones de la Teoría de Galois sobrepasan con mucho sus objetivos iniciales, y la base que sentó acerca de la Teoría de Grupos hizo posible el avance del álgebra hasta el punto en el que hoy se encuentra.
Después de casi 4000 años, el problema había sido resuelto, aunque ni mucho menos de la manera en la que se deseaba en un inicio, pues no se encontró la fórmula deseada…