Historia de las matemáticas
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Ecuación completa de 2º grado
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Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida.
Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:
1/4 anchura + longitud = 7 manos
longitud + anchura = 10 manos
Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminación. En nuestra notación, sería:
y + 4x = 28
y + x = 10
restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18 , es decir, x = 6 e y = 4 .
También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática.
Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas.
Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal.
Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada como hemos señalado anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolución de ecuaciones por Diophante es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos.
Ecuaciones de segundo grado incompletas
Gráfica de una ecuación lineal
Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones.
El libro El arte matemático , de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.
Método gráfico de resolución de sistemas de ecuaciones
Método de reducción
Método de sustitución
Método de igualación
Resolver problemas con sistemas de ecuaciones
Rincón de curiosidades
Hay ciertO anunciO por la teLevisión en eL que una chica pregunta cOn cara sorprendida ¿por qué se equivOca tanto el hombre del tiempo?, cOmO si loS pobreS meteoróLogos no pusieran interés en su trabajo!
El prOblema eS que tratamos todos los días con el tiempo. La gente lee en los periódicos que están calculadoS tOdOs los eclipSeS posibLes en variOs miLes de añOs, que están caLculadaS tOdaS las trayectorias de numerOsOs cuerpOs ceLestes con una preciSión mUy alta, etc. Luego, ¿cOmO es poSibLe que nO puedan calcular si va a llover mañana o nO?
LaS ecuaciOnes que rigen eL tiempO en cuaLquier parte deL mUndO están perfectamente caLcuLadas: sOn ecuaciones con variabLes tales como temperatura, presión atmoSférica, hUmedad reLativa del aire, veLocidad deL vientO, etc. Todas estas variables se funden en un conjunto de ecuaciones mÁs o menOs complejas y que con potenteS ordenadores es factibLe resoLver. Pero sigue habiendo un margen aLto de errores en predicciones meteorológicas que vayan mas aLLá de unos pocos días. La razón eS que las ecuaciones que rigen el tiempoO forman un sistema caóticO. Un siStema de ecuaciOnes es caótico cuandO una pequeña variación en las condiciones iniciales, prOduce un resultado totalmente diferente en la solución del problema. Para calcular el tiempo que hará mañana, necesitamos, evidentemente, saber cOmO está el tiempo eL día de hOy. La temperatura en eSte inStante será un vaLor iniCiaL qUe habrá qUe intrOducir en las ecuaciones para saber el tiempO que hará mañana.
Ejemplo:
SupOngamoS que tenemoS eL sistema de ecuaciones lineales en dOs variabLes:
5x+7y=0.7
7x+10y=1
Si resolvemOs este sistema de ecuaciones lineales, obtenemos las solucioneS: x=0, y=0.1
PerturbandO un pOcO eL sistema, es decir, pOniendO un sistema de ecuacioneS que varíe muy poco respecto al anterior. El sistema es:
5x+7y=0.69
7x+10y=1.01
HemOs variado en 0.01 la suma de las dOs ecuaciones con respecto a las ecuacioneS originaleS. Es de esperar que una variación tan pequeña en las ecUaciOnes hará que la diferencia entre las solucioneS sea también pequeña. Sin embargo, si resolvemos este último sistema de ecuaciones veremos que las soluciones sOn: x = -0.17; y = 0.22, que se diferencian en bastante mas que la perturbación que hemos causado. Esto sucede así porque el sistema nO es eStabLe o está maL cOndicionadO.
Se han exagerado las prOpOrciones para apreciar mejor los detalles. Las rectas mÁs finas corresponden al primer sistema de ecuaciones, y las mÁs gruesas al segundo. SeñaladOs con un punto negrO eStán Las soLucioneS de ambOs sistemas.
La diferencia tan grande entre laS Soluciones ocurre porque las pendientes de las gráficas son muy parecidas, por tanto, cualquier mínima variación en las dos rectas hace que varíe muchO el puntO de intersección.
Cuando resolvemos las ecuaciones que rigen el tiempo, ocurre algo parecido, una mínima variación en los datos iniciales hace que varíe mucho el resultado. Se podría pensar que esto se soluciOnaría siendO mÁs precisos en la toma de los datos iniciales: por ejemplo, midiendo la temperatura con una gran precisión: el problema es que nunca medimos la temperatura con una precisión absoluta: usamos aparatos tales como termómetros, etc., y siempre tenemos un margen de errOr. Este margen de error puede ser suficiente para obtener un resultado diametralmente opueSto.
Esta peculiaridad de los sistemas caóticos se conoce como “el efecto mariposa”, ya que se afirma que el aleteo de una mariposa en Hong-Kong (es decir, una perturbaciÓn mUy pequeña) puede hacer que esta tarde LLueva en Londres.
¿¡¡No me digais que nO es un artículo interesante!!?