CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

La tortuosa historia del método de eliminación de Gauss para resolver sistemas lineales

Ya usado por los chinos tres siglos antes de Cristo en casos particulares, el inventor del método general fue Isaac Newton, que no lo quiso publicar, Euler no lo recomendaba, Legendre lo consideraba un método «ordinario» y Gauss lo calificaba como «común.» Hoy en día lo llamamos Método de Eliminación de Gauss. ¿Por qué se asoció el nombre de Gauss a este método? Cosas de los primeros informáticos que la usaron en los primeros ordenadores digitales. Nos cuenta muy detalladamente en 41 páginas la historia de este método Joseph F. Grcar, «How Ordinary Elimination Became Gaussian Elimination,» ArXiv, Submitted on 14 Jul 2009.

Siglos antes de Cristo ya se resolvían ciertos problemas que hoy formularíamos como un sistema lineal de 2 por 2, o 3 por 3, aunque se utilizaban procedimientos propios para cada problema. Según Grcar, el primer uso demostrado del método de eliminación de Gauss aparece el s. III a.C. en China, desde donde se transfirió a Babilonia y Grecia. Por ejemplo, se usa en la solución del problema 19 en el libro I de la Aritmética de Diofanto. Desde entonces ha aparecido en varios fuentes, como en el libro Aryabhata que escribió el hindú Aryabhatiya en el s. V d.C.

Isaac Newton fue quien presentó por primera vez el método en su formulación moderna, aunque no lo quiso publicar. Entre 1650 y 1750 hay 35 fuentes sólo en Inglaterra en las que aparece descrito el método. La mayoría de los libros de álgebra del s. XVIII apuntaban que el método fue inventado por Newton (el método de Newton para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales simultáneas). Por ejemplo, Hammond en su «The elements of algebra,» en 1752, nos presenta «El método para resolver problemas que contienen cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas» de Newton (The Method of resolving Questions, which contain four Equations, and four unknown Quantities).

¿Por qué el método de eliminación de incógnitas se popularizó con Gauss? Para Grcar, todo nuevo método necesita un problema que resolver. Gauss lo utilizó en el marco del método de mínimos cuadrados, de gran utilidad en la resolución de múltiples problemas prácticos, como por ejemplo la determinación de la órbitas astronómicas, Gauss lo aplicó al asteroide Ceres, o en geodesia y cartografía. La «zorra» de Gauss (que como la zorra borra sus huellas con el rabo) utilizó el método de eliminación para la resolución de muchísimos problemas, sin indicar los detalles. ¿Por qué? Para qué indicar los detalles si era un método «común» (ampliamente conocido, según Gauss, claro).

Desde Gauss hasta la llegada de los ordenadores, el método se publicó una docena de veces, según Grcar. Destaca Myrick Hascall Doolittle, calculista manual que llegó a resolver sistemas de 41 ecuaciones con 41 incógnitas, a mano, con el método de eliminación entre 1873 y 1911. Los cálculos a mano son largos, por ejemplo, Alan Turing en 1946 necesitó dos semanas para resolver un sistema de 18 ecuaciones y 18 incógnitas. Doolittle ya indica en 1878 que es necesario mecanizar el procedimiento de eliminación y a partir de 1890 empezó a usar una máquina para calcular sumas. El primer algoritmo pensado para una máquina lo desarrolló André-Louis Cholesky, geodésico militar, durante la I Guerra Mundial, para resolver problemas de mínimos cuadrados (cuyas matrices de coeficientes son simétricas y definidas positivas). Prescott Crout, profesor de matemáticas en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) aplicó el método de eliminación a problemas de ingeniería eléctrica en 1941. Su algoritmo fue el último publicado pensado sólo para hacer cálculos a mano.

El uso de matrices en la resolución de sistemas lineales es muy moderno. Las matrices se inventaron en matemáticas (álgebra abstracta, entonces) por Eisenstein (1852), Cayley (1858), Laguerre (1867), Frobenius (1878) y Sylvester (1881), con objeto de entender la teoría de determinantes, formas cuadráticas, y sus aplicaciones en la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Fuera de la matemática abstracta, las matrices no fueron usadas hasta que Heisenberg las utilizó para su mecánica cuántica matricial en 1925. Prácticamente todas las presentaciones de métodos de resolución de sistemas lineales obviaban el uso de matrices. Salvo contadísimas excepciones, como Otto Toeplitz, que usó matrices triangulares de dimensión infinita, o Tadeusz Banachiewicz, que calculó la órbita de Plutón antes de su descubrimiento.

Quizás la primera presentación de la eliminación de Gauss utilizando matrices es del genial John Von Neumann y su colaborador Herman Goldstine en 1947. Más aún, su presentación incluía la estimación de los errores en el cálculo de la inversa de matrices, el concepto de número de condición (ratio entre los valores singulares de mayor y menos módulo). Este trabajo marca el nacimiento del álgebra lineal numérica como actualmente.

El método de eliminación recibió el apelativo de «método de eliminación de Gauss» a partir de la II Guerra Mundial, quizás en referencia a unas citas de Chauvenet (1868) “elimination of unknown quantities from the normal equations . . . according to Gauss,” y Liagre (1879) «élimination des inconnues entre les équations du minimum (équations normales)” mediante “les coefficients auxiliaires de Gauss.” Von Neumann (1947) aparentemente es el último gran matemático que habló del método de eliminación (como harían Lacroix o el propio Gauss) sin hacer una referencia al método como «eliminación de Gauss.»