BIOGRAFÍA DE PLATÓN
Conferimos a las ciencias matemáticas el poder dialéctico de ascender de la caverna a la luz, de lo visible a lo inteligible, de los sentidos a la esencia, por medio de la inteligencia. Por estas artes puede elevarse la mejor parte del alma a la contemplación del mejor de los seres: el Bien.
Platón, República (532c).
Platón y la Academia de Atenas.
Platón ha sido uno de los filósofos que mayor influjo ha tenido en la Historia del Pensamiento y que mayor reflejo ha ejercido sobre las concepciones acerca de la realidad matemática. Fue el gran inspirador de casi toda la actividad matemática de su época. Siendo uno de los hombres más sabios de su tiempo, Platón no era propiamente matemático, pero su vehemente entusiasmo por la Matemática y su creencia en la importancia que esta ciencia tenía como propedéutica de la Filosofía, en la educación e instrucción de la juventud, en el entendimiento del Cosmos y en la formación del hombre de Estado, hizo que se convirtiera en un insigne artífice de matemáticos, debiéndose a sus discípulos y amigos casi toda la ingente producción matemática de su época.
La doctrina platónica de mayor influencia en la Historia del Pensamiento es la Teoría de las Ideas, que tiene su origen en las formas geométricas, y es en el ámbito matemático en el que mejor se puede ilustrar, de ahí la trascendencia de la Matemática en la naturaleza y desarrollo de la Filosofía de Platón. De hecho muchos Diálogos de Platón –el Menón, las Leyes, el Teeteto y sobre todo la República y el Timeo– están plagados de discursos matemáticos, y en concreto en la República, Platón prescribe que el espíritu del filósofo gobernante requiere una exhaustiva formación en las cuatro ciencias del Cuadrivium pitagórico como base preliminar ineludible del supremo conocimiento dialéctico del Bien, la Belleza y la Justicia, verdadera finalidad de los estudios filosóficos, de modo que en toda actividad intelectual de la Academia, la Matemática, y en especial la Geometría, alcanza una significación filosófica y un valor ético, estético y político insoslayables.
Platón matematiza toda la realidad, pero no sólo la realidad física, sino también la esfera espiritual –lo moral, lo estético, lo político, etc.– en un ambicioso proyecto que quiere abarcar la globalidad de la naturaleza y del ser humano –las estructuras matemáticas gobiernan no sólo «la naturaleza del alma humana», sino también «la naturaleza del alma del mundo» (Timeo, 34b–36d)–. Para Platón las Matemáticas están dotadas de un carácter de necesidad divina, lo que sintetiza en la máxima «Dios siempre hace Geometría» –frase atribuida a Platón por Plutarco. Con Platón la Geometría se convierte en un instrumento heurístico medular de toda su obra, que recoge el pálpito y el sentir de toda la cultura griega.
Platón nace en el año 427 a.C. en el seno de una familia vinculada con la vieja nobleza de Atenas. A los veinte años se hizo discípulo de Sócrates, filósofo de la Mayéutica, con quien convivió ocho años hasta su condena en 399. A la muerte de Sócrates, Platón se refugia en Megara en casa del filósofo Euclides –que interviene al comienzo del Dialogo sobre la Ciencia, el Teeteto–, y al que secularmente se le ha confundido con el autor de los Elementos, y empieza a escribir. Durante los diez años siguientes, con un inefable arte literario, Platón redacta los primeros Diálogos en los que trasmite la enseñanza socrática. Al advertir las limitaciones de la Filosofía de su maestro, empieza a buscar elementos más sólidos sobre los que basar una Filosofía más positiva y los encuentra en la Matemática en general y en el Pitagorismo en particular.
Con estas intenciones, Platón viaja a Cirene, y escucha las lecciones del gran geómetra Teodoro, a quien considera uno de sus maestros –que intervendrá también en el Teeteto–; y más tarde se traslada a Tarento, en Italia, donde se impregna de las doctrinas pitagóricas a través de la exposición programática del pitagorismo que había escrito Filolao y del magisterio de Arquitas, científico eminente, brillante político y legislador, que al establecer el antecedente del Cuadrivium medieval –Aritmética, Geometría, Música y Astronomía–, enfatizó la relevancia que tiene la Matemática en la Educación. Como geómetra, Arquitas fue pionero en la valoración del estudio de la Geometría tridimensional, querencia heredada por Platón (República, 528b). Aunque quizá su mayor contribución a la Matemática fue su influencia sobre Platón y el haberle salvado la vida, intercediendo por él ante el tirano Dionisio. En sus estancias en Italia, Platón se empapa de las tesis pitagóricas –inmortalidad y transmigración de las almas; la estructuración, descripción e interpretación del universo en términos de entidades matemáticas; los estrechos vínculos recíprocos entre Matemática y Filosofía; el entusiasmo místico de la pasión por el conocimiento matemático como forma de vida filosófica articulada en una comunidad, etc.–.
A su regreso a Atenas, Platón escribe otros Diálogos, en los que en boca de Sócrates, expone ya no sólo doctrina socrática, sino también pitagórica, que evoluciona hacia temas platónicos originales. Así sucede en el Gorgias, y sobre todo en el Menón en el que describe con argumentos geométricos vinculados al problema de la Duplicación del cuadrado y a la Inconmensurabilidad (82b-85b), nociones pitagóricas sobre la inmortalidad y la transmigración de las almas, enlazadas con la teoría socrático-platónica de la reminiscencia.
La Academia es fundada por Platón el año 387 a.C. inspirada en la comunidad pitagórica e imbuida por la idea de buscar el Bien y la Verdad a través del conocimiento matemático y filosófico. No obstante, la Academia desarrolló una gran libertad intelectual, antagónica al esotérico dogmatismo de los pitagóricos. Con su fundación, Platón crea el centro más importante de irradiación matemática y filosófica de la Antigüedad. Por los escritos de Platón, podemos inferir que una finalidad de la Academia como institución pudo ser la sólida formación intelectual de un grupo de personas, una especie de tecnócratas ilustrados –valga el anacronismo–, muy bien preparados para poder sustituir a la clase política ateniense. Platón hablará a lo largo de la República de la formación del flósofo-gobernante con la sagrada misión de mejorar al ciudadano mediante una política basada en el conocimiento supremo dialéctico de los paradigmas eternos del Bien y la Justicia, a los que se asciende, según la tradición pitagórica, a través de un largo entrenamiento en el pensamiento abstracto, exacto y deductivo, vinculado a las ciencias matemáticas que son el fundamento de todo el saber humano.. Así pues, buena parte de los estudios y campos de investigación de la Academia tendrían que ver con las cuatro materias del Cuadrivium de Arquitas tal como se presenta en el Libro VII de la República: Aritmética (525a–526c), Geometría (526d–528b), Astronomía (528e–530c) y Música (530d–531c), todas ellas disciplinas matemáticas que constituían una propedéutica necesaria a la ciencia suprema de la Dialéctica. En la Academia se desarrollaba la actividad intelectual en coloquios, debates y conversaciones dirigidos por un moderador, y también en lecciones magistrales, en las que impartía doctrina el propio Platón y sus ayudantes profesores de Matemáticas. La celebre frase de ingreso en la Academia –No entre nadie ignorante en Geometría– es un epígrafe emblemático del pensamiento y el espíritu platónicos que expresa de forma palmaria el programa que Platón llevaba a cabo en la Academia, tal como lo ratifican numerosos pasajes de la República.
La Academia se convirtió en un importante foro de discusión y controversia sobre los problemas filosóficos, científicos y matemáticos, donde se integraban los propios descubrimientos e investigaciones de la propia Academia, las especulaciones de la Filosofía física jónica, las doctrinas de Pitágoras y Parménides e incluso las concepciones atomistas de Leucipo y Demócrito. El propio Platón, como líder indiscutible, marcó el tono y el carácter eminentemente académicos en sentido moderno, fomentando la enseñanza de los aspirantes y el debate entre los iniciados. La decisiva autoridad de Platón sobre la Academia no pudo tener lugar a través de sus escritos, realizados a lo largo de toda su vida, sino por sus lecciones orales, conversaciones y reflexiones, no sólo por la vivacidad y actualidad del debate sino porque el propio Platón daba mucha más importancia a la palabra hablada que a la escrita, como él mismo subraya en el Diálogo Fedro. Muchas de las reflexiones de Platón, que conocemos a través del testimonio de su gran discípulo Aristóteles, son un complemento imprescindible para la intelección de la doctrina platónica.
La Teoría platónica de las Ideas y los entes matemáticos.
El intento de fundamentar el saber matemático debió de ser una de las motivaciones platónicas para desarrollar la Teoría de las Ideas, pero a su vez el origen matemático de la misma es un aspecto esencial de la importancia de la Matemática en la naturaleza y desarrollo de la Filosofía platónica. La Teoría platónica de las Ideas o las Formas proviene de una convergencia y síntesis muy coherente de la cosmovisión panmatemática pitagórica, de la radical distinción entre lo sensible y lo inteligible de Parménides, y de la preocupación socrática por la definición y el concepto, verdadero antecedente de la idea y la forma platónica. Es justamente en el terreno matemático en el que mejor se ilustra la Teoría de las ideas de Platón. Un círculo, por ejemplo, se define en Geometría como una figura plana compuesta por puntos que equidistan de uno dado. Pero nadie ha visto en realidad esa figura ni se podrá ver jamás. La forma circular de los geómetras no se encuentra entre los objetos sensibles. Lo que vemos con frecuencia son figuras –un plato, una rueda, la luna llena–, objetos materiales que también llamamos círculos y que resultan ser, en la forma, aproximaciones al círculo ideal. Por tanto, la forma de círculo existe, no en el mundo físico, sino en el ámbito de las ideas, como un objeto inteligible, inmutable e intemporal, que sólo puede ser aprehendido mediante la razón.
La Teoría de las Ideas tiene su origen en las formas geométricas pero no se limita a ellas. Es más, la pretensión de Platón es alcanzar en su idealismo a todo el campo de la Moral. Si en nuestro mundo no hay nada que sea absolutamente circular, tampoco hallamos nada absolutamente bueno o justo. Y si la objetividad de la Geometría obliga a postular la existencia de la forma perfecta de círculo inteligible, separada del objeto circular sensible que se aproxima o se parece a la forma ideal, así también la necesidad de salvaguardar la objetividad de la Moral obliga a postular la existencia de las formas ideales y perfectas del Bien y de la Justicia, separadas de la personas e instituciones terrenales que deben aproximarse a ellas. Las ideas o formas tienen mayor entidad que los objetos del mundo físico tanto por su perfección, eternidad e inmutabilidad, como por el hecho de ser modelos canónicos que conceden a los objetos sensibles lo que tienen de realidad. Cada cosa es lo que es en virtud de su parecido con su idea universal. Las ideas o formas platónicas son paradigmas de las que las cosas sensibles son imitaciones. Las formas geométricas circular, cuadrada y triangular, etc., son excelentes ejemplos de lo que Platón entiende por idea. Un objeto que podemos contemplar en el mundo físico puede ser llamado círculo, cuadrado o triángulo porque imita, se parece (“participa de” en palabras de Platón) a la idea de círculo, cuadrado o triángulo. La cosa participa de la idea y, por esa participación, es semejante a ella; la idea es, pues, una realidad superior presente en la cosa y al mismo tiempo original o arquetipo. De estas cuestiones escribe Platón en diversos pasajes del Filebo (25a), la República (476a–476d), el Fedón (100a, 101c), etc. La Teoría de las Ideas está muy dispersada a lo largo del texto de estos Diálogos y de otros como el Menón, el Fedro y el Banquete, e incluso para su conocimiento completo debemos acudir a Aristóteles, sobre todo los capítulos 6 (987b) y 9 (990a) del Libro I de la Metafísica de Aristóteles.
Volumen primero de las obras completas de Platón en griego antiguo y latín, edición de 1856, Ed. A. Firmin-Didot, Paris
La Filosofía de la Matemática de Platón.
Por herencia pitagórica, para Platón los conceptos de la Matemática son independientes de la experiencia, se los descubre, no se los inventa o crea. Los juicios geométricos son eternos y apriorísticos, y corresponden a una realidad intemporal e inmutable, que es la auténtica realidad, más real que la engañosa, imperfecta e incompleta realidad sensible. De acuerdo con su idealismo geométrico, Platón subraya que los razonamientos que hacemos en Geometría no se refieren a las figuras concretas que dibujamos sino a las ideas absolutas que ellas representan (República, 510d–510e):
«[Los matemáticos] se sirven de figuras visibles que dan pie para sus razonamientos, pero en realidad no piensan en ellas, sino en aquellas cosas a las que se parecen. Y así, por ejemplo, cuando tratan del cuadrado en sí y de su diagonal, no tienen en el pensamiento el que dibujan y otras cosas por el estilo. Las mismas cosas que modelan y dibujan, cuyas imágenes nos las ofrecen las sombras y los reflejos del agua son empleadas por ellos con ese carácter de imágenes, pues bien saben que la realidad de esas cosas no podrá ser percibida sino con el pensamiento.»
Por ello, para Platón, la Matemática debe ser independiente de todo pragmatismo, de toda empiria y de la utilidad inmediata, y debe estar liberada intelectualmente de todo instrumento material –que son elementos corruptores y degradantes–, como señala Plutarco en sus Vidas Paralelas (Vida de Marcelo), cuando nos habla de la indignación de Platón ante el uso de artificios mecánicos en la Geometría:
«Platón se indispuso e indignó con ellos [contra Arquitas de Tarento y Eudoxo de Cnido], porque degradaban y echaban a perder lo más excelente de la Geometría con trasladarla de lo incorpóreo e intelectual a lo sensible y emplearla en los cuerpos que son objeto de oficios toscos y manuales.»
El mismo Platón señala una y otra vez en la República que la Geometría no debe tener otra finalidad que el conocimiento en sí mismo. Así lo proclama en 526e–527b:
«[...] La parte más elevada de esta ciencia nos conduce a una contemplación más factible de la idea del Bien. [...] La Geometría nos obliga a contemplar la esencia. [...] Es una ciencia del conocimiento del ser, no de lo que está sujeto al cambio o desaparición. [...] Conducirá al alma hacia la verdad y dispondrá la mente del filósofo para que eleve su mirada hacia arriba».
Platón describe también, con su inveterado idealismo, la misión de la Aritmética como ciencia para escapar del ámbito sensible y elevar el alma hacia lo abstracto (525d–526c):
«[...] Es lo cierto que esa ciencia [la Aritmética] conduce el alma hacia lo alto y la obliga a razonar sobre los números, sin permitir de ningún modo que nadie presente un ejemplo de números corpóreos y tangibles. [...] Esa ciencia se nos presenta con visos de necesaria, puesto que parece forzar al alma a servirse de la inteligencia pura para alcanzar la verdad en sí.»
Tan importante considera Platón el adiestramiento en estas ciencias en la formación del filósofo que prescribe se deben imponer en la instrucción por imperativo legal (525b–525d):
«... Convendrá imponer esta enseñanza por medio de una ley y convencer a los que deban ocupar los puestos de gobierno de la ciudad para que desarrollen su gusto por estas artes [las ciencias matemáticas].
De esta visión platónica idealista podría derivar la distinción entre Aritmética y Geometría como factores espirituales de elevación hacia la Filosofía y Logística y Geodesia como instrumentos materiales y utilitarios de los artesanos y técnicos. Como consecuencia de ello, pudo haber sido Platón el responsable de la restricción en las construcciones geométricas griegas a aquellas que pueden realizarse sólo con regla y compás.
La Matemática como propedéutica de la Filosofía.
Para Platón la Matemática tienen como misión elevar el alma de las cosas sensibles a la verdad ideal inteligible, cognoscible por vía exclusivamente racional. Pero es en el acto del filósofo de trascender el mundo físico donde las ciencias matemáticas juegan un papel esencial, ya que permiten realizar una intermediación en el tránsito de lo sensible a lo racional. Esta visión platónica de las Matemáticas campea a lo largo de los Diálogos, sobre todo en la República, un texto fundamental para comprender la Filosofía de la Matemática de Platón que tanta trascendencia ha tenido en la evolución ulterior de esta ciencia. En esta obra, Platón expone una grandiosa concepción ontológica de la Matemática que ha tenido un singular atractivo sobre los matemáticos de todas las épocas. A través del bellísimo lenguaje metafórico de la Alegoría de la Línea (509d–511e) y de la Alegoría de la Caverna (514a–519d), Platón reflexiona, una y otra vez, acerca de la naturaleza de las entidades matemáticas, del lugar que ocupan en los diversos dominios de la realidad y de las relaciones que establecen con los diversos ámbitos del conocimiento.
El pensamiento discursivo de la Matemática (diánoia) es el conocimiento que se obtiene cuando se razona y se va de las hipótesis a las conclusiones que de ellas se deducen. En este mundo se encuentran las formas de los números y las formas geométricas. Corresponde, en la alegoría de la caverna, al conocimiento que los liberados de la cueva tienen de los objetos mismos. Pero la Matemática no es la ciencia más perfecta, porque necesita utilizar ejemplos o imágenes sensibles para sus demostraciones, en las que el geómetra se tiene que conformar con una representación material y, por tanto, inexacta de las distintas figuras geométricas. Sabe que el cuadrado o el círculo no son más que copias o imágenes del Cuadrado en sí, del Círculo en sí. Además, las demostraciones de las Matemáticas se realizan a partir de hipótesis, de supuestos, pero no se pregunta por su validez, sino que se presupone. El pensamiento intelectivo que por ser conocimiento intuitivo de las ideas, es superior a la Matemática no es otro que la Dialéctica. Gracias a ella nuestra razón es capaz de utilizar las hipótesis de las otras ciencias inferiores –las Matemáticas– como trampolines hasta alcanzar el principio de todo, la verdad suprema. Es la Idea de Bien. Así pues, ya que la Matemática para estudiar sus objetos geométricos y aritméticos –figuras y números–, necesita servirse de objetos sensibles utilizándolos como imágenes para referirse a sus objetos ideales, es decir, recurre a lo sensible para elevarse a lo inteligible, resulta ser como ciencia, el más conveniente puente para transitar del mundo sensible de la opinión, creencia, imaginación, conjetura, figuración, etc., de la Física, al mundo inteligible de las Ideas de la verdadera Filosofía, la ciencia perfecta de la inteligencia pura, que es la Dialéctica. El estudio de las ciencias matemáticas es la necesaria preparación introductoria para la Dialéctica. En palabras de Platón:
«La Aritmética y la Geometría son una propedéutica para la Dialéctica» (536d).
«Todas estas ciencias [matemáticas] no son más que el preludio de la melodía que se debe aprender, [...] que no es otra que la melodía que ejecuta la Dialéctica» (531d).
«El poder dialéctico sólo se revelará a quien sea experto en estas ciencias» (533a).
En resumen, las ciencias matemáticas son el instrumento que permite al verdadero filósofo empezar a romper las cadenas que le tienen aprisionado en la oscuridad del mundo sensible de la caverna e ir alcanzando progresivamente la contemplación de la realidad del mundo inteligible –las ideas y las formas eternas inmateriales y universales o nóesis– (la Dialéctica, la Filosofía), cuyo ascenso se inicia comenzando por las formas geométricas, verdadera matriz de las ideas y formas abstractas: la Belleza, la Justicia, el Bien, etc. Por eso la Matemática tiene una importancia tan relevante en el pensamiento de Platón, quien ejerció una influencia decisiva en la Matemática de su tiempo, asignándole una jerarquía excepcional entre todos los estudios de la Academia
Dios siempre hace Geometría. La cosmogonía poliédrica del Timeo de Platón.
El Timeo es un grandioso mito cosmogónico de raíz pitagórica donde Platón describe con abundancia de detalles cuáles son las formas fundamentales inteligibles que imponiéndose a una materia primitivamente informe, han presidido la concepción y realización del orden cósmico, en la génesis de toda la naturaleza. La acción demiúrgica del Dios geómetra soberano geometriza el universo y lo diseña según las leyes de la Matemática, disponiendo los cuatro elementos en la forma y número que exige la necesaria y bella armonía matemática (Timeo,53a–53b). Con un inusitado despliegue de fantasía geométrico-cósmica, Platón dibuja el mundo físico y explica los fenómenos naturales en clave geométrica mediante una trasferencia de propiedades del mundo matemático al mundo natural.
Cuatro de los poliedros regulares –tetraedro, octaedro, icosaedro y cubo– que son las formas geométricas más bellas, son, respectivamente, los átomos de los elementos –fuego, aire, agua y tierra–. Pero los elementos primigenios originales constituyentes del mundo material no son propiamente estos poliedros, sino sus componentes geométricos, formados por dos clases de triángulos rectángulos –los triángulos más bellos–; uno es medio cuadrado, es decir, isósceles, que compone el cuadrado cara del cubo y otro es medio triángulo equilátero, que compone las caras triangulares equiláteras de los otros tres poliedros. En cuanto al dodecaedro, cuyas caras no se pueden componer con los triángulos más bellos, Platón sugiere que es la forma general del universo (54d–55c). Tras la lectura del fastuoso Timeo uno entiende que a los poliedros regulares se les llama Cuerpos platónicos.
En la Imagen, Platón con el rostro de Leonardo. Fragmento de la Escuela de Atenas de Rafael. Platón sostiene en una mano El Timeo y eleva hacia el cielo el dedo índice de la otra mano como indicando lo ideal y lo sublime.
La Matemática de la Academia platónica. Fundamentos de la Matemática.
Según el testimonio de Proclo, en su Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides, la Matemática del siglo anterior a Euclides estuvo dominada por la Academia de Platón:
«Platón dio a las Matemáticas en general, y a la Geometría en particular, inmenso impulso gracias al celo que desplegó por ellas y del que son testimonio suficiente sus escritos llenos de discursos matemáticos, y que, a cada momento, despiertan el entusiasmo por estas ciencias en aquellos que se entregan a la Filosofía.»
Platón fue, efectivamente, un gran promotor de numerosos matemáticos a los que Proclo cita, a continuación, y atribuye diversas actuaciones en Matemáticas que dan una idea de la naturaleza de la Matemática que crean bajo la orientación de Platón:
Texto de Proclo sobre los matemáticos de la Academia platónica
(Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides)
• «Multiplicaron los teoremas y los pusieron en un orden más sistemático.»
• «Añadieron muchas soluciones a los problemas anteriores.»
• «Ampliaron considerablemente los conocimientos precedentes y compusieron Elementos muy superiores por el número y por la importancia de las demostraciones.»
• «Descubrieron las delimitaciones para saber cuándo es posible resolver un problema que se investiga y cuándo es imposible.»
• «Hicieron uso del Análisis para resolver las cuestiones suscitadas por Platón.»
• «Perfeccionaron el conjunto de la Geometría al convertir en generales muchas definiciones y proposiciones particulares.»
• «Se distinguieron tanto en Matemáticas como en el resto de la Filosofía.»
• «Todos estos sabios se reunían en la Academia y realizaban sus investigaciones en común.»
• «Realizaron investigaciones siguiendo las instrucciones de Platón planteándose cuestiones acerca de lo que podía contribuir a la Filosofía de su maestro.»
De acuerdo con las declaraciones de Proclo, ratificadas por las investigaciones de los historiadores modernos, Platón y los matemáticos de la Academia ampliaron de forma considerable el acervo matemático, clarificaron algunas definiciones, reorganizaron las hipótesis de partida, rehicieron muchas demostraciones, generalizaron numerosos teoremas, resolvieron una gran cantidad de problemas pendientes, escribieron Elementos a base de reordenar el Corpus geométrico de forma sistemática y jerárquica, seleccionando los problemas y teoremas que se toman como elementales (de ahí el nombre de Elementos), y lo más importante: discutieron los Fundamentos de las Matemáticas y se interesaron especialmente por la metodología de la investigación matemática, que se benefició considerablemente del Método de Análisis, llamado Método platónico. Todo ello en colaboración y bajo la inspiración, dirección e instrucción del maestro Platón, que siempre daba una orientación filosófica a todas las investigaciones. Platón sería el primero en sistematizar las reglas de la demostración rigurosa y en comenzar una ordenación de los teoremas según una jerarquía lógica, iniciando un proceso de organización y estructuración deductiva de la Matemática que culminaría Euclides con Los Elementos. A partir de Platón la demostración deductiva, a partir de los principios, se consideró necesaria y consustancial con la propia naturaleza de la Matemática, estableciendo un paradigma de actuación en Matemática que nunca ha sido relevado hasta ahora. Asimismo, La Academia de Platón se planteó ya de forma clara la cuestión de si un problema dado tenía solución o no sobre la base de las verdades conocidas y de las hipótesis admitidas.
Entre los matemáticos más eminentes de La Academia debemos citar a Teeteto, Menecmo y Eudoxo. Teeteto realizó importantes contribuciones al estudio y construcción de los poliedros, los llamados cuerpos platónicos, de modo que se le atribuye la paternidad de la mayor parte del Libro XIII de Los Elementos de Euclides. Menecmo, que fue durante un tiempo maestro de Aristóteles y de Alejandro Magno, es el descubridor de las secciones cónicas en relación con el problema de la Duplicación del cubo. Eudoxo resolvió, mediante el Axioma de continuidad, la Teoría de la Proporción y el Método de exhaución, la primera crisis de fundamentos en la Historia de la Matemática provocada por la aparición de la inconmensurabilidad en el mundo pitagórico.
Aparte de la solución a la primera crisis de fundamentos provocada por los inconmensurables, quizá lo más relevante de la Academia platónica sea la aplicación universal del método analítico, en la investigación de problemas geométricos que alcanzará plenos frutos cuando dos mil años después al aunarse con las técnicas algorítmicas del Álgebra simbólica, produzca la eclosión inexorable de la Geometría Analítica y del Análisis Infinitesimal, los más potentes instrumentos matemáticos que reciben del Análisis geométrico griego no sólo el nombre sino también los procedimientos. La imputación a Platón del Método de Análisis se basa en algunos pasajes del Menón (86e–87a) y la República (510c) y la Ética a Nicómaco (1095a) de Aristóteles, en relación con ciertos métodos geométricos «por hipótesis» en los que, según Platón, para sus investigaciones los geómetras utilizan elementos desconocidos como si realmente los conocieran. Mediante el Análisis se asume como cierto aquello que hay que probar y se razona con base en esta asunción hasta llegar a algo que forma parte de los principios –hipótesis–, es decir, uno se remonta de forma regresiva hasta los puntos de partida o siguiendo el curso lógico de los razonamientos se alcanza un resultado cierto por haber sido previamente establecido. Si entonces podemos invertir la secuencia de los pasos anteriores, el resultado –Síntesis– es una prueba legítima del teorema que había que probar. Así pues, el Análisis viene a ser un procedimiento sistemático de descubrir «condiciones necesarias» para que un teorema sea cierto, de modo que si por medio de la Síntesis se muestra que estas condiciones son también «suficientes», se obtiene una demostración correcta de la proposición. Aunque los textos aludidos de Platón no son muy aclaratorios de la cuestión siempre se le ha atribuido a Platón las bases del método analítico como procedimiento metodológico capital para el progreso de la Matemática y su formulación en las lecciones que impartía en la Academia.
La influencia de Platón en la Historia del Pensamiento y de la Matemática.
La influencia de Platón a través de la Historia de la Cultura y del Pensamiento ha sido inmensa. Una armoniosa combinación del misticismo y panmatematismo pitagóricos, la Lógica y la Metafísica de Parménides y una herencia socrática directa, basada en una Ética y una Política fundamentadas en la idea suprema del Bien como base de toda Filosofía, forjaron en la mente preclara de Platón una síntesis poderosa que creó una atractiva doctrina de gran originalidad, satisfactoria tanto para el intelecto como para el sentimiento religioso, de ahí la influencia decisiva de Platón tanto en la mayoría de los grandes filósofos, como en los grandes pensadores cristianos e islámicos.
El influjo de las ideas platónicas en el pensamiento judío es manifiesto en la obra del filósofo alejandrino del siglo I Filón de Alejandría. El neoplatonismo, fundado en el siglo III por el filósofo Plotino, supuso un importante desarrollo y una gran difusión posterior de las ideas de Platón. Los teólogos Clemente de Alejandría, Orígenes y San Agustín fueron los primeros pensadores cristianos cuyas ideas convergen con el Platonismo. De hecho la Filosofa platónica tuvo un papel crucial en el desarrollo del cristianismo al constituir el principal apoyo intelectual de la Teología cristiana. También el pensamiento islámico medieval bebió en las ideas de Platón, llegando incluso los árabes a redescubrir y traducir muchos de su Diálogos. A partir del Renacimiento los humanistas estudiaron con avidez las obras de Platón en los originales griegos redescubiertos gracias a la ingente labor de recuperación y restauración del legado clásico, colmando los ambientes intelectuales de traducciones latinas e incluso de versiones de los Diálogos en lenguas vernáculas, debido a lo cual la inspiración y la fuerte carga matemática de la Filosofía de Platón desempeñaría un papel fundamental como guía cardinal del pensamiento científico de Nicolas de Cusa, Luca Pacioli, Kepler, Galileo, y otros filósofos y matemáticos, e incluso a través de los platónicos de la Escuela de Cambridge, también de Newton.
También en la Filosofía de la Estética y del Arte la influencia de Platón ha sido muy significativa. La fuente primaria de la armonía y la proporción en el Arte se encuentra en los conceptos matemáticos del universo pitagórico–platónico. Si ciertas relaciones numéricas y formas geométricas encarnaban, según el Timeo, la verdad absoluta de la estructura armónica y ordenada del Cosmos, el Arte debía dar expresión a ese orden apoyándose en la verdad eterna y universal de los números y las relaciones espaciales. De acuerdo con Platón, para los artistas, la forma en sí sólo era la esencia del Arte si derivaba de ciertas relaciones numéricas sobre la base de precisos módulos y cánones, aritméticos y geométricos, expresión última de las formas mismas en sentido de la Teoría de las Ideas.
El propio Vitrubio recurre al Timeo (44d) para establecer que las proporciones del perfecto cuerpo humano deben ser el reflejo del orden y la armonía cósmicos, pudiendo por tanto ser inscrito en las formas geométricas ideales –el cuadrado y el círculo–, y así aparece el «homo ad quadratum» y el «homo ad circulum». Además, cada parte de un edificio, tanto en el interior como en el exterior, tiene que ser integrada en un mismo sistema de relaciones matemáticas, que deben reflejar las proporciones de la figura humana. Así la Filosofía platónica va imponiendo una visión estética que culmina en los teóricos y artistas del Renacimiento (Pacioli, Leonardo, Durero, Alberti, Barbaro, Palladio, etc.) que creen firmemente, con Platón, que Dios al haber ordenado el universo según unas leyes matemáticas inmutables, creó un mundo bellamente proporcionado cuya armonía se refleja en el cuerpo del hombre, de donde deben surgir las proporciones de su templo terrenal.
La actitud filosófica de Platón ante la Ciencia, la Matemática y la Educación es una constante secular, asimilada y analizada, ensalzada y alabada, criticada y enjuiciada, en la Historia del Pensamiento. Platón ha tenido una decisiva incidencia en la estructura que han configurado la Matemática como ciencia. La Academia platónica se convirtió en el centro matemático del mundo. En ella trabajaron y de ella salieron los principales investigadores del siglo IV a.C., célebres matemáticos que, como hemos señalado, además de magnificar de forma considerable el patrimonio matemático, debatieron y resolvieron, en sus discusiones académicas, cuestiones trascendentales de las Matemáticas relacionadas con sus propios fundamentos y con la metodología de la investigación y el razonamiento matemáticos. Estos asuntos, fruto de las exigencias de Platón sobre los esfuerzos de definición y reflexión sobre los principios y los objetos de la Matemática, establecerían las bases y los presupuestos de Los Elementos de Euclides, cuya paternidad en su mayor parte, tanto en contenido como en estructura lógica, corresponde a los matemáticos de la Academia, que reconstruyen las demostraciones de los teoremas pitagóricos que habían quedado invalidados por la aparición de los inconmensurables (resultados que pasarán a los cuatro primeros libros de Los Elementos de Euclides), tras la resolución por Eudoxo de la correspondiente crisis de fundamentos con la Teoría de la Proporción que Euclides incluirá en el Libro V, y en la que basará toda la Geometría de la semejanza del Libro VI. Eudoxo introduce también el Método de Exhaución que resuelve de forma rigurosa problemas infinitesimales que aparecerán en el Libro XII de Los Elementos, mientras Teeteto realiza el exhaustivo estudio de los irracionales cuadráticos que aparece en el prolijo Libro X, y el no menos completo y profundo estudio geométrico de los Poliedros regulares, tan queridos y admirados por su maestro Platón, con el que se corona de forma brillante, en el Libro XIII, la gran Biblia euclídea de Los Elementos, una construcción ontológica y antológica de la Matemática geometrizada de los griegos, que, por su indudable ascendencia platónica, bien podemos suscribir las palabras que escribe G. Reale en su obra Platón. En búsqueda de la sabiduría secreta (Herder, Barcelona, 2001. p.213): «Con todo derecho la Geometría de Euclides habría que denominarla Geometría platónica.»
La Teoría de la Proporción y el Método de Exhaución que nacen en la Academia platónica tienen una gran influencia sobre las concepciones aristotélicas del infinito y la Teoría de la Potencia y el Acto, y en las manos de Arquímedes se convierten en un poderoso instrumento de convalidación apodíctica de sus impresionantes resultados infinitesimales descubiertos por vía mecánica, que serán la fuente de inspiración de los matemáticos que anticipan el descubrimiento del Cálculo Infinitesimal en el siglo XVII y la aritmetización del Análisis del siglo XIX a través del concepto de límite.
La Academia de Atenas fue durante la época helénica el núcleo principal de la especulación filosófica y matemática del mundo griego, y aunque el centro de gravedad de la actividad matemática se desplazó en la época helenística, en torno al año 300 a.C. hacia Alejandría, la Academia siguió ostentando su preeminencia en Filosofía durante todo el periodo alejandrino. De hecho la actividad filosófica duró casi 900 años hasta su clausura en el año 529 d.C. por el emperador bizantino Justiniano. Una cifra más de la influencia de Platón como adelantado en la Historia de la Cultura surge al subrayar que la Academia es el primer antecedente de las universidades, de los institutos científicos, y en general de las instituciones académicas posteriores. De ahí la importancia de la figura de Platón en la Historia de la Educación y de la investigación.
La Matemática es para Platón la aristocracia intelectual del conocimiento. Por eso en la Academia de Platón «está prohibida la entrada a toda persona que no sepa Geometría». La Matemática tiene la misión pedagógica de formar el intelecto y es el fundamento de la Filosofía y de todo el saber. Son múltiples las reflexiones de Platón en la República acerca de la importancia de la Matemática en la Educación, término que en griego –Paidea– se refiere al cultivo del ser humano en todas sus facetas con la intención de convertirlo en un buen ciudadano que ame el Bien y la Justicia, es decir, que sea virtuoso. Con razón, Rousseau, en su emblemático tratado sobre la Educación, Emilio, pondera el inconmensurable valor de la República de Platón, no como una obra de política sino como es el más excelente tratado de Educación que jamás se haya escrito. Platón concreta la educación matemática en las llamadas después cuatro Artes Liberales del Cuadrivium pitagórico, de secular fortuna en los programas educativos de las universidades medievales y base de los estudios elementales de la tradición pedagógica occidental, sobre todo la Aritmética y la Geometría, hasta hace pocas décadas. En este aspecto la herencia de Platón también es trascendental.
La Filosofía de la Matemática de Platón que tanta trascendencia ha tenido en la evolución ulterior de esta ciencia, plasmada en un bellísimo lenguaje en numerosos Diálogos platónicos, sobre todo en la República y el Timeo, ha configurado secularmente lo que se llama Platonismo en la Matemática, como firme creencia en la existencia de entidades matemáticas abstractas propias del espíritu humano, pero independientes de él. Todavía en el siglo XX, matemáticos de la talla de G.H. Hardy alimentaron esta Filosofía (Apología de un matemático. Nivola. Madrid, 1999. p.115). De hecho La impresionante concepción ontológica platónica de los entes matemáticos ha ejercido a lo largo de toda la historia una singular atracción sobre todos los matemáticos y ha contribuido a fijar la forma, las raíces y las características del pensamiento matemático. Todavía hoy, el Platonismo –depurado de sus múltiples elementos míticos– sigue siendo una de las filosofías de la Matemática más vivas e influyentes. Muchos matemáticos actuales piensan que están investigando el mundo de las estructuras abstractas, un mundo eterno, necesario e independiente de nosotros, actitud platónica origen en el origen de la distinción radical entre la Matemática pura como aventura mental –desplegada por el mero honor del espíritu humano, como diría Jacobi– y por tanto independiente de la experiencia y de la observación, y la Matemática aplicada como mero instrumento de comerciantes, artesanos, técnicos y hombres de negocios. Pero la propia concepción platónica de la Matemática como pensamiento discursivo e instrumento de tránsito de lo sensible a lo inteligible es precisamente un pegamento entre los dos tipos de Matemática aludidos. El idealismo platónico y la investigación sin perseguir la utilidad inmediata ha formado parte a lo largo de toda la historia de la filosofía de trabajo del matemático que especula en la topología de un territorio de ideas que el espíritu explora sin doblegarse a la dimensión sensible de la realidad. En este sentido, buena parte de los matemáticos son platónicos y les fascina su afinidad espiritual con el fundador de la Academia.
La alta valoración que siempre ha gozado la Matemática; su estimación como expresión de los más elevados intereses especulativos del hombre incidentes sobre la Filosofía y la Ciencia, la Política y el Arte, la Educación y la Cultura en general; exponente de su más genuina capacidad de razonar; es de origen platónico. Sin ser propiamente un matemático, es impresionante, casi milagroso, el magnífico impacto e influjo de Platón sobre el curso del rumbo que tomaría, a partir del siglo IV a.C., la más antigua de las ciencias, la Matemática.
Para finalizar, recogemos palabras de B.Russell para expresar que pocos filósofos, han alcanzado la amplitud y profundidad del pensamiento de Platón; ninguno le ha superado; y cualquiera que aborde la investigación filosófica o matemática hará mal en ignorarle. Apoyemos estas palabras con el testimonio de un gran pensador, el filósofo, lógico y matemático Alfred N. Whitehead –maestro y colaborador de B.Russell en su monumental obra Principia Mathematica–, que quiso rendirle un encomiástico tributo a Platón al escribir en su obra Process and Reality de1929 el siguiente panegírico:
«La más acertada descripción del conjunto de la tradición filosófica europea es la que consiste en una serie de notas a pie de página a la obra de Platón.»
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
UNIDADES DE VOLUMEN
ELEMENTOS DE UN POLIEDRO
POLIEDROS REGULARES
CLASIFICACIÓN DE LOS PRISMAS
CLASIFICACIÓN DE LAS PIRÁMIDES
CUERPOS DE REVOLUCIÓN
ÁREA Y VOLUMEN DE UN PRISMA
ÁREA Y VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE
ÁREA Y VOLUMEN DE UN CILINDRO
ÁREA Y VOLUMEN DE UN CONO
ÁREA Y VOLUMEN DE UNA ESFERA
SÓLIDOS PLATÓNICOS
Los sólidos Platónicos o regulares son poliedros convexos tal que todas sus caras son polígonos regulares iguales entre sí, y en que todos los ángulos sólidos son iguales.
Reciben este nombre en honor al filósofo griego Platón, a quien se atribuye haberlos estudiado en primera instancia.
Los sólidos platónicos son:
El tetraedro.
El cubo.
El octaedro.
El dodecaedro.
El icosaedro.
Pero voy a la cuestión que me interesa en este articulo, que es el aspecto más "mágico" de estas figuras. Las propiedades de estos poliedros son conocidas desde la antigüedad clásica, hay referencias a unas bolas neolíticas de piedra labrada encontradas en Escocia 1000 años antes de que Platón hiciera una descripción detallada de los mismos en los Elementos de Euclides. Se les llegó a atribuir incluso propiedades mágicas o místicas. Timeo de Locri, en el diálogo de Platón dice:
"El fuego está formado por tetraedros; el aire de octaedros; el agua de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo"