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FUNCIONES
Historia de las matemáticas
Historia de la Función Matemática
El concepto de función como un objeto matemático independiente, susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII. René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro». La notación f (x) fue utilizada por primera vez por A.C. Clairaut, y por Leonhard Euler en su obra Commentarii de San petersburgo en 1736.
La primera función
El primero en construir una función fue Galileo (1564- 1642). Desde lo alto de la torre inclinada de Pisa tiró dos bolas, una de hierro y otra de madera y comprobó que a pesar de la diferencia de peso, ambas llegaban al suelo a la vez, había descubierto la ley de caída de los cuerpos.
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Identificar gráficas
Dominio y rango de una gráfica
Continuando su estudio y empleando un curioso artilugio, comprobó que el espacio recorrido depende del cuadrado del tiempo, escribiendo la primera función de la historia.
La primera definición formal de función se debe a Euler, quien en el libro Introductio in analysis infinitorum, publicado en 1748, dice:
“Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes”.
En 1755 en Institutiones calculi differentialis, vuelve sobre el tema acercándose más a la que hoy utilizamos.
Monotonía de una función
Funciones continuas y discontinuas
Función lineal y constante
Ecuación explícita de una recta
Ecuación punto-pendiente
Representación gráfica de una parábola
Rincón de curiosidades
Amor Matemático
Amor Matemático
Hace un tiempo me enseñaron las coordenadas polares. Como “dato curioso”, me enseñaron algunas funciones curiosas. Dichas funciones fueron: “3 Cos[5θ]” y “4-4 Sin[θ]” . Si uno las grafica a mano, carecen de sentido dichos puntos. Pero no es hasta que se les da un orden a las líneas (o curvas) que se pueden ver figuras que podemos identificar fácilmente (las funciones están hechas para que solamente las copien, peguen y ejecuten en Mathematica, versión 6 en particular):
PolarPlot[3 Cos[5 θ],{θ,0,2 Pi}]:
PolarPlot[4-4 Sin[θ],{θ,0,2 Pi}]
Haciendo un cambio en la primera función, y agregándole algunas otras cosas más en Mathematica, obtenemos algo más “bonito”:
PolarPlot[3 Sin[5 θ],{θ,0,2 Pi},Mesh->1,PlotStyle->Directive[Red,Thick],MeshStyle->Directive[PointSize[.1],Yellow]]
PolarPlot[4-4 Sin[θ],{θ,0,2 Pi},PlotStyle->Directive[Red,Thick]]
Así es, son una flor y un corazón (o lo que parece ser). Pero, la última función no parece reflejar muy bien la imagen que tenemos de un “corazón romántico”. En una de mis búsquedas por Internet, me topé con un post sobre funciones que modelaban la bomba de sangre que tenemos en nuestro cuerpo. El post decía que solamente teníamos que copiar las funciones y correrlas en Mathematica.
Error. Copié dichas funciones y NO pude hacerlas correr apropiadamente. No fue sino luego de un buen rato que corregí los errores que tenían las funciones. Me sorprendió mucho el resultado de dichas gráficas (que por cierto, no están en coordenadas polares). Las funciones son las siguientes:
f[x_]:=Sqrt[(1-(Abs[x]-1)2)]
g[x_]:=ArcCos [(1-Abs[x])]-Pi
Plot[{f[x],g[x]},{x,-Pi,Pi}]
Nota: deben de declarar primero las funciones f(x) y g(x) que están en función de x, y ya luego correr el plot (o lo pueden plotear sin invocar las funciones, haciéndolo directamente).
Y el resultado es (con algunas monerías de color de Mathematica, ya mejorado por mí):
Plot[{f[x],g[x]},{x,-2,2},AspectRatio->Automatic,PlotStyle->{{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.03]},{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.03]}},Axes->False,Filling->Axis,FillingStyle->{Red}]
Pero… ¿Y si queremos más? En el mismo post estaba la función que representaba al corazón en 3D (con algunos errores), y aquí está la modificación para que la puedan correr sin problemas:
ContourPlot3D[(2 x^2+y^2+z^2-1)^3-1/10 x^2 z^3-y^2 z^3-==0,{x,-1.3,1.3},{y,-1.3,1.3},{z,-1.3,1.3},Axes->False,ContourStyle->Directive[Red,Opacity[0.8]],Boxed->False]
Pero todavía quedan unas líneas que molestan un poco. Luego de investigarle un poco en Mathematica, di con la solución:
ContourPlot3D[(2 x^2+y^2+z^2-1)^3-1/10 x^2 z^3-y^2 z^3==0,{x,-1.3,1.3},{y,-1.3,1.3},{z,-1.3,1.3},MaxRecursion->8,Axes->False,ContourStyle->Directive[Red,Opacity[0.8],
Specularity[White,100]],Boxed->False,Mesh->None]
ADVERTENCIA: La opción de MaxRecursion causa que la computadora piense demasiado. Para intentar por primera vez, tal vez quisieran bajarle el nivel a 1 ó a 3. Esta opción hace que se le “eliminen” ciertas manchas que aparecen al unir las funciones del corazón. Debo admitir que en el intento de hacer este post, se me alentó la computadora 5 veces… Cuidado con las cosas en 3D. Recomiendo NO hacer otras cosas aparte de Mathematica.
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