Historia de los sistemas de ecuaciones lineales.
Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida.
Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:
1/4 anchura + longitud = 7 manos
longitud + anchura = 10 manos
Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminación. En nuestra notación, sería:
y + 4x = 28
y + x = 10
restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18 , es decir, x = 6 e y = 4 .
También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática.
Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas.
Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal.
Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada como hemos señalado anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolución de ecuaciones por Diophante es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos.
Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones.
El libro El arte matemático , de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.
ECUACIÓN LINEAL CON 2 INCÓGNITAS
COMPROBAR SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES POR EL MÉTODO GRÁFICO
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
MÉTODO DE IGUALACIÓN
MÉTODO DE REDUCCIÓN
RESOLVER PROBLEMAS USANDO SISTEMAS DE ECUACIONES
FICHA INTERACTIVA SOBRE ECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS
FICHA INTERACTIVA ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS Y COMPROBAR SOLUCIONES SISTEMAS DE ECUACIONES
FICHA INTERACTIVA COMPROBAR SOLUCIONES SISTEMAS ECUACIONES
FICHA INTERACTIVA MÉTODO GRÁFICO I
FICHA INTERACTIVA MÉTODO GRÁFICO II
FICHA INTERACTIVA MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
FICHA INTERACTIVA MÉTODO DE IGUALACIÓN
FICHA INTERACTIVA MÉTODO DE REDUCCIÓN
FICHA INTERACTIVA RESOLVER PROBLEMAS CON SISTEMAS DE ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad matemática formada por dos expresiones que contienen una o más incógnitas que pueden despejarse (resolverse) a través de una sucesión de operaciones matemáticas. Dicho así, habrá muchos que levanten una ceja en señal de incomprensión o duda y maldigan para sus adentros ese antiguo enemigo de la época escolar que son las matemáticas. Esta es, probablemente, una de las ciencias formales más incomprendidas por la sociedad y sin embargo más básicas para comprender el mundo que nos rodea y el universo en que habitamos. Las matemáticas son el engranaje central que hace que giren todos los demás elementos que forman el cosmos.
Sin esa ciencia abstracta, no hubiese sido posible desarrollar o comprobar gran parte del conocimiento que tenemos en otros campos como la física, la química, la ingeniería e incluso la medicina y las ciencias sociales. Las leyes de la naturaleza y las leyes artificiales son expresiones de un fenómeno explicadas por las matemáticas para que el ser humano las pueda comprender (o al menos intentarlo). Lo que a primera vista no es más que una sucesión de letras, números y símbolos que suponemos que tienen un orden determinado, esconde en realidad las respuestas a preguntas que la humanidad lleva planteándose desde hace mucho tiempo.
Tal vez esas ecuaciones sean desconocidas para aquellas personas que no estudian el campo correspondiente o que no tienen un verdadero interés por el tema, pero una rápida búsqueda en Internet o en un libro hará que nombres como Pitágoras, Newton, Maxwell o Einstein comiencen a sonarnos de forma lejana. La llamada “cultura popular” hace que estos nombres sean reconocibles en casi cualquier parte del mundo, aunque no todos podamos comprender en qué consistió el trabajo de estos genios de su tiempo. Con el objetivo de hacer un poco más accesible el trabajo de matemáticos, físicos o ingenieros el científico Ian Stewart ha reunido un listado con algunas de las ecuaciones que cambiaron el mundo.
Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras lidera la lista de las 17 ecuaciones que han cambiado el mundo. Formulada en el año 530 antes de Cristo por Pitágoras, en ella se describe la relación entre los lados de un triángulo rectángulo en una superficie plana, conceptos esenciales para la comprensión de la geometría. Gracias a él se conectó el álgebra y la geometría.
Logaritmos
En el segundo puesto de las 17 ecuaciones que han cambiado la historia se encuentran los “logaritmos” descritos en 1610 por John Napier. Gracias a los logaritmos y hasta el desarrollo de los ordenadores, esta base de cálculo fue la más rápida para multiplicar grandes cantidades ya que permitió simplificar operaciones muy complejas.
Cálculo
El tercer puesto de las 17 ecuaciones que han cambiado nuestro mundo lo ocupa la base del cálculo, la “fórmula de la definición de la derivada en cálculo”. Descrita por Isaac Newton en 1668, esta ecuación ayudó a comprender el cambio de las funciones cuando sus variables cambiaban.
Ley de la gravedad
El cuarto puesto es para la “ley de la gravedad”. Formulada en 1687 por Isaac Newton, esta ecuación no solo explicaba este fenómeno físico sino que ayudó a comprender el funcionamiento de la gravedad a nivel de todo el universo, unificando en una sola ecuación fenómenos aparentemente tan diferentes como la caída de una manzana y las órbitas de los planetas.
Raíz cuadrada de -1
Seguimos con la “raíz cuadrada de -1”. Leonhard Euler describió esta ecuación en 1750 y dio lugar a los números complejos, esencial para resolver muchos problemas.
Fórmula de los poliedros
En el 6º puesto de las 17 ecuaciones que han cambiado el mundo también se encuentra otra fórmula de Euler. En este caso la “fórmula de los poliedros”, versiones tridimensionales de polígonos como el cubo. La topología nacería gracias a esta ecuación. Fue descrita en 1751.
Distribución normal
En el puesto nº 7 de las 17 ecuaciones que han cambiado la historia se encuentra la “distribución normal”, una ecuación empleada tanto en biología como en física para modelar propiedades. Por ejemplo, describe el comportamiento de grandes grupos de procesos independientes. La ecuación fue formulada en 1810 por Carl Friedrich Gauss, el llamado “Príncipe de las Matemáticas” y es uno de los pilares de la estadística.
Ecuación de onda
La siguiente ecuación que ha cambiado nuestro mundo es la “ecuación de onda” (1746) de Jean le Rond d'Alembert, que no es sino una ecuación diferencial que describe cómo una propiedad está cambiando a través del tiempo en términos de derivado de esa propiedad; esto es, describe la propagación de una variedad de ondas, como las ondas sonoras, las ondas de luz y las ondas en el agua, lo que ayudó enormemente en los campos como el electromagnetismo, la acústica o la dinámica de fluidos, unificando fenómenos tan dispares como la luz, el sonido o los terremotos.
Transformada de Fourier
En el puesto nº 9 de las 17 ecuaciones que han cambiado el curso de la historia se encuentra la “transformada de Fourier”. Jean-Baptiste Joseph Fourier formuló en 1822 esta ecuación que los expertos consideran imprescindible para la comprensión de las estructuras de onda más complejas como puede ser el propio lenguaje humano (esencial en el tratamiento de señales).
Ecuaciones de Navier-Stokes
El 10º puesto de las 17 ecuaciones que han cambiado el mundo lo ocupan las “ecuaciones de Navier-Stokes”. Claude-Louis Henri Navier y George Gabriel Stokes describieron esta ecuación en 1845 para explicar la mecánica de fluidos, con increíbles implicaciones en el mundo de la ingeniería. Es la base de la aerodinámica y la hidrodinámica.
Ecuaciones de Maxwell
En el puesto nº 11 de las 17 ecuaciones que han cambiado el curso de la historia se encuentran las “ecuaciones de Maxwell”, que describen por completo los fenómenos electromagnéticos, el comportamiento y la relación entre la electricidad y el magnetismo. En origen se trataba de 20 ecuaciones pero finalmente fueron unificadas en 4. El responsable de tal avance fue James Clerk Maxwell en 1863.
Segunda ley de la termodinámica
El siguiente puesto lo ostenta la “segunda ley de la termodinámica” de Ludwig Boltzmann. Formulada en 1874, esta ecuación indica que, en un sistema cerrado, la entropía es siempre constante o creciente. Se trata de una de las leyes más importantes de la física y expresa que “la cantidad de entropía del universo tiende a incrementarse en el tiempo”.
Teoría de la relatividad
El puesto nº 13 es probablemente una de las ecuaciones más conocidas de la historia. Se trata de la “teoría de la relatividad” de Albert Einstein. Formulada en 1905, esta archiconocida ecuación cambiaría radicalmente el curso de la física. Así, esta ecuación, por la que Einstein será recordado para siempre, demostró que la masa y la energía eran simplemente dos caras de la misma moneda.
Ecuación de Schrödinger
Nos acercamos al final, y en el puesto 14 tenemos la “ecuación de Schrodinger”. Formulada en 1927 por Erwin Schrödinger, describe la evolución temporal de una partícula masiva no relativista. Así, el espacio no está vacío y cuando una partícula lo atraviesa, la deforma, y el espacio también genera una forma de onda por esta perturbación. La ecuación representa la probabilidad de que en un tiempo determinado se encuentre allí la partícula en las coodenadas X,Y y Z del espacio. En definitiva, describe la evolución de un sistema cuántico.
Teoría de la información
En el puesto nº 15 de las 17 ecuaciones que han cambiado el curso de la historia tenemos la “teoría de la información”, que mide el contenido de información de un mensaje y describe el límite hasta el que se puede comprimir la información. El responsable de esta ecuación fue Claude Elwood Shannon y la fórmula data de 1949.
Teoría del caos
El 16º puesto será conocido por muchos debido a la importancia que esta ecuación tiene en el libro 'Parque Jurásico' de Michael Crichton: la “teoría del caos” de Robert May. Formulada en 1975, la teoría del caos es un campo de estudio en matemáticas, con aplicaciones en varias disciplinas como la física, la ingeniería, la economía o la biología. La teoría del caos estudia el comportamiento de los sistemas dinámicos que son altamente sensibles a las condiciones de origen, un efecto que se conoce popularmente como el efecto mariposa.
Ecuación de Black-Scholes
En el último puesto de las 17 ecuaciones que han cambiado la historia se encuentra la más reciente, la “ecuación Black-Scholes”, que permite a los profesionales de las finanzas valorar derivados financieros. Fue formulada en 1990 por Fisher Black y Myron Scholes y se aplica a las opciones, que son acuerdos para comprar o vender una cosa a un precio específico en una fecha futura determinada.