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NÚMEROS RACIONALES
Historia de las matemáticas
HISTORIA DE LOS NÚMEROS DECIMALES
En el siglo XVI d.C., los matemáticos europeos comenzaron a notar la facilidad con la cual se efectuaban los cálculos con números fraccionarios cuyos denominadores fueran potencias de 10. Por ejemplo:
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Naturalmente, para sumar las fracciones anteriores basta con tomar
10.000 como denominador común y se obtiene
Este tipo de fracción se llama fracción decimal.
Un ingeniero y matemático holandés llamado Simón Stevin inventó en el S. XVI un método para hacer cálculos con fracciones decimales sin usar el denominador. Por ejemplo, escribía
Operaciones básicas con fracciones
como
como
como
Al sumar estos números, obtenía
Aunque su método no llegó a usarse mucho, su idea fue tomada por un gran matemático escocés, Napier, quien desarrolló, a partir de la proposición de Stevin, otra manera de escribir las fracciones decimales.
Al principio, colocó una línea debajo de los dígitos del numerador, de esta manera:
Finalmente, ya en 1617, Napier propuso el uso de una coma o un punto para separar la parte entera de la parte decimal:
Operaciones combinadas con fracciones
Esta última idea de Napier fue la que se adoptó definitivamente para escribir los que hoy se llaman números decimales.
Pasar de número decimal a fracción
Simón Stevin (1548 – 1620)
En la historia de la Matemática , Stevin es conocido como uno de los primeros expositores de la teoría de las fracciones decimales. En la historia de la Física se le conoce por sus contribuciones a la Estática e Hidrostática. Entre los eruditos de su tiempo fue conocido por sus trabajos sobre fortificación e ingeniería militar. Sus contemporáneos le conocieron por la invención de un carruaje con velas que, cargado con veintiocho personas, se movía a una velocidad superior a la de un caballo al galope.
Números decimales
Durante los siglos XVI y XVII, los procedimientos operacionales con números reales se perfeccionaron y extendieron. En Bélgica encontramos a Stevin defendiendo en " La Disme " (Aritmética decimal, 1585) el uso de decimales, en vez de la notación sexagesimal, para escribir y operar con fracciones. Otros -Christoff Rudolff (1500-1545), Vieta, y el árabe al-Kashî (1436)- los habían usado previamente. Escribe 5912 como 5 0 9 1 1 2 2 3, o como 5, 9' 1'' 2'''. Escribía Stevin dentro de un círculo, encima o a continuación de cada dígito, la potencia de 10 que debería llevar como divisor. Así, por ejemplo el valor aproximado de
Calcular x en una proporción
aparecería escrito como 3 0 1 1 4 2 1 3 6 4 o 3 1 4 1 6 y en lugar de las palabras "décima", "centésima", etc., utilizaba Stevin "primo", "segundo", etc., de la misma manera que designamos nosotros aún hoy los diferentes lugares en las fracciones sexagesimales.
Décimas, centésimas, milésimas
En el opúsculo De Thiende (1585), escrito en lengua vernácula y dedicado a los astrónomos, agrimensores, tapiceros, vinateros, geómetras, banqueros y todo tipo de mercaderes, Stevin introdujo el uso sistemático de las fracciones decimales en las matemáticas europeas. Dicho tipo de fracciones ya se habían utilizado por los matemáticos chinos (s. XIII), por el rabino Immanuel Bonfils de Tarascón (ca. 1350), por el matemático alemán Christoff Rudolff (1530), y por el francés F. Viète en 1579. Además, en dicho folleto, Stevin planteó la unificación del sistema de pesas y medidas mediante un método basado en la división decimal de la unidad.
Stevin tenía evidentemente una idea correcta de las fracciones decimales, pero su notación para los diferentes lugares, inspirada por la de Bombelli, era más adecuada para el álgebra que para la aritmética. Pero por fortuna la notación moderna no iba a tardar ya en llegar. En la traducción al inglés de la Descriptio de Napier, en 1616, las fracciones decimales aparecen tal como las escribimos hoy, con un punto decimal para separar la parte entera de la fraccionaria. En su Rhabdologia de 1617, en la que describe la manera de calcular utilizando sus varillas, se refiere Napiere a la aritmética decimal de Stevin y propone un punto o una coma como signo de separación decimal. En la Constructio de Napier de 1619 se consagró el uso del punto decimal en Inglaterra, pero en muchos otros países europeos se continúa utilizando hoy la coma decimal. Vieta perfeccionó y extendió los métodos de efectuar raíces cuadradas y cúbicas. En aritmética Vieta formuló una decidida defensa del uso de las fracciones decimales en vez de las sexagesimales. Así, escribía en una de sus primeras obras, el Canon-mathematicus de 1579:
"Los sexagesimales y los sesentas han de ser usados raramente o nunca en la matemática, mientras que los milésimos y los miles, los centésimos y los cientos, los décimos y los dieces, y las progresiones semejantes, ascendentes y descendentes, deben usarse frecuentemente y aún exclusivamente."
El uso del punto para separar la parte entera de la parte decimal de un número se atribuye o bien a G. A. Magini (1555-1617), en su "De planis triangulis" de 1592, o bien a Christoph Clavius (1537-1612), en una tabla de senos de 1593. Sin embargo, el punto decimal no se popularizó hasta que lo usó Napier más de 20 años después.
El uso de fracciones continuas en aritmética es otro acontecimiento de la época. Podemos rebatir que los hindús -Äryabhata en particular- hubieran usado fracciones continuas para resolver ecuaciones lineales indeterminadas. Bombelli, en su "Algebra" (1572), fue el primero que las usó aproximando raíces cuadradas.
En el siglo XVI d.C., los matemáticos europeos comenzaron a notar la facilidad con la cual se efectuaban los cálculos con números fraccionarios cuyos denominadores fueran potencias de 10.
Finalmente, ya en 1617, Napier propuso el uso de una coma o un punto para separar la parte entera de la parte decimal:
Problemas regla de 3 simple directa e inversa
Repartos directamente proporcionales
Repartos inversamente proporcionales
Esta última idea de Napier fue la que se adoptó definitivamente para escribir los que hoy se llaman números decimales. Sabiendo que el origen de la escritura de los números decimales está vinculado a la necesidad de facilitar los cálculos con fracciones decimales, es bueno notar que luego se encontró la forma de expresar cualquier fracción como un número decimal.
La mayor facilidad para los cálculos radica en que sólo se efectúan las operaciones con números enteros y no ya con fracciones, pues al escribir, por ejemplo,
en la forma decimal, se obtiene (2,5)(0,03) y en realidad esta operación requiere sólo que se multipliquen los números enteros 25x3=75 y luego se le coloca la coma de manera que se obtengan 3 espacios ocupados a la derecha de la coma, y se escribe entonces
Aumentos y disminuciones porcentuales
Es importante saber que, en los tiempos en que esta idea surgió, no existían, por supuesto, calculadoras que ayudaran a los científicos en la realización de cálculos complicados. En ciertas áreas, como en la astronomía, por ejemplo, los cálculos complicados requerían de mucha precisión.
Los números decimales se usaron finalmente, no sólo para representar fracciones decimales, sino cualquier fracción en general.
Rincón de curiosidades
Fracciones sorprendentes
Fracciones sorprendentes
En esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica vamos a hablar de… fracciones.
Se atribuye al escritor ruso León Tolstoi (1828-1910), autor de las novelas realistas Guerra y Paz y Ana Karenina, la siguiente cita:
“Una persona es como una fracción cuyo numerador corresponde a lo que es, en tanto que el denominador es lo que cree ser. Cuanto mayor es el denominador, tanto más pequeño es el valor de la fracción”
También nos encontramos con fracciones, pero dos concretas y con una sorprendente propiedad, en la obra El Paraíso en la otra esquina del escritor peruano, Premio Nobel de Literatura, Mario Vargas Llosa (Editorial Alfaguara, 2003):
“Más grave que el número de oyentes era su composición social. Desde el proscenio, decorado con un jarroncito de flores y una pared llena de símbolos masónicos, mientras monsieur Lagrange la presentaba Flora descubrió que tres cuartas partes de los asistentes eran patrones y sólo un tercio obreros”
Como se observa 3/4 de los asistentes eran patrones y 1/3 eran obreros, pero si sumamos ambas cantidades nos da 3/4 + 1/3 = 13/12, que es mayor que uno. Lo cual es imposible, puesto que la suma de las partes no puede ser mayor que el total, es decir, que 1, pero en el caso de la novela de Vargas Llosa, sale 13/12 que es mayor que 1 = 12/12.
Un divertido diálogo en la misma línea del texto anterior lo encontramos en el extracto de la obra teatral del escritor y cineasta francés Marcel Pagnol (1895-1974), que mi colega Marta Macho nos acercó en su entrada de Matemoción, El tamaño de los tercios.
Dos personajes de la obra, que se encuentran en un bar, conversan sobre como se prepara un cierto cóctel:
“CÉSAR: […] Pues bien, por décima vez, te voy a explicar el Amer Picón-limón-curaçao. (Se instala tras el mostrador.) ¡Acércate! (Marius se aproxima para seguir de cerca la operación. César coge un vaso grande, una jarra y tres botellas. Mientras habla, prepara el brebaje.) Pones primero un tercio de curaçao. Pero ten cuidado: un tercio pequeñito. Bueno. Ahora, un tercio de limón. Un poco más grande. Bueno. Después, un BUEN tercio de Amer Picón. Mira el color. Fíjate qué bonito es. Y al final, un GRAN tercio de agua. Ya está.
MARIUS: Y eso hace cuatro tercios.
CÉSAR: Exactamente. Espero que esta vez hayas entendido. (Toma un trago de la mezcla).
MARIUS: En un vaso, no hay más que tres tercios.
CÉSAR: Pero, imbécil, ¡eso depende del tamaño de los tercios!”
Pero, dejemos la literatura a un lado, y adentrémonos en algunas llamativas fracciones. Dada una fracción cualquiera, esto es, un número racional, podemos realizar la división y obtener el desarrollo decimal asociado a la misma. Recordemos que el desarrollo decimal de un número racional tiene un número finito de decimales, o si es infinito, entonces existe un período finito que se repite.
Opera, Ugo Nespolo, en la que aparece el número pi, que es un número irracional, con infinitos dígitos en su desarrollo decimal, para los que no existe un período finito que se repite
Los primeros ejemplos que vamos a mostrar, son fracciones cuyos desarrollos decimales son curiosos.
10/81 = 0,12345678901234567890…
100/891 = 0,112233445566778899001122…
1000/8991 = 0,111222333444555666777888999000…
Y así se pueden continuar los ejemplos, si le vamos añadiendo 0 en el numerador y 9 en el denominador.
Otra expresión decimal curiosa de una fracción es la siguiente:
100/9801 =
0,010203040506070809 10111213141516171819 20212223242526272829 30313233343536373839 40414243444546474849 50515253545556575859 60616263646566676869 70717273747576777879 80818283848586878889 90919293949596979900…
que tiene un período de 198 dígitos, es decir, los 198 decimales que se ven se van repitiendo hasta el infinito. Además, observemos que falta el “98” en la sucesión de números dentro del período de los decimales. Y también puede llevarse más allá esta fracción, si ahora dividimos 1000 entre 998001.
Otro ejemplo más de este estilo:
1/98 = 0,0102040816326530612244…
Como observamos en los primeros decimales, aparecen las potencias de 2, pero en dos dígitos, así aparece 01, 02, 04, 08, etc… y llega un momento que parece que se deshace, puesto que después de 32 debería seguir 64, pero aparece 65. Eso es porque se le suma el 1 del siguiente número, 128. Aunque al ver la expresión como potencias de dos, puede dar la impresión de que no va a existir un período finito que se repite, lo cierto es que por ser un número racional, sí va a existir ese período. De hecho, este número racional tiene un periodo de 42 dígitos (los que hemos subrayado en el siguiente desarrollo decimal):
1/98 =0,0102040816326530612244897959183673469387755…
Por cierto, una buena calculadora on-line para comprobar estas cuestiones es WolframAlpha.
Algo similar ocurre si se divide 1 por 998, aunque ahora las potencias de 2 aparecen en grupos de tres dígitos, y el período de este número racional es de 498 dígitos.
1/2 (2003), Antoni Tapies
Sigamos con curiosidades relacionadas con las fracciones. En el libro The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (Penguin Press, 1998), su autor David Wells, comenta que existen 12 formas curiosas de utilizar las 9 cifras básicas, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, para escribir la fracción 1/2. Las formas, más pequeña y mayor, son:
6729/13458 y 9327/18654.
En general, podemos plantear el problema recreativo de encontrar fracciones que utilicen las nueve cifras básicas y que sean equivalentes a las fracciones de la forma 1/2, 1/3, 1/4,… , 1/8 y 1/9.
De hecho, este problema aparece en el libro More Mathematical Puzzles of Sam Loyd, editado por Martin Gardner (1960), y en el libro Amusements in Mathematics de Henry Dudeney (1917). Sam Loyd (1841-1911) y Henry Dudeney (1857-1930) fueron dos grandes autores de juegos de ingenio y rompecabezas, que colaboraron durante un tiempo, hasta que Dudeney se quejó de que Loyd le robaba sus creaciones.
Este problema apareció con el nombre “problema de historia” en el libro More Mathematical Puzzles of Sam Loyd, editado por Martin Gardner en 1960
Algunas soluciones al anterior problema recreativo son, por ejemplo,
1/3 = 5823/17469, 1/5 = 2697/13485 y 1/7 = 5274/36918.
Quien quiera puede animarse a intentar resolver este interesante problema de ingenio que nos plantearon Sam Loyd y Henry Dudeney. Al final de la entrada dejo las soluciones para quien esté interesado.
Otra curiosidad similar, tiene que ver con el producto de fracciones. Como todos sabemos, la multiplicación de fracciones sigue la siguiente regla: (a/b) x (c/d) = (a x c / b x d).
Sin embargo, en ocasiones se producen igualdades curiosas, como la siguiente, que leí en el libro La cuadratura del cuadrado (Crítica, 2009), del gran divulgador de las matemáticas, Ian Stewart:
1/4 x 8/5 = 18/45.
que obviamente no es cierta en general, puesto que para otras fracciones como por ejemplo 3/7 y 4/5, lo anterior no ocurre, puesto que el producto es 12/35, que no es igual a 34/75.
Una cuestión interesante que nos podemos plantear es buscar las fracciones para las cuales se cumple una igualdad del tipo anterior, es decir,
(a/b) x (c/d) = (10a + c / 10b + d).
De nuevo, podéis divertiros intentando buscar más ejemplos como el anterior. De hecho, existen ejemplos triviales si consideramos a = b y c = d. Por ejemplo, 7/7 x 5/5 = 75/75.
Y existen 14 soluciones no triviales, que se pueden reducir a 7, si observamos que si (a, b, c, d) es solución, también lo es (b, a, d, c). Las 7 soluciones son: (1, 2, 5, 4), (1, 4, 8, 5), (1, 6, 4, 3), (1, 6, 6, 4), (1, 9, 9, 5), (2, 6, 6, 5) y (4, 9, 9, 8).
Mel Bochner, Continuous/Discontinuous Re-Placements (1972)
Por último, una de las cosas que más suelen divertirnos a las personas que nos gustan las matemáticas, son las cancelaciones anómalas. Expliquemos qué es esto. En general, su tenemos una fracción como, por ejemplo, 19/92, no podemos cancelar los 9 y decir que esa fracción es (equivalente a) 1/2, como es evidente. Sin embargo, existen algunos curiosos casos en los que esto sí ocurre. Por ejemplo,
16/64 = 1/4, 19/95 = 1/5, 26/65 = 2/5, 49/98 = 4/8.
Pero, no solo vale para números de dos cifras, sino incluso mayores:
165/660 = 15/60, 385/880 = 35/80, 495/990 = 45/90,
o incluso mayores aún:
2666/6665 = 2/5 o 143185/1701856 = 1435/17056.
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