SEGUIMIENTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar su relación con el medio que lo rodea. En las siguientes líneas daremos una breve y sustancial descripción acerca de los números enteros en la historia. La noción de cantidad, número y sistema numérico.
Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.
Inicialmente no utilizábamos la notación indo – arábiga (la que actualmente utilizamos) sino representábamos, las cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. Los recursos que utilizábamos
dependían dela cultura donde estábamos ubicados.
Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la Romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas. Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento
o idea, implica mucho en su visión de vida. Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba: “El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”
La facultad de contar está implícita en la aparición del número. Se mencionó que el hombre hacía marcas, aunque a veces los seguimos haciendo, para representar ciertas cantidades, pues esta actividad, que perdura desde tiempos inmemoriales, se formalizó en cada cultura con el número, los símbolos que representan a los números no han sido siempre los mismos, citamos a continuación la simbolización de la cultura China (en especial los números enteros negativos).
Desde épocas remotas 400 a. c., los chinos realizaban sus cálculos aritméticos utilizando pequeñas varillas, colocaban estos numerales concretos (números barras) sobre una superficie plana (tablero de cálculo) llegando así a la creación de numerales posicionales decimales que mostraron desde un principio su gran potencialidad.
Por consiguiente, el concepto de número expresado en palabras se transcribió a una notación posicional sobre un tablero de cálculo. Este hecho jugó un papel muy importante en el paso de un nivel de pensamiento verbal a un nivel generalizado y abstracto, pavimentando así, el camino para el uso de símbolos.
Los nueve dígitos de la notación de número barra eran de dos tipos, dependiendo de la posición, como se muestra en el diagrama siguiente:
LOS NÚMEROS NEGATIVOS
Los números negativos antiguamente conocidos como “números deudos” o “números absurdos”, datan de una época donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza. Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V, en oriente, y no llega hasta occidente hasta el siglo XVI. En oriente se manipulaban números
positivos y negativos, estrictamente se utilizaba los ábacos, usando tablillas o bolas de diferentes colores.
Sin embargo, los chinos no aceptaron la idea de que un número negativo pudiera ser solución de una ecuación. Corresponde a los Indios la diferenciación entre números positivos y negativos, que interpretaban como créditos y débitos, respectivamente, distinguiéndolos simbólicamente.
La notación muy difundida para los números positivos y negativos fue gracias a Stifel. La difusión de los símbolos germánicos (+) y (-), se popularizó con el matemático alemán Stifel (1487 – 1567) en el siglo XV, antes de ello se utilizaba la
abreviatura de p para los positivos y m para los negativos.
Hasta fines del siglo XVIII los números negativos no eran aceptados universalmente. Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falsos”, pero en su Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente. John Wallis (1616 - 1703), en su Aritmética Infinito (1655), “demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que “esos entes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero”.
Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal, en su Anteitung Zur Algebra (1770) trata de “demostrar” que (-1).(-1) = +1; argumentaba que el producto tiene que ser +1 ó -1 y que, sabiendo que se cumple (1).(-1)=-1, tendrá que ser: (-1).(-1)
= +1.
Los números negativos, además complementan o extienden el conjunto de los números naturales, generado por un defecto de los números naturales: la generalidad para la operación de resta y división. Por ejemplo 5 – 9 resulta –4, que
no es natural, no se cumple entonces la propiedad de clausura o cerradura en los naturales.
El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, en general, la operación de resta crea otro conjunto, que viene hacer el conjunto de los números negativos. Los números naturales junto con los negativos formarán luego el conjunto de los
números enteros; es decir los números naturales complementados con los naturales.
Dónde:
Los enteros positivos, se denota con Z+ .
Los enteros negativos, se denota con Z
El cero no tiene signo, es neutro.
La distancia del cero a un número entero positivo +a, será la misma que la de un negativo –a; ambos entonces de igual magnitud. Así esto es denominado como valor absoluto. El cero es aquel número entero que no posee ningún signo respectivo, vale decir no es positivo ni negativo; más aún es el nexo entre estos dos. Entonces los números enteros se representan por Z y está formado por los números naturales y sus “opuestos” (los números negativos). Esto es:
Z = {...,-3,-2,-1, 0,1,2,3,...}
LOS NÚMEROS ENTEROS
En la vida se nos presentan muchas veces situaciones que no pueden expresarse mediante los números naturales. En este caso se necesitan otro tipo de números, que son los números enteros.
Los números enteros son:
→ Positivos: +1, +2, +3, +4, +5, ....
→ Negativos: -1, -2, -3, -4, -5, ....
→ El cero: 0. (El cero es el único número que no es ni positivo ni negativo).
Su utilidad:
- Valores de temperaturas (-7º, siete grados por debajo de cero; +3º, tres grados por encima de cero).
- Plantas de edificios (-1, planta por debajo de la calle; +5, cinco plantas por encima).
- Los años en las líneas del tiempo (-1.500 = 1.500 años a.C.).
- Deudas.
- Profundidades bajo el nivel del mar
LOS NÚMEROS POSITIVOS
Expresan situaciones relacionadas con ‘sumar’, ‘tener’, ‘estar por encima de’, etc. En cambio, los negativos se relacionan con situaciones de ‘restar’, ‘deber’, ‘estar por debajo de’, ‘gastar’, etc.
Los números enteros positivos (+2, +6…) se pueden escribir sin usar el signo (2, 6…)
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
PRIMOS Y COMPUESTOS
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
¿CUÁNTOS DIVISORES TIENE UN NÚMERO?
MCD Y MCM DE VARIOS NÚMEROS
PROBLEMAS DE MCD Y MCM
CONCEPTO DE NÚMERO ENTERO
VALOR ABSOLUTO Y OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
SUMAS Y RESTAS CON PARÉNTESIS
MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES DE NÚMEROS ENTEROS
OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS I
OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS II
OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS III
JUEGO ONLINE PRIMOS Y COMPUESTOS
JUEGO DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
JUEGOS ONLINE DE TODOS LOS NÚMEROS ENTEROS
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JUEGO ONLINE SUMAR Y RESTAR ENTEROS CON PARÉNTESIS
JUEGO ONLINE MULTIPLICAR Y DIVIDIR NÚMEROS ENTEROS
JUEGO ONLINE OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS
EJERCICIOS INTERACTIVOS OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
La respuesta es sí y no, depende del enfoque que se adopte. Mientras que nadie discute que 1 es un número natural y que el 0 es un número entero si existen discrepancias en cuanto a la naturaleza del 0. Considerar que 0 es un ℕ o que 0 no es ℕ es una cuestión de conveniencia que, en gran medida, depende del nivel y la naturaleza del curso de matemática que se desarrolla. El docente debe conocer ambos enfoques y adoptar uno de ellos dando razones del porqué de su elección. En las siguientes líneas haremos una breve descripción de estos enfoques.
Un primer enfoque señala que el cero no es un número natural. El argumento se basa en lo “natural” de los números naturales. Los naturales fue el primer conjunto numérico que creó el hombre. No es descabellado pensar que el hombre primitivo tenía el sentido del número. Esto es la facultad que “le permite reconocer que algo ha cambiado en una pequeña colección cuando, sin su conocimiento directo, se ha sacado o añadido un objeto” (Dantzig, 1971). El hombre establece relaciones de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos. Al primer objeto de un conjunto se le asocia un objeto del otro conjunto, al segundo objeto se le asocia otro y así hasta agotar el número de objetos del primer conjunto. Por ejemplo haciendo una pila de piedras colocando una tras otra por cada objeto registrado de la colección. Nace la idea del número cardinal. De aquí que representar lo que se ve para registrar el número de objetos de cierta colección decanta como algo natural. Incisiones sobre un árbol, marcas en arcilla y rayas en piedras resultaron formas naturales de registrar números en forma escrita. Evidencia de esto son el registro de números naturales en los documentos dejados por los sumerios alrededor del 3500 a.C. En la escritura cuneiforme solo existían símbolos para los números 1, 10, 60 y 3600 (Bellos, 2011), no existía una representación del cero. Lo mismo podemos decir de los egipcios, babilonios y romanos. La representación del número cero nos llega mucho después, sobre todo como una necesidad de la representación posicional. Según Dantzig (1971) “la mente concreta de los antiguos griegos no podía concebir el vacío como un número” menos aún dotarlo de un símbolo. Se atribuye a los hindúes el descubrimiento del cero por la necesidad de representar números sin ambigüedad. Se debe a ellos el uso del cero, no sólo como cifra numérica, sino como símbolo operatorio (Rey y Babini, 1951).
La representación del cero en la matemática hindú o incluso por los mayas (quienes representaban el cero con un signo semejante a una concha) no es un argumento a favor de ser un número natural. Sin embargo, históricamente esto muestra que el hombre necesitó de varios siglos para comprender su significado, necesidad e importancia a diferencia de otros números. Bajo este enfoque el cero no es un número natural. Mientras que resulta natural representar lo que se ve, no parece ser natural representar lo que no se ve. Lima, en su encantador libro mi profesor de matemática, escribe que no ayuda a la discusión examinar si el número cero es o no natural en oposición a artificial. Señala que “los nombres de las cosas en matemática no son escogidos generalmente de modo que transmitan una idea sobre lo que deben ser esas cosas” (Lima, 1998). De aquí que a continuación describimos argumento más fuerte del porque no se considera el cero como un número natural. Considerar cero como natural o no es una decisión que se arrastrará a lo largo de un curso de cálculo diferencial e integral. Esto debe evitar contradicciones internas. Un concepto importante en el cálculo es el de sucesión. Una sucesión de números reales es un conjunto de números escritos en un orden definido y suele definirse como una función cuyo conjunto de partida es el conjunto de los números naturales (f :ℕ®ℝ). Así a cada número natural n le corresponde un término an=f (n)de la sucesión. El concepto de sucesión permite definir punto de acumulación. A su vez este permite definir el del límite de una función y con ello dos conceptos fundamentales del cálculo: derivada e integral definida. En toda sucesión infinita se puede reconocer un primer término a1, un segundo término a2, un tercero a3 y así sucesivamente. Como vemos la definición de sucesión considera al conjunto ℕcomo empezando desde el número uno, no desde el cero. Luego, bajo este enfoque, el cero no es un número natural.
Un segundo enfoque señala que el cero es un número natural. Este enfoque está asociado con la aritmética de Peano (1858-1932) quien a partir de tres ideas (cero, número y sucesor) y cinco axiomas expresa los principios esenciales de los números naturales. Los cinco axiomas (o proposiciones primitivas como lo llama Rusell) son:
0 es un número.
El sucesor de cualquier número es un número.
Dos números distintos no tienen nunca el mismo sucesor.
0 no es el sucesor de ningún número.
Toda propiedad perteneciente al 0 así como al sucesor de todo número que posea esta propiedad, pertenecerá igual a todos los demás números.
Entendemos por sucesor el número siguiente en el orden natural. El sucesor de 0 es 1, el sucesor de 1 es 2, el sucesor de 2 es 3 y así sucesivamente. Queda claro que, bajo este enfoque, el 0 es un número natural. Russell en su Introducción a la Filosofía Matemática (1988) lo dice claramente:
“Actualmente, para la persona medianamente instruida, el punto de partida obvio de la matemática sería la serie de los números enteros:
1, 2, 3, 4, … etc.
Probablemente, sólo a una persona con algunos conocimientos de matemática se le ocurriría empezar por el 0 y no por el 1; pero aquí presupondremos este grado de conocimiento y partiremos de la serie:
0, 1, 2, 3, … n, n+1, …
y a esta serie nos referiremos cuando hablamos de la serie de los números naturales”
Peano no definió los términos “cero”, “número” ni “sucesor”. Por lo que aceptamos los axiomas de Peano suponiendo la comprensión de estos términos. Russell (1988), busca definir el término “número” basándose en la idea de clase (o colección) señalando que “número es todo aquello que sea el número de alguna clase”, donde “número de una clase es la clase de todas las clases similares a ella” y que “una clase es similar a otra cuando existe una relación biunívoca de la cual una clase es el dominio y la otra es el dominio inverso”. Estas definiciones nos llevan a considerar un número natural como el cardinal de un conjunto. Bajo este enfoque el cero es un número natural. Dado que existe el conjunto vacío y este no tiene ningún elemento, entonces cero es el cardinal del conjunto vacío. Los números naturales sirven de especie básica de números a partir de la cual puede derivarse otros conjuntos numéricos. Reconociendo que este término tiene cierta ambigüedad (en tanto algunos incluyen el cero entre los números naturales y otros no), Barker (1965) señala que “debemos contar con él”. La teoría de conjuntos requiere considerar al cero como cardinal del conjunto vacío. El álgebra lo necesita para definir el elemento neutro aditivo (a+0=a, “Îℕ) y permitir que al operar a–bresulte un número natural “a,bÎℕ tal que a³b. Así cuando el algebrista considera el cero como número natural, está facilitándose la vida, eliminando algunas excepciones (Lima, 1998).
Es conocido el esfuerzo hecho por Russell y Whitehead para dotar a la matemática del formalismo que permita derivar conocimientos a partir de un conjunto de axiomas. Se introducen términos matemáticos que se definen por medio de otros términos. Basta con revisar la definición de número dada por Russell para quien “la matemática pura consiste únicamente en afirmaciones tales como, si de algo se puede decir tal cosa y tal otra, entonces para este algo se cumple esto y aquello” (citado por Paulos, 2003). Sin embargo excedernos en el formalismo, sacrificando concreción por abstracción, puede llevar al docente a un terreno no deseado cuyo costo generalmente lo paga el estudiante. Considerar el cero como un número natural es cuestión de conveniencia. Los docentes debemos tener en cuenta el nivel educativo y el programa del curso de matemática para adoptar un enfoque. Es recomendable que en una misma institución se adopte el mismo enfoque a lo largo de la carrera. No debería ocurrir que existan contradicciones. De ser el caso los estudiantes deben conocer los dos enfoques y el docente sustentar el por qué adopta uno de ellos. Tampoco debería ocurrir que esta discusión se extienda más allá de lo necesario. Con frecuencia los docentes hacen un pequeño comentario, casi como si se tratara de una nota al pie de página, mencionando que existe otro enfoque distinto al adoptado. Esto debe hacerse con mucho cuidado ya que si bien protege al profesor de posibles críticas también puede confundir al estudiante si este no tiene la suficiente madurez matemática.