UNIDAD 6

Como los sólidos poliedros están formados por polígonos, es decir el Tetraedro, el Octaedro y el Icosaedro está formado por 3, 8 y 20 triángulos equiláteros respectivamente, el cubo o hexaedro está formado por 6 cuadrados y el Dodecaedro está formado por 12 pentágonos, el origen de la problemática puede estar en las figuras planas como son el triángulo, el cuadrado y el pentágono, entonces es necesario conocer un poco de la historia.

Algunas civilizaciones como la egipcia y la babilónica tenían conocimiento más explícitos de algunos de estos poliedros (cubo, tetraedro, octaedro, pirámide,….). Una evidencia de ello la encontramos en las famosas pirámides egipcias, santuarios de eternidad de los faraones, en donde ya comienza a ponerse de manifiesto la conexión entre los poliedros y ciertos aspectos religiosos y místicos.

Estos conocimientos pudieron haberse propagado desde Egipto y Babilonia a Grecia a través de los viajes de Tales y Pitágoras.

Los Pitagóricos estaban magnetizados por los poliedros conocidos, pero sobre todo, por el dodecaedro y por su relación con el cosmos. ”la divinidad se disgustó con el que divulgó las doctrinas de Pitágoras, de tal forma que pereció en el mar, por el sacrilegio cometido, el que reveló como se inscribía en una esfera la constitución del dodecaedro”.

La razón de este encanto se debe a su relación con el pentagrama místico (pentalfa) o estrella de 5 puntas, emblema de la salud y símbolo de identificación de los Pitagóricos. Esta estrella se obtiene al trazar en un pentágono regular las diagonales. Una de las bellas propiedades que tiene el pentagrama es que los cortes entre las diagonales determinan segmentos que están en proporción áurea (divina proporción), siendo el segmento mayor igual al lado del pentágono. Entonces aparece en muchas obras arquitectónicas emblemáticas a lo largo de la historia: el Partenón, la gran muralla China, el castillo de Windsor, la Plaza de la Concordia en París,…

Aunque Proclo atribuye a Pitágoras la construcción de las figuras “cósmicas” que relacionan los 4 elementos primarios (fuego, tierra, aire y agua) con el tetraedro, el cubo, el octaedro y el icosaedro, respectivamente, parece que esto es poco probable, ya que Empédocles de Agrigento fue el primero que distinguió los cuatro elementos primarios. Al parecer los Pitagóricos sólo conocían el tetraedro, el cubo y el dodecaedro. El icosaedro y el octaedro se atribuyen a un amigo de Platón, Teeteto, a quien se debe el estudio sistemático de los cinco poliedros regulares. Los poliedros regulares (el tetraedro, el cubo, el icosaedro, el octaedro y el dodecaedro) se llaman sólidos platónicos por el papel que tiene en el diálogo de Platón (Timeo) en donde se pone de manifiesto la relación entre los cuatro primeros sólidos platónicos y los 4 elementos primarios. Del quinto poliedro regular, el dodecaedro, dice:“Quedaba aún una sola y única combinación; el Dios se sirvió de ella para el Todo cuando esbozó su disposición final” Para Platón la belleza de los poliedros regulares no reside en su apariencia física, sino en el ámbito del pensamiento matemático: “cada uno de los 5 sólidos participa en la idea de sólido regular e inversamente esta idea se plasma en 5 casos particulares” ( La República).

Euclides mejoró los trabajos de Teeteto en relación con los sólidos platónicos, probando que los únicos poliedros convexos regulares (con caras y figuras vértices iguales) eran los sólidos platónicos. De hecho, este resultado es importante en la historia de las Matemáticas ya que constituyen el primer ejemplo de teorema fundamental de clasificación: “Ninguna otra figura, además de estos cinco (los sólidos platónicos) se pueden construir con polígonos equiláteros y equiángulos”. Su demostración es muy simple, ya que si tenemos un poliedro regular con m polígonos regulares de n lados que confluyen en cada vértice, entonces la suma (m sumandos) de los ángulos ( (n-2)180º/n) que determinan las aristas en un vértice es menor que 360º