TEMA 1: ARITMÉTICA

Historia de los logaritmos

Arquímedes y Stifel, los precursores

Los orígenes del descubrimiento, o invención, de los logaritmos se remontan hasta los estudios de Arquímedes referidos a la comparación de las sucesiones aritméticas con las geométricas.

Para comprender tal comparación veamos, por ejemplo, las siguientes dos sucesiones:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1.024 2.048 4.096 8.192 16.384

A los números de la sucesión primera, que es aritmética , los llamaremos logaritmos ; a los de la sucesión de abajo, que es geométrica , los llamaremos antilogaritmos .

Según la regla de Arquímedes, " para multiplicar entre sí dos números cualesquiera de la sucesión de abajo, debemos sumar los dos números de la sucesión de arriba situados encima de aquellos dos. Luego debe buscarse en la misma sucesión de arriba el número correspondiente a dicha suma. El número de la sucesión inferior que le corresponda debajo será el producto deseado".

Esta comparación de dos sucesiones vuelve a aparecer en el siglo XVI en los trabajos de un matemático alemán, el suavo Miguel Stifel (1487-1567), que publicó en Nuremberg su "Arithmetica integra" en 1544. En esta obra se encuentra por primera vez el cálculo con potencias de exponente racional cualquiera y, en particular, la regla de la multiplicación:

a n • a m = a n+m , para todo n, m racionales.

Stífel entrega también la primera tabla de sucesiones (aún no se llamaban logaritmos) que existe, aunque en forma muy rudimentaria. Contiene sólo los números enteros desde −3 hasta 6, y las correspondientes potencias de 2:

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 64

A los números de la sucesión superior los denominó exponentes .

En una parte de su libro Stifel hace la siguiente observación: "Se podría escribir todo un libro nuevo sobre las propiedades maravillosas de esos números, pero debo ponerme coto a mí mismo en este punto y pasar de largo con los ojos cerrados". Más adelante agrega: "La adición en la sucesión aritmética corresponde a la multiplicación en la geométrica, lo mismo que la sustracción en aquélla corresponde a la división en ésta".

Por ejemplo, si se tuviera que multiplicar 2 por 16, sólo se tendría que sumar los números de la sucesión aritmética que se hallan encima de aquéllos, es decir, 1 y 4, obteniéndose 5. Debajo de éste encontramos el número 32 de la sucesión geométrica, que es el resultado de la multiplicación. Para efectuar una división se realiza una sustracción. Así, 256 dividido 32, se hace 8 - 5 = 3, debajo del cual se ve el número 8, que es el resultado de la división.

La potenciación, llamada por Stifel "multiplicación por sí mismo", se efectúa por la suma "consigo mismo" del correspondiente número aritmético. Es decir, para hacer 4 3 se suma tres veces el número 2, que en la sucesión aritmética es el correspondiente al número 4 de la geométrica. O sea, 2 + 2 + 2 = 6 ó 2 • 3 = 6, debajo del cual encontramos el 64. La radicación se obtiene mediante la división. Así, la raíz cúbica de 64, se obtiene dividiendo al número 6 (que es el correspondiente aritmético de 64) por 3. Es decir, 6 : 3 = 2, debajo del cual encontramos el 4.

Durante la última parte del siglo XVI, Dinamarca llegó a ser un importante centro de estudios sobre problemas relacionados con la navegación. Dos matemáticos daneses, Wittich y Clavius (cuya obra De Astrolabio se publicó en 1593), sugirieron la aplicación de las tablas trigonométricas para abreviar los cálculos (mediante la utilización de las fórmulas del seno y del coseno de la suma de dos ángulos). Este recurso de cálculo sirvió probablemente de inspiración al escocés John Napier (1550-1617), cuyo nombre latinizado es Neper , en la deducción de un método sencillo para multiplicar senos de ángulos por un proceso de adición directa.

Con las palabras del propio Napier: "... viendo que no hay nada más problemático en la práctica matemática y nada más molesto que hacer cálculos, multiplicaciones, divisiones, raíces cuadradas y cúbicas de números muy grandes... he trabajado arduamente en resolver esos problemas..."

Fue así como pasó veinte años obteniendo exponenciales de diversas funciones trigonométricas ya que se empleaban mucho en cálculos astronómicos. Este proceso hizo que llamara a esos números "logaritmos" (que quiere decir "números proporcionados"), palabra con que todavía hoy se los conoce.

Su libro "Descripción del maravilloso canon de los logaritmos", publicado en 1614, en el que explicaba el invento, fue un exitazo.

El descubrimiento de Napier fue ávidamente acogido por los astrónomos Tycho Brahe y Johann Kepler.

Un admirador de Napier, Henry Briggs (quien fue el primero que hizo las tablas logarítmicas en base 10), en el año 1631, en su obra Logarithmall Arithmetike , explica el objetivo de la invención de los logaritmos:

"Los logaritmos son números inventados para resolver más fácilmente los problemas de aritmética y geometría... Con ellos se evitan todas las molestias de las multiplicaciones y de las divisiones; de manera que, en lugar de multiplicaciones, se hacen solamente adiciones, y en lugar de divisiones se hacen sustracciones. La laboriosa operación de extraer raíces, tan poco grata, se efectúa con suma facilidad... En una palabra, con los logaritmos se resuelven con la mayor sencillez y comodidad todos los problemas, no sólo de aritmética y geometría, sino también de astronomía."

LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

VALOR ABSOLUTO Y DISTANCIA ENTRE DOS NÚMEROS

INTERVALOS Y SEMIRRECTAS

PROPIEDADES DE LOS RADICALES

EXTRAER E INTRODUCIR FACTORES EN UN RADICAL

MULTIPLICAR Y DIVIDIR RADICALES

SUMA Y RESTA DE RADICALES

RACIONALIZAR RADICALES

DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS II

EJERCICIOS RESUELTOS CON LOGARITMOS

INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

TODO SOBRE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS