2. Historia del Concepto de Función

Kleiner en un artículo (1989) opina que el concepto de función se remonta 4000 años atrás, y que la noción de función no surgió en forma explícita sino hasta principios del siglo XVIII y en el transcurso de casi 200 años (1450-1650 D.C.)

Por otro lado, Youschkevitch (1976) distingue varias etapas principales del desarrollo del concepto de función hasta la mitad del siglo XIX. Siguiendo un poco la idea de Youschkevitch en nuestro estudio consideramos las siguientes etapas:

La Antigüedad: En la cual considera principalmente la Matemática Babilónica (2000 a. c. –600 a. c.) y la Griega.

La Edad Media: La cual se divide en dos fases; la Fase Latina (500-1200) y la no Latina (1200-1500).

Período Moderno: En el que se distingue a partir del siglo XVIII cuatro etapas principales en el desarrollo del concepto de función.

2.1. La antigüedad

Mientras Pedersen (1974) opina que los matemáticos babilónicos poseyeron un auténtico "instinto de funcionalidad", ya que una función no sólo es una fórmula sino una relación más general que asocia elementos de dos conjuntos, y esto si está presente en las numerosas tablas de cálculos de los babilónicos Youschkevitch, asegura que no hay ninguna idea en general de función en esta matemática.

En los elementos de Euclides los objetos matemáticos y las relaciones son estáticos. Esto condujo a las proporciones y ecuaciones, pero no a las funciones, se consideran a los números enteros y discretos, y a las magnitudes continuas. Esto hace difícil construir la noción de función, puesto que los números, así considerados, sólo permitían construir una ilustración discretizada de los fenómenos de la naturaleza.

En esta etapa se llevan a cabo estudios sobre diversos casos de dependencias entre cantidades de diferentes magnitudes, sin embargo, no se llegaron a aislar las nociones generales de cantidad variable y de función.

Para algunos investigadores, cualesquiera que hayan sido las causas y circunstancias que condujeron a las características de la ciencia antigua, el pensamiento matemático de la antigüedad no creó una noción general de cantidad variable o de una función (Youschkevitch 1976, pág. 40).

2.2. La edad media

El desarrollo del concepto de función en el período medieval se puede dividir en dos partes: una fase no latina desde el año 500 hasta el 1200, y una fase latina, aproximadamente desde el año 1200 hasta el 1500.

Las contribuciones del Período no Latino incluyendo las matemáticas Hindús y Árabes, caen en el campo del álgebra y la trigonometría. Encontraron soluciones de ecuaciones con una incógnita. Pero, la idea de variable no surgió, y de este modo, no se consideró que una ecuación con dos incógnitas establecía una relación funcional entre dos variables (Boyer, 1946).

En el Período Latino a partir del siglo XIII hasta bien entrado el período moderno aparecieron con notable regularidad tratados sobre proporciones. Estos trabajos equivalen a un álgebra de relaciones del tipo , donde n tiene un valor racional. . Esta teoría de proporciones fue básica en todas las ciencias cuantitativas hasta la época de Newton (Boyer, 1946, pág. 9). Por su parte Oresme intentó dibujar también ciertas funciones para las cuales la tasa de cambio no era constante, las gráficas en estos casos eran líneas quebradas o curvilíneas. La latitud de formas representó una teoría primitiva de funciones en la que esta tenía que ver con la dependencia de una cantidad variable sobre otra.

Pero les faltó el lenguaje del álgebra con el cual expresar la ley de variación o la correspondencia funcional (Boyer, 1946, pág. 10).

2.3. Periodo Moderno

En el transcurso de 200 años (1450-1650) ocurrieron una serie de desarrollos que fueron fundamentales para el surgimiento del concepto de función:

• La unión del álgebra y la geometría;

• La introducción del movimiento como un problema central en la ciencia;

• La invención del álgebra simbólica, y

• La invención de la geometría analítica (Kleiner, 1989, pág. 283)

Esto es en el siglo XVII surge una ciencia matematizada que sugiere una "visión dinámica y continua de la relación funcional, en oposición a la visión estática y discreta sostenida por los antiguos" (Kleiner, 1989, pág. 283).

La palabra "función" apareció por primera vez en los manuscritos de Leibniz de agosto de 1673, la introdujo para designar un objeto geométrico asociado con una curva, v. g. coordenadas de un punto sobre la curva o la pendiente de una curva (Youschkevitch, 1976, pág. 56) y en 1718 Johan Bernoulli en un artículo dio la primera definición formal de función como:

"Por función de una cantidad variable, denotamos aquí una cantidad construida de un modo u otro con esta cantidad variable y constantes".(Rüthing, 1984.)

A partir del siglo XVIII se perciben cuatro etapas principales en el desarrollo del concepto de función. Matemáticos prominentes están asociados con cada una de estas etapas.

2.4. Primera Etapa

En la primera etapa donde la función es una ecuación o fórmula está asociada con Euler (1707-1783). Euler definió una función siguiendo la definición dada por su maestro Bernoulli como:

"Por función de una cantidad variable denotamos aquí una expresión analítica construida de un modo u otro con esta cantidad variable y números o constantes" (Rüthing, 1984, pág. 72).

Mérito grande de Euler es el de incluir expresamente las funciones implícitas además de las explícitas./

Esta noción de función permaneció sin cambio hasta los inicios de 1800 cuando Fourier en su trabajo sobre las series trigonométricas, encontró relaciones más generales entre las variables.

2.5. Segunda Etapa

En 1822 Fourier dio un paso revolucionario en la evolución del concepto de función, al dar una definición de función en la que hacía notar que lo principal era la asignación de valores para la función; que ésta asignación fuera llevada a cabo por una o varias fórmulas no era de importancia.

La definición de Fourier es:

"En general, la función f(x) representa una sucesión de valores u ordenadas cada una de las cuales es arbitraria. Para una infinidad de valores dados a la abscisa x, hay un número igual de ordenadas f(x). Todas tienen verdaderos valores numéricos, ya sean positivos o negativos o nulos. No suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una ley común; se siguen una a la otra, de cualquier manera, como sea, y cada una de ellas está dada como si fuera una cantidad única" (Rüting, 1984.)

2.6. Tercera etapa

En 1829 Dirichlet llega a formular por primera vez el concepto moderno de función de una variable independiente en un intervalo a < x < b. ()yfx=

Esta definición fue extremadamente general, no decía ni una sola palabra sobre la necesidad de dar a la función por medio de una formula, sobre todo el dominio de definición. Definió función de la siguiente forma:

Dominio y recorrido de una gráfica

Continuidad de una función

Monotonía de una gráfica

Máximos y mínimos de gráficas

Funciones lineales y afines I

Funciones lineales y afines II

Gráfica de una función cuadrática I

Gráfica de una función cuadrática II