(Leonardo Bigollo, llamado también Leonardo Fibonacci, Leonardo Pisano, Leonardo Bonacci o Fibonacci; Pisa, actual Italia, c. 1175 - id., c. 1240) Matemático italiano que difundió en Occidente los conocimientos científicos del mundo árabe, los cuales recopiló en el Liber Abaci (Libro del ábaco). Popularizó el uso de las cifras árabes y expuso los principios de la trigonometría en su obra Practica Geometriae (Práctica de la geometría).
Fibonacci
Considerado como el primer algebrista de Europa (cronológicamente hablando) y como el introductor del sistema numérico árabe, fue educado de niño en Argelia, donde su padre era funcionario de aduanas, y donde aprendió "el ábaco, al uso de los indios". Después tuvo manera, por razones de tipo comercial, de conocer todo lo que de esta ciencia se enseñaba en Egipto, en Siria, en Sicilia y en Provenza.
Al material así reunido le dio un orden, una unidad de método y una claridad de enseñanza en el Liber Abaci (Libro del ábaco), que, como modelo de texto universitario, sirvió también, por su caudal de ejemplos, para la compilación de manuales de aritmética para uso de los comerciantes. Escrita en 1202 y ampliada en una segunda redacción en 1228, la obra contiene quince capítulos. En el primero se expone la numeración de las nueve cifras que Fibonacci llama "indias" y que, en efecto, son diez, porque es necesario añadirles el cero "quod arabice zephirum apellatur".
En los capítulos siguientes Leonardo expone nociones suficientes sobre el cálculo digital, tablas de adición y multiplicación, mostrando su uso para realizar las cuatro operaciones con cifras de considerable extensión, y dando a conocer los criterios de divisibilidad por dos, por tres y hasta trece, reuniendo en tablitas a propósito los resultados de las divisiones por estos números de algunos enteros no superiores al 200.
En el sexto y el séptimo capítulos trata de las fracciones, del concepto y las aplicaciones del mínimo común múltiplo y de una "tabula disgregationis" que, enseñando la descomposición de buen número de fracciones ordinarias en fundamentales, revela la persistencia de la logística egipcia. La segunda parte del libro, "Regla de Álgebra", contiene las fórmulas para reconocer las ecuaciones de segundo grado, con las demostraciones según el modo antiguo, mediante construcciones geométricas, y numerosos problemas que se pueden resolver con ecuaciones o con sistemas de ecuaciones reducibles a las de segundo grado. Este libro, que debe considerarse como uno de los más importantes de aquella época por la influencia que tuvo sobre la entonces renaciente conciencia científica occidental, le procuró al autor vasta fama y llamó sobre él la atención del emperador Federico II, que le invitó a su corte.
En 1220 dio a luz Práctica de la geometría, donde figuran una introducción vinculada a las proposiciones fundamentales de Euclides, reglas para la medida de longitudes, áreas y volúmenes y la división de las figuras, y las demostraciones de tales normas, con aplicaciones concretas y desarrollos de cálculo que constituyen un útil complemento de la obra anterior.
Siguiendo el ejemplo de los maestros griegos, Leonardo de Pisa modeló esta obra al estilo de los Elementos de Euclides, y enseñando los procedimientos a seguir cuando se quiere medir una superficie o un volumen o dividir una figura dada en partes sujetas a condiciones propuestas, acompañó siempre su enseñanza con demostraciones y cálculos debidamente desarrollados, a fin de poner de relieve que habla realizado investigaciones semejantes a las contenidas en la Métrica de Herón de Alejandría.
Si bien esta obra de Fibonacci tenía un carácter exclusivamente didáctico, hay que convenir que constituye uno de los principales tratados geométricos de la Edad Media. Por otra parte se encuentra en la misma obra una parte intermedia dedicada a una teoría aritmética sobre los radicales cuadrados y cúbicos, aparte de un método para la extracción de las raíces cuadrada y cúbica de un número dado. Merece también destacarse en el libro de Fibonacci la exposición de los procedimientos ideados por Arquitas de Tarento, Platón y Herón de Alejandría para duplicar el cubo, problema que junto con el de la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo, sedujo vanamente a generaciones enteras de estudiosos.
Entre otros textos de Fibonacci conocidos figura un comentario al libro de los Elementos de Euclides. Se sabe también que compuso un Libro di merchatanti. Es asimismo célebre por el descubrimiento de la denominada serie de Fibonacci, entre cuyas propiedades cabe citar su recurrencia en numerosas formaciones orgánicas naturales.
INTERPRETACIÓN CONCEPTO DE FRACCIÓN
FRACCIONES EQUIVALENTES: AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN
OPERACIONES BÁSICAS CON FRACCIONES
TODO SOBRE FRACCIONES: INCLUIDAS OPERACIONES COMBINADAS
PARTE ENTERA Y PARTE DECIMAL
COLOCAR DECIMALES EN LA RECTA REAL
SUMAR Y RESTAR NÚMEROS DECIMALES
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN
PROBLEMAS CON FRACCIONES I
PROBLEMAS CON FRACCIONES II
PROBLEMAS CON DECIMALES I
PROBLEMAS CON DECIMALES II
EJERCICIO ONLINE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
EJERCICIOS INTERACTIVOS DE FRACCIONES
ACTIVIDAD ONLINE FRACCIONES EQUIVALENTES
EJERCICIO ONLINE SIMPLIFICAR FRACCIONES
EJERCICIO ONLINE SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
EJERCICIOS INTERACTIVOS MULTIPLICAR Y DIVIDIR FRACCIONES
ACTIVIDAD ONLINE OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES
JUEGO ONLINE DECIDIR PARTE ENTERA Y DECIMAL
ACTIVIDAD ONLIE COLOCAR DECIMALES EN LA RECTA REAL
JUEGO ONLINE SUMA Y RESTA NÚMEROS DECIMALES
ACTIVIDAD ONLINE MULTIPLICAR DECIMALES
ACTIVIDAD ONLINE DIVIDIR DECIMALES
JUEGO ONLINE PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL
EJERCICIOS INTERACTIVOS PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN
EJERCICIOS INTERACTIVOS DE PROBLEMAS CON FRACCIONES I
EJERCICIOS INTERACTIVOS DE PROBLEMAS CON FRACCIONES II
JUEGO ONLINE PROBLEMAS CON FRACCIONES
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
Fracciones sorprendentes.
Se atribuye al escritor ruso León Tolstoi (1828-1910), autor de las novelas realistas Guerra y Paz y Ana Karenina, la siguiente cita:
“Una persona es como una fracción cuyo numerador corresponde a lo que es, en tanto que el denominador es lo que cree ser. Cuanto mayor es el denominador, tanto más pequeño es el valor de la fracción”
También nos encontramos con fracciones, pero dos concretas y con una sorprendente propiedad, en la obra El Paraíso en la otra esquina del escritor peruano, Premio Nobel de Literatura, Mario Vargas Llosa (Editorial Alfaguara, 2003):
“Más grave que el número de oyentes era su composición social. Desde el proscenio, decorado con un jarroncito de flores y una pared llena de símbolos masónicos, mientras monsieur Lagrange la presentaba Flora descubrió que tres cuartas partes de los asistentes eran patrones y sólo un tercio obreros”
Como se observa 3/4 de los asistentes eran patrones y 1/3 eran obreros, pero si sumamos ambas cantidades nos da 3/4 + 1/3 = 13/12, que es mayor que uno. Lo cual es imposible, puesto que la suma de las partes no puede ser mayor que el total, es decir, que 1, pero en el caso de la novela de Vargas Llosa, sale 13/12 que es mayor que 1 = 12/12.
Un divertido diálogo en la misma línea del texto anterior lo encontramos en el extracto de la obra teatral del escritor y cineasta francés Marcel Pagnol (1895-1974), que mi colega Marta Macho nos acercó en su entrada de Matemoción, El tamaño de los tercios.
Dos personajes de la obra, que se encuentran en un bar, conversan sobre como se prepara un cierto cóctel:
“CÉSAR: […] Pues bien, por décima vez, te voy a explicar el Amer Picón-limón-curaçao. (Se instala tras el mostrador.) ¡Acércate! (Marius se aproxima para seguir de cerca la operación. César coge un vaso grande, una jarra y tres botellas. Mientras habla, prepara el brebaje.) Pones primero un tercio de curaçao. Pero ten cuidado: un tercio pequeñito. Bueno. Ahora, un tercio de limón. Un poco más grande. Bueno. Después, un BUEN tercio de Amer Picón. Mira el color. Fíjate qué bonito es. Y al final, un GRAN tercio de agua. Ya está.
MARIUS: Y eso hace cuatro tercios.
CÉSAR: Exactamente. Espero que esta vez hayas entendido. (Toma un trago de la mezcla).
MARIUS: En un vaso, no hay más que tres tercios.
CÉSAR: Pero, imbécil, ¡eso depende del tamaño de los tercios!”
Pero, dejemos la literatura a un lado, y adentrémonos en algunas llamativas fracciones. Dada una fracción cualquiera, esto es, un número racional, podemos realizar la división y obtener el desarrollo decimal asociado a la misma. Recordemos que el desarrollo decimal de un número racional tiene un número finito de decimales, o si es infinito, entonces existe un período finito que se repite.
Opera, Ugo Nespolo, en la que aparece el número pi, que es un número irracional, con infinitos dígitos en su desarrollo decimal, para los que no existe un período finito que se repite
Los primeros ejemplos que vamos a mostrar, son fracciones cuyos desarrollos decimales son curiosos.
10/81 = 0,12345678901234567890…
100/891 = 0,112233445566778899001122…
1000/8991 = 0,111222333444555666777888999000…
Y así se pueden continuar los ejemplos, si le vamos añadiendo 0 en el numerador y 9 en el denominador.
Otra expresión decimal curiosa de una fracción es la siguiente:
100/9801 =
0,010203040506070809 10111213141516171819 20212223242526272829 30313233343536373839 40414243444546474849 50515253545556575859 60616263646566676869 70717273747576777879 80818283848586878889 90919293949596979900…
que tiene un período de 198 dígitos, es decir, los 198 decimales que se ven se van repitiendo hasta el infinito. Además, observemos que falta el “98” en la sucesión de números dentro del período de los decimales. Y también puede llevarse más allá esta fracción, si ahora dividimos 1000 entre 998001.
Otro ejemplo más de este estilo:
1/98 = 0,0102040816326530612244…
Como observamos en los primeros decimales, aparecen las potencias de 2, pero en dos dígitos, así aparece 01, 02, 04, 08, etc… y llega un momento que parece que se deshace, puesto que después de 32 debería seguir 64, pero aparece 65. Eso es porque se le suma el 1 del siguiente número, 128. Aunque al ver la expresión como potencias de dos, puede dar la impresión de que no va a existir un período finito que se repite, lo cierto es que por ser un número racional, sí va a existir ese período. De hecho, este número racional tiene un periodo de 42 dígitos (los que hemos subrayado en el siguiente desarrollo decimal):
1/98 =0,0102040816326530612244897959183673469387755…
Por cierto, una buena calculadora on-line para comprobar estas cuestiones es WolframAlpha.
Algo similar ocurre si se divide 1 por 998, aunque ahora las potencias de 2 aparecen en grupos de tres dígitos, y el período de este número racional es de 498 dígitos.
1/2 (2003), Antoni Tapies
Sigamos con curiosidades relacionadas con las fracciones. En el libro The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (Penguin Press, 1998), su autor David Wells, comenta que existen 12 formas curiosas de utilizar las 9 cifras básicas, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, para escribir la fracción 1/2. Las formas, más pequeña y mayor, son:
6729/13458 y 9327/18654.
En general, podemos plantear el problema recreativo de encontrar fracciones que utilicen las nueve cifras básicas y que sean equivalentes a las fracciones de la forma 1/2, 1/3, 1/4,… , 1/8 y 1/9.
De hecho, este problema aparece en el libro More Mathematical Puzzles of Sam Loyd, editado por Martin Gardner (1960), y en el libro Amusements in Mathematics de Henry Dudeney (1917). Sam Loyd (1841-1911) y Henry Dudeney (1857-1930) fueron dos grandes autores de juegos de ingenio y rompecabezas, que colaboraron durante un tiempo, hasta que Dudeney se quejó de que Loyd le robaba sus creaciones.
Este problema apareció con el nombre “problema de historia” en el libro More Mathematical Puzzles of Sam Loyd, editado por Martin Gardner en 1960
Algunas soluciones al anterior problema recreativo son, por ejemplo,
1/3 = 5823/17469, 1/5 = 2697/13485 y 1/7 = 5274/36918.
Quien quiera puede animarse a intentar resolver este interesante problema de ingenio que nos plantearon Sam Loyd y Henry Dudeney. Al final de la entrada dejo las soluciones para quien esté interesado.
Otra curiosidad similar, tiene que ver con el producto de fracciones. Como todos sabemos, la multiplicación de fracciones sigue la siguiente regla: (a/b) x (c/d) = (a x c / b x d).
Sin embargo, en ocasiones se producen igualdades curiosas, como la siguiente, que leí en el libro La cuadratura del cuadrado (Crítica, 2009), del gran divulgador de las matemáticas, Ian Stewart:
1/4 x 8/5 = 18/45.
que obviamente no es cierta en general, puesto que para otras fracciones como por ejemplo 3/7 y 4/5, lo anterior no ocurre, puesto que el producto es 12/35, que no es igual a 34/75.
Una cuestión interesante que nos podemos plantear es buscar las fracciones para las cuales se cumple una igualdad del tipo anterior, es decir,
(a/b) x (c/d) = (10a + c / 10b + d).
De nuevo, podéis divertiros intentando buscar más ejemplos como el anterior. De hecho, existen ejemplos triviales si consideramos a = b y c = d. Por ejemplo, 7/7 x 5/5 = 75/75.
Y existen 14 soluciones no triviales, que se pueden reducir a 7, si observamos que si (a, b, c, d) es solución, también lo es (b, a, d, c). Las 7 soluciones son: (1, 2, 5, 4), (1, 4, 8, 5), (1, 6, 4, 3), (1, 6, 6, 4), (1, 9, 9, 5), (2, 6, 6, 5) y (4, 9, 9, 8).
Mel Bochner, Continuous/Discontinuous Re-Placements (1972)
Por último, una de las cosas que más suelen divertirnos a las personas que nos gustan las matemáticas, son las cancelaciones anómalas. Expliquemos qué es esto. En general, su tenemos una fracción como, por ejemplo, 19/92, no podemos cancelar los 9 y decir que esa fracción es (equivalente a) 1/2, como es evidente. Sin embargo, existen algunos curiosos casos en los que esto sí ocurre. Por ejemplo,
16/64 = 1/4, 19/95 = 1/5, 26/65 = 2/5, 49/98 = 4/8.
Pero, no solo vale para números de dos cifras, sino incluso mayores:
165/660 = 15/60, 385/880 = 35/80, 495/990 = 45/90,
o incluso mayores aún:
2666/6665 = 2/5 o 143185/1701856 = 1435/17056.